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圆锥曲线题型技巧---角度、数量积定值问题.pdf

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圆锥曲线题型技巧---角度、数量积定值问题

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圆锥曲线题型技巧---角度、数量积定值问题

一、解答题

．已知椭圆

：

2 2

x y

a b

 

( 0)a b 

的上下顶点分别为

,A B

，且点

(0, 1)

．

1 2

,F F

分别为椭圆

的左、右焦点，且

1 2

120F BF 



．

（

Ⅰ

）求椭圆

的标准方程；

（

Ⅱ

）点

是椭圆上异于

，

的任意一点，过点

作

MN y

轴于

，

为线段

的中点．直线

与直线

1y  

交于点

，

为线段

的中点，

为坐标原点．求

OEG

的大小．

【答案】（

）

y 

（

）见解析

【解析】

试题分析：（

）由顶点坐标得

1b  ，

再在

Rt BF O

中利用椭圆几何条件得

2a 

．（

）利用向量数量积研

究

OEG

的大小．先设

 

0 0

,x y

，则得

 

 

 

．求出直线

与直线

1y  

交点

，得

 

, 1

2 1

 



 



 

．再根据向量数量积得

 

0 0 0

0 0

2 2 2 1

x x x

OE GE y y

 

    

 



 

 

，根据

y 

代

入化简得

0OE GE 

 

，即得

90OEG  

．

试题解析：解：

(Ⅰ)

依题意，得

1b 

．又

1 2

120F BF  

，

在

Rt BF O

中，

60F BO  

，所以

2a 

．

所以椭圆

的标准方程为

y 

．

(Ⅱ)设

 

0 0

,x y

，

0x 

，则

 

0, y

，

 

 

 

．

因为点

在椭圆

上，所以

y 

．即

2 2

0 0

4 4x y 

．

第１页，共２４页

又

 

0,1

，所以直线

的方程为

 

2 1

y x



 

．

令

1y  

，得

, 1

 



 



 

．

又

 

0, 1

，

为线段

的中点，所以

 

, 1

2 1

 



 



 

．

所以

OE y

 



 

 



，

 

0 0

, 1

2 2 1

x x

GE y

 

  

 



 



．

因为

 

0 0 0

0 0

2 2 2 1

x x x

OE GE y y

 

    

 



 

 

 

2 2

0 0

4 4 1

x x

y y

   



 

4 4

4 1



  



0 0

1 1y y   

0

，

所以

OE GE

 

．

90OEG  

．

．已知椭圆

2 2

: 1( 0)

x y

C a b

a b

   

上的点到它的两个焦的距离之和为

，以椭圆

的短轴为直径的圆

经过这两个焦点，点

，

分别是椭圆

的左、右顶点．

（

）求圆

和椭圆

的方程．

（

）已知

，

分别是椭圆

和圆

上的动点（

，

位于

轴两侧），且直线

与

轴平行，直线

，

分别与

轴交于点

，

．求证：

MQN

为定值．

【答案】（

）

2 2

2x y 

；

2 2

4 2

x y

 

；（

）见解析．

【解析】

试题分析：

（1）根据椭圆定义知

2 4a 

，又

b c

，因此易求得

,a b

，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；

（2）设出

 

0 0

,P x y

，

 

1 0

,Q x y

，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线 AP 的方程，

第２页，共２４页

求出 M 点坐标，同理写出 BP 方程，求出 N 点坐标，再求得向量

,QM QN

 

，并计算数量积

QM QN

 

，结

果为

，可得

90MQN  

．

试题解析：

（

）依题意

2 2 2

2 4a

b c

a b c













 



，得

2a 

，

2b c 

，

∴圆方程

2 2

2x y 

，椭圆

方程

2 2

4 2

x y

 

．

（

）设

 

0 0

,P x y

，

 

1 0

,Q x y

，

∴

2 2

0 0

4 2

x y

 

，

2 2

1 0

2x y 

，

0y 

，

∵

方程

 

y x

 



