根据提供的文件信息，本文将对其中涉及的数值分析知识点进行详细阐述。主要聚焦于数值分析中的二分法求根问题及其在MATLAB中的实现。
### 数值分析课件二：二分法求根
#### 一、二分法基本原理
二分法是一种常见的数值方法，用于寻找方程$f(x)=0$的近似解。其核心思想是通过不断缩小根可能存在的区间范围来逼近真实解。具体步骤如下：
1. **选择初始区间**：选择一个包含方程$f(x)=0$根的区间$[a, b]$，即$f(a)$与$f(b)$异号。
2. **计算中点**：计算区间的中点$x_0 = \frac{a + b}{2}$。
3. **判断中点**：如果$f(x_0) = 0$，则$x_0$即为方程的解；否则，检查$f(a)$与$f(x_0)$的符号是否相同。
- 如果$f(a)$与$f(x_0)$同号，则新的搜索区间变为$[x_0, b]$；
- 如果$f(a)$与$f(x_0)$异号，则新的搜索区间变为$[a, x_0]$。
4. **迭代过程**：重复上述步骤，直到找到满足精度要求的解为止。
#### 二、二分法的收敛性
根据文件内容，可以得知二分法具有线性收敛的特性。具体来说，设$x^*$为方程$f(x)=0$的真实解，对于每个迭代步$k$，有：
\[ |x_k - x^*| \leq \frac{b_k - a_k}{2} = \frac{b_{k-1} - a_{k-1}}{2^2} = \ldots = \frac{b_0 - a_0}{2^{k+1}} \]
这意味着随着迭代次数的增加，解的误差逐渐减小，且收敛速度为线性的。
#### 三、示例分析
文件中给出了一个具体的例子：求方程$x^3 + x - 3 = 0$在区间$[1, 2]$内的根。通过应用二分法，我们可以得到以下结果：
- 初始区间为$[1, 2]$。
- 经过四次迭代后，得到的近似解为$x^* \approx 1.9063$。
表格如下所示：
| 迭代次数 $k$ | 左端点 $a_k$ | 右端点 $b_k$ | 中点 $x_k$ | 区间长度 $b_k - a_k$ | $f(a_k)f(x_k)$ |
|--------------|-------------|-------------|------------|---------------------|---------------|
| 0 | 1 | 2 | 1.5 | 1 | - |
| 1 | 1 | 1.5 | 1.25 | 0.5 | - |
| 2 | 1 | 1.25 | 1.125 | 0.25 | + |
| 3 | 1.125 | 1.25 | 1.1875 | 0.125 | + |
| 4 | 1.1875 | 1.25 | 1.21875 | 0.0625 | |
#### 四、MATLAB实现
文件还提到了如何在MATLAB中实现二分法。例如，求方程$x - e^{-x} = 0$在区间$[0, 1]$内的根。可以通过编写MATLAB函数实现这一过程，代码示例如下：
```matlab
function [x, k] = mbisec(f, a, b, epsilon)
% mbisec: 使用二分法求解 f(x) = 0 在区间 [a, b] 内的根
% 输入参数: f - 方程 f(x) 的函数句柄
% a, b - 区间的左、右端点
% epsilon - 精度要求
% 输出参数: x - 近似根
% k - 迭代次数
k = 0;
while (b - a) / 2 > epsilon
x = (a + b) / 2; % 计算中点
if f(a) * f(x) < 0
b = x; % 更新右端点
else
a = x; % 更新左端点
end
k = k + 1; % 迭代次数加一
end
end
```
在MATLAB环境中调用该函数，可以得到所需的近似解及其迭代次数。
二分法作为一种基础而有效的数值分析方法，在解决实际问题时具有重要的应用价值。通过不断的迭代更新区间，可以逐步逼近方程的根，直至达到预设的精度要求。此外，利用现代计算工具如MATLAB等，可以方便地实现该方法，并获得高效可靠的解决方案。
