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矩阵论讲义
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2018-07-26
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西电矩阵论讲义,矩阵论入门级讲义,较实用,希望能帮到大家
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第一讲 线性空间
一、 线性空间的定义及性质
[知识预备]
★集合:笼统的说是指一些事物(或者对象)组成的整体。
集合的表示:枚举、表达式
集合的运算:并( ),交
( )
另外,
集合的“和”(+):并不是严格意义上集合的运算,因为它限定了集合中元素须
有可加性。
★数域:一种数集,对四则运算封闭(除数不为零)。比如有理数域、实数域(R)和
复数域(C)。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是学习现代矩阵论的重要基础。
1.线性空间的定义:
设
V 是一个非空集合,其元素用 z
y
x
,, 等表示;
K
是一个数域,其元素用 等表
示。如果V 满足[如下 8 条性质,分两类]:
mlk ,,
(I)在
V 中定义一个“加法”运算,即当 Vyx
, 时,有唯一的和 (封闭
性),且加法运算满足下列性质:
Vyx
(1)结合律
zyxzyx
)()( ;
(2)交换律
x
y
y
x ;
(3)零元律 存在零元素O ,使 xOx
;
(4)负元律 对于任一元素
Vx
,存在一元素 Vy
,使 Oyx
,且称
y
为 的
负元素,记为 。则有
x
)( x Ox x
)( 。
(II)在 中定义一个“数乘”运算,即当
V KkVx
, 时,有唯一的 (封闭性),
且数乘运算满足下列性质:
Vkx
(5)数因子
分配律
kykxyxk
)(
;
(6)分配律
lxkxxlk
)( ;
(7)结合律 ;
xkllxk )()(
(8)恒等律 ; [数域中一定有
1
] xx 1
则称
V 为数域
K
上的线性空间。
注意以下几点:
1)线性空间是基于一定数域来的。同一个集合,对于不同数域,就可能构成不同的线
性空间,甚至对有的数域能构成线性空间,而对其他数域不能构成线性空间。
2)两种运算、八条性质。数域
K
中的运算是具体的四则运算,而V 中所定义的加法运
算和数乘运算则是抽象的、形式的。
1
3)除了两种运算和八条性质外,还应注意唯一性、封闭性是否满足。
当数域
K
为实数域时, V 就称为实线性空间;
K
为复数域, V 就称为复线性空间。
例1. 设
R
{全体正实数},其“加法”及“数乘”运算定义为
x
x
y
y
,
k
xxk
证明:
R
是实数域
R
上的线性空间。
[证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性
①唯一性和封闭性
唯一性显然
若 , , ,则有
0x 0y Rk
x
Rxyy , 封闭性得证。
Rxxk
k
②八条性质
(1)
x y( xzxyyzxz ()()()
)y
z
(2)
x
y
yx
x
y
y
x
(3) 是零元素
1
x
xx
11 [
x
1
OxxOxO ]
(4)
x
1
是 的负元素
x
x 1
11
x
x
x
[ Oyx
]
(5)
xk ( )()() xkyxxyy
kkk
)( yk [数因子分配律]
(6)
)()( xkxxxxlk
lklk
)( xl [分配律]
(7) [结合律]
xklxxxlk
klkl
)()()(
(8) [恒等律]
xxx
1
1
由此可证,
R
是实数域
R
上的线性空间。
2.定理:线性空间具有如下性质
(1) 零元素是唯一的,任一元素的负元素也是唯一的。
(2) 如下恒等式成立:
Ox
0 , )()1( xx
。
[证明](1)采用反证法:
①零元素是唯一的。 设存在两个零元素
1
和
2
,则由于
1
和
2
均为零元素,O O O O
按零元律有
[交换律]
212121
OOOOOO
2
所以
21
OO
即 和 相同,与假设相矛盾,故只有一个零元素。
1
O
2
O
②任一元素的负元素也是唯一的。假设
Vx
,存在两个负元素 和y
z
,则根据负
元律有
zxOyx
zzOzxyzxyOyy
)()(
[零元律] [结合律] [零元律]
即
y
和
z
相同,故负元素唯一。
(2) ①:设
xw 0
,则 xxxxwx
)01(01 ,故 Ow
。
[恒等律]
②:设
xw )1(
,则 Oxxxwx
0)1(1 ,故 xw
。
3.线性相关性
线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。
•线性组合:
KcccVxxx
mm
,,,,,
2121
m
i
iimm
xcxcxcxc
1
2211
称为元素组 的一个线性组合。
m
xxx ,,
21
•线性表示:
V 中某个元素
x
