2021高考数学一轮复习第5章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课时作业含解析新人教B版

在高中数学复习中，平面向量的数量积及应用是一个核心概念，尤其对于准备高考的学生而言。数量积（或称为点积、内积）是向量运算的重要组成部分，它结合了向量的大小和方向，提供了衡量两个向量之间关系的手段。 1. 数量积的定义：对于两个平面向量a=(x1, y1)和b=(x2, y2)，它们的数量积定义为a·b=x1x2+y1y2。这也可以理解为向量a在向量b方向上的投影乘以b的大小。 2. 向量的模长：模长（或长度）是向量的一个重要属性，表示向量的大小。模长可以通过勾股定理计算，即|a| = √(x1^2 + y1^2)，同样适用于向量b。 3. 夹角和数量积的关系：两个向量的夹角θ可以通过数量积来计算，cosθ= a·b / (|a| * |b|)。这说明数量积可以用来确定两个向量之间的角度。 4. 向量的垂直关系：若两个向量垂直，即它们的夹角为90°，则它们的数量积为0。例如，题目中的(a-b)·b=0，暗示向量(a-b)与b垂直。 5. 投影：一个向量a在另一个向量b方向上的投影等于a·b / |b|，这个投影可以帮助我们理解向量在特定方向上的分量。 6. 平面向量的应用：在几何问题中，向量的数量积常用于解决三角形的面积、力的作用效果、速度和加速度的方向等问题。例如，在三角形ABC中，向量的叉积可以用于计算三角形的面积，而数量积可以用来确定角度或者寻找平行和垂直关系。 7. 解题技巧：在处理具体问题时，常常需要通过代数操作，如平方、开方等，来简化计算，如题目中的a·(a-b)=a²-a·b，这有助于快速求解问题。 8. 特殊情况：当两个向量同向（平行且方向相同）时，它们的数量积等于它们模长的乘积；当反向（平行且方向相反）时，数量积为负的模长乘积。 9. 条件与结果的关系：一些数学命题中的条件可以直接推导出结果，例如，“与的夹角为锐角”是“|a+b|>|a-b|”的充分必要条件，这是因为两个向量夹角为锐角意味着它们的和向量的模长大于差向量的模长。 10. 最值问题：在涉及到向量的数量积时，往往需要找到某个变量的最值。这通常可以通过微积分或二次函数的性质来解决，例如题目中找·的最小值。 通过这些练习题，学生能够巩固数量积的概念，掌握其计算方法，并能运用到实际问题中去解决几何和代数问题。在高考复习中，理解并熟练运用这些知识点是非常关键的。