矩阵分析引论书后题答案

所需积分/C币:10 2018-01-07 09:55:47 5.38MB PDF
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矩阵分析引论书后习 题答案详解,非常详细,可以放心参考
习题 设X=(x1,x2).I=(n1.12)是两维实线性空间R2的任两向量问R2对以下定义的内积是否构成 欧氏空间 (1)(X,1)=x1n+n+1: (2)(X.1)=x111-2y2: (3)(x,Y)=3 2设T是实数域R上的n维线性空间,a1,a2,…,an是V的一个基,对T中任两向量 xi ai 规定 证明(a,B)是r中一种内积.从而r对此内积作成一欧氏空间 3在欧氏空间R4中,求一单位向量与下列三个向量正交: (1,1,-1,1),(1,-1,-1,1),(2,1,1,3) 4设a1,a2,…,an是欧氏空间T的一组向量,证明这组向量线性无关的充要条件是行列式 )( (am. a1)(am, a2) 5证明:对任意实数a1,a2,…,an,下列不等式成立 6设a1,2,是三维欧氏空间的一个标准正交基,证明 (2ε1-E2+28) 1 E1 也是一个标准正交基 7求齐次线性方程组 2x 11 的解空间(作为R的子空间)的一个标准正交基 8设是n维欧氏空间,a为中一个取定的非零向量,证明 (1)n1=B(8.a)=0.B∈是的子空间 (2)dinT1=n-1. 9设a1,a2,a3是三维欧氏空间的一个标准正交基,求V的一个正交变换T,使得 Ta 10证明:欧氏空间中两个正交变换的乘积也是正交变换:正交变换的逆变换也是正交变换 11证明:如果一个上三角矩阵 11a1 1 0 是正交矩阵,则A必为对角形矩阵,且主对角线上的元素n=±1(i=1,2,…,n) 12证明:n阶方阵A为西矩阵的充要条件是对任何行向量x∈C”,都有|xA|=|x 13.设P,Q各为m阶及n阶方阵,证明:若m+n阶方阵 是酉矩阵,则P.Q也是西矩阵,且B是零矩阵 14设A,B均为厄米特矩阵,证明:AB为厄米特矩阵的充要条件是AB=BA 15证明:任一复数方阵都可以表示成厄米特矩阵与反厄米特矩阵之和 16试求一酉矩阵P,使P1AP为对角形 110 (1)A=-10 100 这两个矩阵是正规矩阵吗? 17证明:两个正规矩阵相似(西等价)的充要条件是特征多项式相同 18.若两个正规矩阵可交换,证明它们的乘积也是正规矩阵 习题三 1若A=E,试证A的特征值只能是±1 2若λ是A的特征值,试从定义出发证明入″是A的特征值,这里m为正整数;又,若X是A的属于 特征值λ的特征向量,那么A"的属于特征值入的特征向量是什么? 3若n阶矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a,试证λ=a是A的特征值,且x=(1,1,…,1)2 是A的对应于λ的特征向量 4.下列矩阵能否与对角形矩阵相似?若A能与对角形矩阵相似,则求出可逆矩阵P,使得P1AP为 对角形矩阵 (1)4-34 (2)A-6-44 (3)A 440 52 445 212 5若A.B均为n阶方阵,且有一个可逆,证明AB与BA相似.且有相同的特征多项式 6在复数域上,求下列矩阵的约当标准形: (1)3-36:(2)-2 4-103 7证明:复数域上的任意n阶方阵A,都存在可逆方阵P,使得P1AP为上三角矩阵 8证明:(1)方阵A的特征值全是零的充要条件是存在自然数m,使得A"=0; 2)若A”=0,则|A+E 9求下列多项式矩阵的史密斯标准形 入3-A22 (1) (2) 入2+5入3入 1+22-2 00(X+1) 并求出上述矩阵的不变因子及初级因子 10.利用特征多项式及哈密顿一开莱定理证明:任意可逆矩阵A的逆阵A-1都可以表示为A的多项 11.设 证明:B=24-12A+1942-294+37E为可逆矩阵,并把B表示成A的多项式 12.若A.B均为n阶方阵,又E-AB可逆,证明 (E-BA)=E+B(E-AB)A 3.设 A=101 010 证明:当n≥3时,A"=A"2+A2-E,并求A0 14若A满足A2+A=2E证明A可与对角形矩阵相似 15证明:任意方阵可表示为两个对称方阵的乘积.