，令

0x 

时，

 

 



 

，

方程为

 

y x

 



，令

0x 

得



 



 

 

，

∴

1 0

QM x y

 

  

 



 



，

1 0

QN x y

 

  

 



 



，

∴

 

2 2

0 0

2 2

0 0

1 0

2 2

0 0

4 2

2 0

4 2

y y

x y

QM QN x y

x y

 



      

 

，

∴

90MQN  

．

点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、

差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种

“

化难为易、化繁为简

”

的效果，

在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：

（

）设直线方程

y kx b 

与椭圆为

2 2

1mx ny 

的两个交点坐标为

1 1 2 2

( , ), ( , )A x y B x y

；

（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；

（3）利用韦达定理得

1 2 1 2

,x x x x

，

1 2 1 2

,y y y y

，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数

量积）．

第３页，共２４页

3．已知椭圆

)0(1:

 ba

上的点到两个焦点的距离之和为

，短轴长为

，直线与椭圆

交

于

、

两点。

（Ⅰ）求椭圆

的方程；

（Ⅱ）若直线与圆

 yxO

相切，证明：

MON

为定值．

【答案】（Ⅰ）

2 2

9 16 1x y 

；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，由椭圆的定义得

a 

，由椭圆的性质知

b 

，故易得椭圆方程；（Ⅱ）

直线与椭圆相交，首选讨论直线斜率不存在的特殊情形，求得

MON



 

，因此在斜率存在时，设直线

:l y kx m 

，交点

 

1 1 2 2

, , ( , )M x y N x y

，要证明

1 2 1 2

0x x y y 

，由直线与圆相切求得

,k m

的关系，由

直线方程与椭圆方程联立方程组后可得

1 2 1 2

,x x x x

，然后计算

1 2 1 2 1 2 1 2

( )( )x x y y x x kx m kx m    

，并

把刚才的结论代入可得．

试题解析：（Ⅰ）由题意得

2  baba

1169

 yx

（Ⅱ）当直线

xl 

轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为

x

。

当

: xl

时，得 M、N 两点坐标分别为



























，

OM ON MON



    

 

当

: xl

时，同理



MON

；

当与

轴不垂直时，

设

 

),(,,,:

2211

yxNyxMmkxyl 

，由







125 km 

联立











1169

mkxy

得

 

011632169

222

 mkmxxk

 

169

,0)116)(169(432

xxmkkm





，

169

116







，

 

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 ( )OM ON x x y y k x x km x x m        

 

169

125







第４页，共２４页



 MON

综上，



MON

（定值）

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆相交，定值问题．

【名师点睛】1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率

等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．

2．求定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

．已知点

0 0

( , )M x y

为椭圆

: 1

C y 

上任意一点，直线

0 0

: 2 2l x x y y 

与圆

2 2

( 1) 6x y  

交于

,A B

两点，点

为椭圆

的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆

的离心率及左焦点

的坐标；

（

Ⅱ

）求证：直线

与椭圆

相切；

（

Ⅲ

）判断

AFB

是否为定值，并说明理由．

【答案】（

）

 

, 1,0

e F 

；（

）证明见解析；（

）答案见解析

【分析】

（

）由题意可得

2a 

，

1c 

，据此确定离心率即可；

（

）由题意可得

2 2

0 0

2 2x y 

分类讨论

0y 

和

0y 

两种情况证明直线与椭圆相切即可；

（

）设

 

1 1

,A x y

，

 

2 2

,B x y

，当

0y 

时，易得

90AFB 



．当

0y 

时，联立直线方程与椭圆方程

可得

   

2 2 2 2

0 0 0 0

1 2 2 2 10 0y x y x x y     

，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得

0FA FB 

 

．据此即可证得

AFB

为定值



．

【详解】

（

）由题意

2a 

，

1b 

，

2 2

1c a b  

所以离心率

 

，左焦点

 

1,0F 

．

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