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高斯混合模型

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高斯混合模型

08gmm.pdf 213KB

GMM建模与EM算法.ppt 527KB

GMM：高斯混合模型

高斯混合模型（Gaussian mixture model，簡稱 GMM）是單一高斯機率密度函數的

延伸，由於 GMM 能夠平滑地近似任意形狀的密度分佈，因此近年來常被用在語音

與語者辨識，得到不錯的效果。

8 –1. 單一高斯機率密度函數的參數估測法

假設我們有一組在高維空間（維度為 d）的點 nix

1,  ，若這些點的分佈近似橢

球狀，則我們可用高斯密度函數





,



xg 來描述產生這些點的機率密度函數：

 

   



























xxxg

exp

其中



代表此密度函數的中心點，



則代表此密度函數的共變異矩陣

（Covariance Matrix），這些參數決定了此密度函數的特性，如函數形狀的中心

點、寬窄及走向等。

欲求得最佳的參數來描述所觀察到的資料點，可由最佳可能性估測法的概念來

求得。在上述高斯密度函數的假設下，當

xx 

時，其機率密度為





,;



，若

我們假設

nix

~1, 

之間為互相獨立的事件，則發生





xxxX 

,

的機率密度為

   







,;,;



xgXp

由於 X 是已經發生之事件，因此我們希望找出





值，使得





,;



Xp 能有最大

值，此種估測參數





,



的方法，即稱為最佳可能性估測法（MLE，Maximum

Likelihood Estimation）

欲求得





,;



Xp 的最大值，我們通常將之轉化為求下列

),(





的最大值：





 

     





















































xxn

XpJ

ln2ln

,;ln

,;ln),(







欲求最佳的



值，直接求

),(





對



的微分即可：

 

 



























),(







令上式等於零，我們就可以得到











欲求最佳的



值，就不是那麼容易，需經過較繁雜的運算，在此我們僅列出結

果：









































（對上式推導有興趣的同學，可以參考高等多變分析的相關教科書。）

8 –2. 高斯混合密度函數的參數估測法

如果我們的資料





xxX ,

 在 d 維空間中的分佈不是橢球狀，那麼就不適合以一

個單一的高斯密度函數來描述這些資料點的機率密度函數。此時的變通方案，就是

採用數個高斯函數的加權平均（Weighted Average）來表示。若以三個高斯函數來

表示，則可表示成：

















333222111

,;,;,; 



xgxgxgxp

此機率密度函數的參數為





321321321

,,,,,,, 



，而且

321



要滿足下

列條件：

321





以此種方式表示的機率密度函數，稱為「高斯混合密度函數」或是「高斯混合模

型」（Gaussian Mixture Model），簡稱 GMM。

為簡化討論，我們通常假設各個高斯密度函數的共變異矩陣可以表示為：

3,2,1,

100

001















 jI

jjj











此時單一的高斯密度函數可表示如下：

 



























exp2,;







在上述方程式中，我們暫時省略了下標

，以簡化方程式。若將上式對各個參數進

行微分，可以得到下列等式：

   

  





 

































,;,;















xxxgxg

 

   

  

 

  

 

  





































































dxx

eedxg

22,;

上述這兩個等式，會在我們後面推導微分公式時，反覆被用到。

當共變異矩陣可以表示成一個常數和一個單位方陣的乘積時，前述的





xp 可

以簡化成：

















333

222

111

,,,;,;



xgxgxgxp 

此





xp 的參數為





1321321

,,,,,,,,



 ，參數個數為

dddd 36111111







。

欲求得最佳的



值，我們可依循最佳可能性估測法（MLE）原則，求出下列的

最小值：



 

     





333

222

111

;;,;;;ln

ln)(





iii

xgxgxg

xpJ

























為簡化討論，我們引進另一個數學符號：







     

333

222

111

,;,;,;







xgxgxg

jjj





稱為事後機率（Post Probability），若用條件機率常用的表示方式，







可寫

成：



 

















 



 



 



 

     

333

222

111

,;,;,;

332211







xgxgxg

xppxppxpp

jxpjp

xjp

xjpx

jjj













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内容反馈

Always_On_Way

2014-06-01

代码是按照以前的版本写的，所以有点问题，但是有参考价值的！感谢分享！！！
南极粥

2013-02-11

很好的学习资料。
zxcv10089

2013-12-18

這份資料我有在其他網站上找到，算蠻完整的，適合初學者了解基礎
zidan001

2012-12-20

还行把对过程理解还是比较深刻
小猪Pig

2013-03-06

讲得比较详细，有助于对算法的充分理解，可以使用。

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