概率论基础知识
第三章 二维随机变量及其分布
一、 二维随机变量及其联合分布
设 Ω 为某实验的样本空间，X 和 Y 是定义在 Ω 上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y）为二
维随机变量。
比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐
标。
§3.1.1 联合分布函数
定义 1：设（X，Y）为二维随机变量，对任意实数 χ，y，称二元函数 F（χ,y）=P{X≤χ,Y≤y}为
（X，Y）的分布函数或称为 X 与 Y 的联合分布函数。 几何上，F（χ，y）表示（X，Y）落在平面直
角坐标系中以（χ,y）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y （x,y）
二维随机变量（X，Y）的分布函数 F（x,y）具有以下四条基本性质： 0 x
1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若 x1<x2，则有 F(x1,y)≤F(x2,y); 若 y1<y2，则有
F(x,y1) ≤F(x,y2).
2°0≤F(x,y)≤1 且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1
3° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F（x+0,y）= F（x,y）, F（x,y+0）= F（x,y）
4° 对任意 x1≤x2, y1≤y2 有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0
事实上，由图可见(见右图)
F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)
例 1 设（X，Y）的分布函数为
解：由性质 4°可得
第 1 页 @kaiziliu
逗号代表二者同时发生
减了两次
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