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1
信息安全数学基础习题答案
第一章
整数的可除性
1.证明:因为 2|n 所以 n=2k,kZ
∈
5|n 所以 5|2k ,又(5,2)=1,所以 5|k 即 k=5 k
1
,k
1
Z
∈
7|n 所以 7|2*5 k
1
,又(7,10)=1,所以 7| k
1
即 k
1
=7 k
2
,k
2
Z
∈
所以 n=2*5*7 k
2
即 n=70k
2
, k
2
Z
∈
因此 70|n
2.证明:因为 a
3
-a=(a-1)a(a+1)
当 a=3k,kZ 3|a 则 3|a
3
-a
∈
当a=3k-1,kZ3|a+1 则 3|a
3
-a
∈
当a=3k+1,kZ3|a-1 则 3|a
3
-a
∈
所以 a
3
-a 能被 3 整除。
3.证明:任意奇整数可表示为 2 k
0
+1, k
0
Z
∈
(2k
0
+1)
2
=4 k
0
2
+4 k
0
+1=4 k
0
(k
0
+1)+1
由于 k
0
与 k
0
+1 为两连续整数,必有一个为偶数,所以 k
0
(k
0
+1)=2k
所以(2 k
0
+1)
2
=8k+1 得证。
4.证明:设三个连续整数为 a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)=a
3
-a
由第二题结论 3|(a
3
-a) 即 3|(a-1)a(a+1)
又三个连续整数中必有至少一个为偶数,则 2|(a-1)a(a+1)
又(3,2)=1 所以 6|(a-1)a(a+1) 得证。
5.证明:构造下列 k 个连续正整数列:
(k+1)!+2,(k+1)!+3,(k+1)!+4,……,(k+1)!+(k+1),kZ
∈
对数列中任一数 (k+1)!+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1],i=2,3,4,…(k+1)
所以 i|(k+1)!+i 即(k+1)!+i 为合数
所以此 k 个连续正整数都是合数。
6.证明:因为 191
1/2
<14,小于 14 的素数有 2,3,5,7,11,13
经验算都不能整除 191 所以 191 为素数。
因为 547
1/2
<24,小于 24 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23
经验算都不能整除 547 所以 547 为素数。
由 737=11*67,747=3*249 知 737 与 747 都为合数。
8.解:存在。eg:a=6,b=2,c=9
10.证明:p
1
p
2
p
3
|n,则n=p
1
p
2
p
3
k,kN
+
∈
又p
1
≤p
2
≤p
3
,所以 n=p
1
p
2
p
3
k≥p
1
3
即p
1
3
≤n
1/3
p
1
为素数则p
1
≥2,又 p
1
≤ p
2
≤p
3
,所以 n=p
1
p
2
p
3
k≥2p
2
p
3
≥2p
2
2
即p
2
≤(n/2)
1/2
得证。
11.解:小于等于 500
1/2
的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,依次删除这些素数
的倍数可得所求素数:
12.证明:反证法
假设 3k+1 没有相同形式的素因数,则它一定只能表示成若干形如 3k-1 的素数相
乘。 (3 k
1
+1)(3 k
2
+1)=[(3k
1
+1) k
2
+ k
1
]*3+1 显然若干个 3k+1 的素数相乘,得
2
到的还是 3k+1 的形式,不能得出 3k-1 的数,因此假设不成立,结论得证。
同理可证其他。
13.证明:反证法
假设形如 4k+3 的素数只有有限个,记为 p
1
, p
2
,…, p
n
因为 4k+3=4k`-1=4k-1 构造 N=4*p
1
*p
2
*…*p
n
-1≥3*p
1
*p
2
*…*p
n
所以 N>p
i
(i=1,2,…,n)
N 为 4k-1 形式的素数,即为 4k+3 的形式,所以假设不成立。
原结论正确,形如 4k+3 的素数有无穷多个。
28.( 1 )解:85=1*55+30
55=1*30+25
30=1*25+5
25=5*5
所以(55,85)=5
(2)解:282=1*202+80
202=2*80+42
