数学建模中 曲线拟合与插值
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2010-08-01
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曲线拟合与插值
在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
对这个问题有两种方法。在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之
间所发生的情况。这里讨论的方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线，它最
佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。图 1.1 说明了这两种方法。标有'o'的是数据点；
连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。
1 曲线拟合
曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许
多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。所以，从这里开始，我们走向何方？
正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定
为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。如
图 1.1。虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。对各数据点距离求平方，并
把平方距离全加起来，就是误差平方和。这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是
最佳拟合。最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
0
2
4
6
8
10
12
x
y=f(x)
Second Order Curve Fitting
图 1.1 2 阶曲线拟合
在 MATLAB 中，函数 polyfit 求解最小二乘曲线拟合问题。为了阐述这个函数的用法，
让我们以上面图 1.1 中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];
» y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];
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