椭圆是二次曲线的一种，是平面内到两个固定点（焦点）距离之和为常数的所有点的集合。本节内容主要围绕椭圆的定义、标准方程、几何性质以及如何根据几何条件求解椭圆方程进行学习。
椭圆有两类标准方程：
1. 焦点在x轴上的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a > b\)，\(a\)是半长轴，\(b\)是半短轴。
2. 焦点在y轴上的标准方程：\(\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1\)，同样\(a > b\)。
椭圆的几何性质包括：
- 范围：\(x\)和\(y\)的取值范围分别由\(a\)和\(b\)决定，对于x轴上的椭圆，\(x\)在\([-a, a]\)之间，\(y\)在\([-b, b]\)之间；对于y轴上的椭圆，\(y\)在\([-a, a]\)之间，\(x\)在\([-b, b]\)之间。
- 对称性：椭圆关于x轴、y轴以及原点对称。
- 顶点：椭圆有两个顶点在x轴上，坐标为\((-a, 0)\)和\((a, 0)\)，两个顶点在y轴上，坐标为\((0, -b)\)和\((0, b)\)。
- 长轴和短轴：长轴的长度是\(2a\)，短轴的长度是\(2b\)。
- 离心率：椭圆的离心率\(e\)表示椭圆的扁平程度，\(e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}\)，\(0 < e < 1\)。离心率越小，椭圆越接近圆形；离心率越大，椭圆越扁平。
在解题过程中，通常需要先将椭圆的方程化为标准形式，然后根据题目要求分析几何性质，例如离心率、焦点位置、顶点坐标等。例如例题1中，要求椭圆的长轴和短轴的长度、离心率、焦点和顶点坐标，需要先确定\(a\)和\(b\)，然后根据公式计算相应的值。
此外，椭圆的离心率\(e\)是椭圆的重要特性，它与椭圆的形状紧密相关。例如，如果\(e = \frac{1}{2}\)，那么椭圆相对较为圆润；而如果\(e\)接近1，椭圆则会更扁。在实际应用中，离心率可以帮助我们描述椭圆的形态特征，比如在天文学中，行星轨道的形状可以通过其离心率来描述。
学习椭圆的这部分内容，不仅要求掌握基本的理论知识，还需要能够运用这些知识解决实际问题，例如例题2中，通过建立几何关系求解点的轨迹，这里点的轨迹即为椭圆。
在实际生活中，椭圆的形状也经常出现，如本节提到的篮球在斜平行光线照射下的阴影。这种情况下，篮球与地面的接触点成为椭圆的一个焦点，而另一个焦点则位于篮球的对称位置。
通过课堂检测和课后作业，学生可以检验自己对椭圆的理解和应用能力，包括离心率的计算、椭圆方程的求解以及比较不同椭圆的形状等。这有助于巩固所学知识，并提高解决实际问题的能力。