80=1*42+38
42=1*38+4
38=9*4+2
4=2*2
所以(202,282)=2
29.( 1 )解:2t+1=1*(2t-1)+2
2t-1=(t-1)*2+1
2=2*1
所以(2t+1,2t-1)=1
(2)解:2(n+1)=1*2n+2
2n=n*2
所以(2n,2(n+1))=2
32.( 1 )解:1=3-1*2
=3-1*(38-12*3)
=-38+13*(41-1*38)
=13*41-14*(161-3*41)
=-14*161+55*(363-2*161)
=55*363+(-124)*(1613-4*363)
=(-124)*1613+551*(3589-2*1613)
=551*3589+(-1226)*1613
所以 s=-1226 t=551
(2)解:1=4-1*3
=4-1*(115-28*4)
=-115+29*(119-1*115)
=29*119+(-30)*(353-2*119)
=-30*353+89*(472-1*353)
=89*472+(-119)*(825-1*472)
=(-119)*825+208*(2947-3*825)
=208*2947+(-743)*(3772-1*2947)
3
=951*2947+(-743)*3772
所以 s=951 t=-743
36.证明:因为(a,4)=2 所以 a=2*(2m+1)mZ
∈
所以 a+b=4m+2+4n+2=4(m+n)+4=4(m+n+1)
即 4|a+b
所以(a+b,4)=4
37.证明:反证法
假设 n 为素数,则 n|a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
由 1.4 定理 2 知 n|a+b 或 n|a-b,与已知条件矛盾
所以假设不成立,原结论正确,n 为合数。
40.证明:( 1 )假设是 2
1/2
有理数,则存在正整数 p,q,使得 2
1/2
=p/q,且(p,q)=1
平方得:p
2
=2q
2
, 即 2|p
2
,所以 p=2m,mN
∈
因此 p
2
=4m
2
=2q
2
q
2
=2m
2
q=2n,nN
∈
则(p,q)=(2m,2n)=2(m,n)≥2 与(p,q)=1 矛盾
所以假设不成立,原结论正确,2
1/2
不是有理数。
(2)假设是 7
1/2
有理数,则存在正整数 m,n,使得 7
1/2
=p/q,且(m,n)=1
平方得:m
2
=2n
2
, 即 7|m
2
将 m 表示成 n 个素数 p
i
的乘积,m= p
1
p
2
p
3
……p
n
, p
i
为素数。
因为 7 为素数,假设 7!|m,则 7 !∈{p
1
,p
2
,p
3
,……p
n
}
所以 m
2
= p
1
2
p
2
2
p
3
2
……p
n
2
=( p
1
p
2
p
3
……p
n
)( p
1
p
2
p
3
……p
n
)
所以 7!|m
2
,与 7|m
2
矛盾,故 7|m,m=7k
同理可知:7|n,n=7 k
0
所以(m,n)=(7k,7k
0
)=7(k, k
0
)≥7 与已知矛盾
故原结论正确,7
1/2
不是有理数。
(3)同理可证 17
1/2
不是有理数。
41.证明:假设 log
2
10 是有理数,则存在正整数 p,q,使得 log
2
10=p/q,且(p,q)=1
又 log
2
10=ln10/ln2=p/q
Ln10
q
=ln2
p
10
q
=2
p
(2*5)
q
=2
p
5
q
=2
p-q
所以只有当 q=p=0 是成立,所以假设不成立
故原结论正确,log
2
10 是无理数。
同理可证 log
3
7,log
15
21 都是无理数。
50.( 1 )解:因为 8=2
3
,60=2
2
*3*5
所以[8,60]=2
3
*3*5=120
51.( 4 )解:(47
11
79
11
101
1001
,41
11
83
111
101
1000
)=41
0
47
0
79
0
83
0
101
1000
=101
1000
[47
11
79
11
101
1001
,41
11
83
111
101
1000
]=41
11
47
11
79
111
83
111
101
1001
第二章.同余
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