且其中一个是可逆的 16判别下列各题中两个多项式矩阵对是否为右互质的 入+1 0 (1)D(入 N(1)=(+2,入+1); 入-2 (2)D(入)= -(2+1)2(+2) 入+2 入+2 17判别下面的多项式矩阵M()是否为列既约和行既约 入+入-+12入+12-+入+1 M(x)=2x+x-102x+ 18求分式矩阵 λ+1)2(+2)2(A+2)2 的史密斯一麦克米伦标准形及G()的一个右分解 习题四 1若|·|是酉空间C的向量范数,证明向量范数的下列基本性质: (1)零向量的范数是零: (2)若a是非零向量则 2证明:若a∈C",则 n1 a2 (2) (3) ≤ 3证明:在R中当且只当a.线性相关而且a2B>0时,才有(a,B)=1al|2Bl2 4若T为正交矩阵,又A∈R,证明:(1)rl2=1:(2)A|2=|T4|2 5证明:|A|=≤14|2≤14 6设A 试求 7对下列方阵A,求矩阵函数e 01 (1)A (2)A=111 (3)4=001 30 812 6 8设A= 求c4,sinA, COS t cos t sin t 9设A(t) d 求A,4(t),,A-( d t t d act) sint cos t dla(t)l.dr 0(-1c121.0求a(od:/(n 300 11证明:(1)若A为实反对称阵,则c为正交阵;(2)若A为厄米特矩阵,则c为西矩阵 dx 12 d t X t 21 12求微分方程 的解 0 dX dt(53 ()+ 13求非齐次微分方程 的解 (0) 习题五 1应用定理5-1的两个推论,估计下面矩阵A的特征值的界限 09001012 A=00108013 00100204 2利用定理5-2佔计下面矩阵A的特征值的分布范围 0 050 0515051 0 3证明下面的矩阵A的谱半径p(A)≤1 1111 1211 l131 6666 4在圆盘定理中,如果一个连通部分是由两个外切圆构成的,证明每个圆上不可能都有两个特征值 5设Q为酉矩阵,4= diag an,a,…,an},证明Q4的特征值u满足不等式 min ≤ 6验证MP广义逆矩阵A的下列性质 (A)=A:(A4)2=AA:(A)=(4) 7利用公式(设A∈Cm") A2(A2)当rank(A) (4A)1A当rank(A) 计算下列矩阵的广义逆矩阵A 10 (1)d 8利用公式 A"=lim(AA+2E)(A E Cme n) 计算矩阵 01 21 的广义逆A 9证明:线性方程组AX=B有解的充要条件是AAB=B,这里A∈Cm",B∈Cm 10.已知 12 A=00 24 2 求AX=B的最小范数解及极小最小二乘解 附录一习题答案 习题 1(1)与(3)均是线性空间:(2)不是线性空间(加法不封闭:或因无零向量) 2都是线性空间 3(证)若a.B∈T.则 2(a+β)=2a+2β=(1+1)a+(1+1)β=(1a+1a)+(1β+1p =(ax+a)+(β+β) (a+β)+β 又有 2(a+β)=(1+1)(a+β)=1(a+β a+β) =(a+β)+(a+β) 因此有 a+(B+0)+ 从而 (a+β)+3+(-β)=(-a) (β+a)+β+(-β 于是得 +阝=β+ 4证设a1,a2…,an是n维线性空间v的一个基,又a=a1x1+a2a21…+ann,则有 1a-1(a1a1+a2a2…+anxn)-(1·a1)a1+(1·a2)ax2…+(1·an)a, 1a1+a2 an an- a 5证只需证明a1,a2…,an线性无关设中有向量ao=x1x1+x2a2…+xnan且表示法唯一 如有 则有 (x1+c1)a1+(x2+c2) 由于向量a0表示法唯一,故有 从而有 a=0,c=0.…,c=0 这证明了m1,a2…,n线性无关 6(1)1., (2)(33.-82.154) 2056 7、1)过渡矩阵为 1121 1013 (2)向量a1=(x1,x2,x3,x4)在基B1,B,B3,34下的坐标为 x2 且 (3)非零向量为(c,c,C,-c),(任c≠0) 8(1)是子空间:(2)不是子空间 9提示因为(2,-1,3,3)=(-1)(1,1,0,0)+3(1.0、1,1),(0,1.-1,-1) (1,1,0,0)+(-1)(1,0,1,1) 10证如T1的维数是0,则V1与T2都是零空间,当然相等如V的维数是m≠0,由于1V2 故V1的任一个基 a1,a2,…·,∝ 都是n中的线性无关组又因V2与V1的维数相同,故这个线性无关组也是V2的一个基.1与2有 相同的基,因此相等 11设a=(a,a,a,a4)∈∩W,则有 0, a1 由此两式相加或相减便可得 0 +a4=0 从而 故得 a=(a1,a2,-a1,-a)=an(1.0.