在高中数学复习中，解析几何是重要的一环，特别是关于圆的方程。圆的方程通常是 x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0，其中 (g, f) 是圆心坐标，g^2 + f^2 - c 是半径的平方。
1. 圆心到直线的距离公式为 \(\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)，题中圆心坐标(1,4)，直线 ax + y - 1 = 0，通过计算可求得 a 的值。
2. 对于圆的一般式方程，x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0，可以转换为标准形式 (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2，找到圆心和半径，然后确定 x^2 + y^2 的最大值。
3. 当直线始终平分圆的周长时，意味着直线经过圆心。利用圆心坐标满足直线方程，以及1/a + 2/b 的均值不等式求最小值。
4. 方程表示圆的条件是判别式 D > 0，解不等式确定 m 的范围，同时当半径最大时，可以求出圆的方程。
5. 圆经过椭圆的三个顶点，分析椭圆的顶点坐标，结合圆心在 x 轴上的条件，求解圆的标准方程。
6. 方程表示圆时，系数 a 和 a+2 必须是相同的平方数，从而确定 a 的值，再求圆心坐标和半径。
7. 直线恒过的定点与圆心之间的距离等于半径，确定圆心坐标和半径，写出圆的标准方程。
8. 圆心在直线 x-2y=0 上，设圆心 (2b, b)，由与 y 轴相切及截 x 轴弦长条件，可以建立方程组求解 b，进而写出圆的标准方程。
9. 圆心 P 的轨迹是到 x 轴和 y 轴距离之比为定值的点集，利用相似三角形原理和距离公式可求得轨迹方程。当 P 点到直线 y=x 的距离为 \(\sqrt{2}\)，利用点到直线距离公式和圆的标准方程求解。
10. 点 M 是弦 AB 的中点，那么 M 的轨迹是小圆的直径所在的圆，即 M 的轨迹是以 OP 为直径的圆，根据条件 |OP| = |OM| 求解直线 l 的方程及三角形 POM 的面积。
11. 二次函数与坐标轴有三个交点，说明它与 x 轴和 y 轴各有不同交点，设交点坐标，构造圆的方程，利用韦达定理求解 b 的范围和圆的方程，最后验证圆是否经过与 b 无关的定点。
以上就是解析几何中关于圆的方程的若干问题，它们涵盖了圆的标准方程、圆心到直线的距离、圆的性质、方程的转换、不等式求最值等多个知识点，对于学生来说，这些都是高考复习的重点内容。通过这些练习，可以提升对圆的理解和应用能力。