可表示为其中某个元素组的线性组合,则称
x
可由该元素
组线性表示。
•线性相关性:如果存在一组不全为零的数
Kccc
m
,,
21
,使得对于元素
有
Vxxx
m
,,
21
0
1
m
i
ii
xc
则称元
素组 线性相关,否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的
概念,有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。
m
xxx ,,
21
4.线性空间
的维数
定义:线性空间
V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为V 的维数,记为 。 Vdim
本课程只考虑有限维情况,对于无限维情况不涉及 。
3
例 2. 全体 m×n 阶实矩阵的集合构成一个实线性空间(对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运
算),求其维数。
[解] 一个直接的方法就是找一个最大线性无关组,其元素尽可能简单。
令 为这样的一个 m×n 阶矩阵,其 元素为 1,其余
元素为零。
ij
E
),( ji
显然,这样
的矩阵共有 m×n 个,构成一个具有 m×n 个元素的线性无关元素组
mnmmnn
EEEEEEEEE ,,,;;,,;,,,
212,222111211
nmij
aA
)(
。另一方面,还需说明元素
个数最大。对于任意的 ,都可由以上元素组线性表示,
0
,,
AEaEaA
ji
ijij
ji
ijij
即
njmiE
ij
,2,1;,,21
构成了最大线性无关元素组,所以该空间的维数为 m×n
。
二、 线性空间的基与坐标
1. 基的定义:设
V 是数域
K
上的线性空间, )1( 是属于V 的 r 个任
意元素,如果它满足
,,
21
rxxx
r
(1) 线性无关;
r
xxx ,,
21
(2)
V 中任一向量
x
均可由 线性表示。
r
xxx ,,
21
则称 为
V 的一个基,并称 为该基的基元素。
r
xxx ,,
21
r
xxx ,,
21
•基正是
V 中最大线性无关元素组;V 的维数正是基中所含元素的个数。
•基是不唯一的,但不同的基所含元素个数相等。
例3 考虑全体复数所形成的集合
C 。如果 CK
(复数域),则该集合对复数加法和复
数的乘法构成线性空间,其基可取为 1,空间维数为 1;如果取
R
K
(实数域),
则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间,其基可取为
i,1 ,空间维
数为 2。
数域 K 两种运算 基 一般元素 空间类型 维数
复数域
C
(1)复数加法;
(2)复数对复数
的数乘
1
1
cc
复线性空间 1
实数域 R
(1)复数加法;
(2)实数对复数
的数乘
i,1
ibac
1
实线性空间 2
4
2. 坐标的定义:称线性空间
n
V
的一个基
n
x 为
n
V
的一个坐标系,
n
Vx
,它在该基下的线性表示为:
xx ,,
21
),2,1,,(
1
niVxKx
n
ii
n
i
ii
则称
n
,,
21
为 在该坐标系中的坐标或分量,记为 x
T
n
),,(
21
讨论:(1)
一般来说,线性空间及其元素是抽象的对象,不同空间的元素完全可以具有千差
万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来,坐标表示把这种差别留给了基
和基元素,由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。
(2)更进一步,原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及
数对向量的数乘。
1
nnn
nnnn
xxx
xxxxxxyx
)()()(
)()(
222111
22112211
正对应
),,(
),,(
),,(
2211
21
21
nn
n
n
yx
y
x
2
nn
xkxkxkxxxkkx )()()()(
2211
),,(
21 n
kkk
正对应
),,(),,(
32121
kkkkxx
n
(3)显然,同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关系。
三、 基变换与坐标变换
基是不唯一的,因此,需要研究基改变时坐标变换的规律。
设 是 的旧基, 是 的新基,由于两者都是基,所以可
以相互线性表示
n
xxx ,,
21
n
V
n
yyy ,,
21
n
V
),2,1(
1
nixcy
n
i
iijj
即
Cxxx
ccc
ccc
ccc
xxxyyy
n
nnnn
n
n
nn
,,,,,,
21
21
22221
11211
2121
其中 称为过渡矩阵,上式就给出了基变换关系,可以证明, 是可逆的。 C C
设 ,它在旧基下的线性表示为
n
Vx
5
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