计算机数值方法教学课件第四章有限差分法的基本概念.ppt

"计算机数值方法教学课件第四章有限差分法的基本概念.ppt" 有限差分法是 численного解偏微分方程的常用方法之一。它通过将偏微分方程离散化为代数方程组，从而近似解偏微分方程。有限差分法的基本概念包括：有限差分格式、差分方程、显式和隐式差分格式、差分格式的基本性质、数值耗散与数值色散等。 §4.1 引言 有限差分法是一种常用的数值方法，用于解决偏微分方程。它通过将偏微分方程离散化为代数方程组，从而近似解偏微分方程。有限差分法的基本概念包括：有限差分格式、差分方程、显式和隐式差分格式、差分格式的基本性质、数值耗散与数值色散等。 §4.2 导数的差分近似方法 有限差分法中，导数的差分近似方法是将偏微分方程的导数项用差分格式近似。常用的差分近似方法包括泰勒级数展开法、待定系数法和差分算子法等。 泰勒级数展开法是一种常用的差分近似方法。它通过泰勒级数展开式近似偏微分方程的导数项。例如，一阶偏导数的泰勒级数展开式为： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{u_{i+1}-u_i}{\Delta x} + O(\Delta x)$$ 待定系数法是一种常用的差分近似方法。它通过待定系数法近似偏微分方程的导数项。例如，一阶偏导数的待定系数法为： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{u_{i+1}-u_i}{\Delta x} + O(\Delta x)$$ §4.3 差分方程 有限差分法中，差分方程是将偏微分方程离散化后的结果。它是代数方程组的形式，用于近似解偏微分方程。例如，一维 heat equation 的差分方程为： $$\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{\Delta x^2} = f_i$$ §4.4 显式和隐式差分格式 有限差分法中，显式和隐式差分格式是两种常用的差分格式。显式差分格式是指将偏微分方程的导数项用差分格式近似，而隐式差分格式是指将偏微分方程的导数项用隐式格式近似。 §4.5 差分格式的基本性质 有限差分法中，差分格式的基本性质包括收敛性、稳定性和精度等。收敛性是指差分格式的解收敛于真实解，稳定性是指差分格式的解对初始值和边界值的敏感程度，精度是指差分格式的解的误差范围。 §4.6 数值耗散与数值色散 有限差分法中，数值耗散与数值色散是指差分格式的解在计算中可能出现的误差。数值耗散是指差分格式的解的误差增加，数值色散是指差分格式的解的误差减少。 有限差分法是一种常用的数值方法，用于解决偏微分方程。它通过将偏微分方程离散化为代数方程组，从而近似解偏微分方程。有限差分法的基本概念包括：有限差分格式、差分方程、显式和隐式差分格式、差分格式的基本性质、数值耗散与数值色散等。