-1.0)+a2(0.1.0.-1) 但(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)线性无关,它就是所求的基 12因 1+V2=L(a1,a2,3)+L(1,色)=L(∝1,2,a3,月1,) +V2的维数就是向量组 的秩,它的任一最大线性尢关组,都构成V1+V2的一个基,以a1,a2,,A1,段为向量构成矩阵A,并施 行初等行变换,便得到 231 1010 001 01101 011 11011 00000 由此可见矩阵A的秩等于3,且a1,a2,线性无关,它就是n+V2的一个基,且 2=1 13.(1)设a.B∈1,且 则有 x;+y;) k kr kxa(k是数) 即a+β与k在两个基上的坐标也是相同的.所以a+B∈V1.ka∈V1,即V是子空间 (2)因T中每个向量在两个基下的坐标相同.所以基向量a1(i=1.2.…,n)在a1,a2,…,n下的坐 标为(0,…,0,1,0,…,0)(第i个坐标为1),它也应为a1在基s1,2,…,n下的坐标,于是有 14由齐次线性方程组的理论可推知T是n-1维的,且有基a1=(-1,1,0.…,0),2 (-1,0,…,0,1)又 xn,即 0 0 x 这个方程组系数矩阵的秩为n-1,故解空间V2的维数为1,令xn=1.便得V2的一个基.即n维向量 β=(1,1,…,1),又以,∞,…,an:1,β为行的n阶行列式 l10 00 00 00 故a1,2,…,an1,B为P"的一个基,且有P”=n1V2 15设a是AX=0的一个解(向量),则有 42 0,即 从而有Aa=0,即a∈V(i-1,2,…,S),故有 ∈∩T2∩…∩Ts 反过来,如有关系式(*),则将上述过程倒推,便可得出Aa=0,故a∈V 综合以上结果便得所证 16.设是n维线性空间.a1,a2,…,an为其一个基.则L(a1)都是一维子空间(1=1.2.…,n).且有 L(a1)+L(a2)+…+L(an)=I(a1,a2,…,an)=又因a1,a2,…,an是基,零向量0表示式唯一,故 这个和是直和,即L(ax1)1L(a2)1…1L(an)=T 17.从定义出发可证明I1.12是线性变换,又 (1+12)(x1,x2)=T1(x1,x2)+T2(x1,x2)=(x2,-x1)+(x1,-x2)=(x1+x2 (71T2)( )=T1(T2(x1,x2))=T1( x2)=( (21)(x1,x2)=12(1(x,x))=12(x,-x1)=(x2,x1) 18.(1)因 T(A+ B)=C(A+ B)-(A+ B)C=(CA- AC)+(CB-BC)=T(1)+T(B). T(kA)-C(kA)-(kA)C-k(CA- AC)-=kT(A). 故T是线性变换 (2)因为 T(A4)·B+A·T(B)=(CA-AC)·B+A·(CB-BC)=CAB-ABC=T(AB) 19.因为 (7+S)(1.0.0)=T(1,0,0)+S(1.0.0)=(1.0.0)+(0,0,1)=(1,0,1) (T+S)(0,1,0)=(2.0,0),(T+S)(0.0.,1)=(1,1,0) 这表明线性变换T+S把R3的一个基向量 a1=(1,0,0),a2=(0,1.0)a3=(0,0,1) 变换成R中的另一个基向量(易证它们线性无关) 1=(1,0,1) (2,0,0) (1,1 又:象集(T+s)(R)是R3的子空间(见例1-14).而s1,2,e3是子空间(T+S)(R3)的最大线性无关组 故这个子空间的维数是3,由第10题的结果可知(T+S)(R3)=R3(在第10题中取V2= 20因r(x.y,z)-T(0.x.y)=(0.0.x).所以r的象集(子空间)是一维的而a3=(0.0,1)是它 的基。由T(x,y,z)=(0,0,x)=(0.0,0)=0,便知72的核是R3中一切由形如(,y,=)的向量组成的2维 子空间,又a=(0,1.0),β=(0,0,1)是它的一个基 10 (2)220

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mmmmmyt 骗子 就TM是书后面自带的答案
2019-12-19
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2019-10-24
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