2019张宇基础数学讲义

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2019张宇考研基础班讲义(全) 含高等数学 线性代数 概率论讲义和例题 1.考点覆盖全面。包含考研数学所考查的所有基础知识点,详略得当,适合考生备考练习。 2.考查要求明确。每章开始都列出大纲的考查要求,方便学生自测复习效果。 3.题型总结详尽。全书在每一章后均根据本章内容,总结整理常考题型,并配以适当例题,学练结合,帮助考生掌握常见题型的解题方法
主讲老师:张宇 高等数学 新东方在线www.koolearn.con boolean 新东方在线 >>>>2019数学基础讲义 引言 基础阶段任务 (1)熟记基本概念、定理、公式 (2)掌握基本方法与技术 (3)培养基本计算能力:求极限、求导数、求积分 基础阶段:求极限、求导、求积分 二、目标 (1)建成基础知识结构 (2)形成基础数学素养 三、内容安排 (1)极限 (2)一元微分学{高数上 (3)·元积分学 (4)多元微分学 (5)二重积分高数下 (6)微分方程 2<< >>>>>>新东方在线考研配套讲义 Www.koolearn.com 第一讲极限 核心考点: (1)定义 (2)性质 (3)计算 (4)应用 极限定义 1.函数极限 limf(x)=Ae>0,38>0,当0<x-x0<δ时,有|f(x)-A|<e .. 函数极限定义的所有形式: 7 0 →>x x→>∞O f(x)→A f(x)→x+∞ )∞ 例如: limf(x)=+∞台M>0,3X>0,当|x|>X时,有f(x)>M >>3 boolean 新东方在线 >>>>2019数学基础讲义 2.数列极限 n为自然数,n→∞专指n→+∞,而略去“+”不写 limx=A台Ve>0,彐N>0,当n>N时,有|xn-A|<e 例〗取自《张宇考研数学题源探析经典1000题·习题分册》数学一P3,A组1.1(数 学二P3,A组1.1;数学三P,A组1.5) 以下三个命题: ①若数列n}收敛于A,则其任意子数列{n}必定收敛于A; ②若单调数列{xn}的某一子数列{、xn}收敛于A,则该数列必定收敛于A; ③若数列{x2n}与{x21}都收敛于A,则数列{xn}必定收敛于A. 正确的个数为 A.0 B.1 C 【答案】D 【分析】对于命题①,由数列收敛的定义可知,若数列{un}收敛于A,则对任意给定 的e>0,存在自然数N,当n>N时,恒有|n-A|<ε. 可知当n1>N时,恒有un-A<e. 因此数列{un}也收敛于A,可知命题正确 对于命题②,不妨设数列{xn}为单调增加的,即 其中某一给定子数列{xn}收敛于A,则对任意给定的ε>0,存在自然数N,当n2>N时 恒有 xn-A|<ε. 由于数列{xn}为单调增加的数列,对于任意的n>N,必定存在n1≤n≤n1,有 e<xn-A≤xn-A≤xn1-A<e 从而 可知数列{xn}收敛于A.因此命题正确 对于命题③,因limx2=A,lim2n+=A,由极限的定义可知,对于任意给定的e →>C 0,必定存在自然数N1,N 当2n>N1时,恒有|x2-A|<e; 当2n+1>N2时,恒有|x2n-A|<ε. 取N=max{N,N2},则当n>N时,总有xn-A<ε,因此 limx=A.可知命题正确 故答案选D 4<< >>>>>>新东方在线考研配套讲义 Www.koolearn.com 二、极限三大性质 1.唯一性 若limf(x)=A,则A唯 【证】假设lmf(x)=B,A≠B,不妨假设A>B,于是 ye>0,381>0,0<|x-x0|<δ1时,|f(x)-A|<e ye>0,彐82>0,0< <δ2时,f(x)-B|< 取δ=min{61,o2} A-∈<f(x)<A+e,B f(x)<bt 取=A。B,则有A+B<f(x)<+,矛盾!证毕,故A唯一 【例】设a为常数1=1m2(+amn)存在,求a,L 【分析】 2.局部有界性 若lmf(x)=A,则彐M>0,8>0,当0<x-x0<δ时,恒有|f(x)|<M. 【证】 >>5 boolean 新东方在线 >>>>2019数学基础讲义 【例】f(x) xsin(x=2)在()内有界 1)(x-2)2 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【分析】 3.局部保号性 若limf(x)=A>0,则x→x0时,f(x)>0 x 若limf(x)=A<0,则x→>x0时,f(x)<0 【分析】 【例】设imf(x)=f(0)且lim,(x)=-2,则x=0是() cos r A.极大值点B.极小值点C.非极值点D.无法判断 【分析】 、极限的计算 1.函数极限计算 ①七种未定式(0·, 0°,1 【注】0不是真的0,1不是真的1 ②计算工具 6<< >>>>>>新东方在线考研配套讲义 Www.koolearn.com (1)洛必达法则 a)ilimf(x)=0, ling(x)=0 b)且1mf(x3,则imx(x=lm(x (x) 隐含条件:f(x),g(x)都为无穷小量;都可导;导函数比值的极限存在. 【注】如im SIn? =lim cost=l 洛必达法则能不能用,用了再说,用了若存在,则存在;用了若不存在,只能说洛必达 法则失效,并不能说原极限一定不存在,如: lin sina 用洛必达法则不存在,但实际上这个极限是存在的且一 【注】常用等价无穷小 arcsin n fan r arctan x 1 In(1+u)a (1+x) 1-cos r a 第一组( 0 C· 0 【例1】lim 1+tan a √1+sinx/0 1-0 xVi+sin. r -r 0 【分析】 >7 boolean 新东方在线 >>>>2019数学基础讲义 -Cos z 【例2】lim 0 0 【分析】 【例3】 limIng·ln(1-x) 【分析】碰到∞·0,有两种想法化:为或者化为 如 limiN x- lim- lim 1-lm,xln2x行不通 换一种=limx=imx1=lim-x=0就可以了 【小结】设置分母有原则,简单因式才下放” 简单:x,e等 复杂:lnx, arcsin c, arctan n等 我们再回到例3:原式= 第二组(∞-∞) ①有分母,则通分 【例〗取自《张宇考研数学题源探析经典1000题·习题分册》数学一P,A组 1.19(3)(数学二P1,B组1.19;数学三P,B组1.20(1)] Im 【分析】这是“-∞”型未定式极限,首先通分变成“Q”或“”型未定式然后使用 洛必达法则求极限 8<<

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