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matlab上机作业报告(计算初等反射阵,用Householder变换法对矩阵A作正交分解,连续函数最佳平方逼近等).docx

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一、给定向量 x≠0，计算初等反射阵

。

1．程序功能：

给定向量 x≠0，计算初等反射阵

。

2．基本原理：





x  x ,x ,�,x

 R

的分量不全为零，则由

若

  sign(x ) x





u  x e  (x  , x , , x )





 (

 x )







H  I  2

 I   uu

1





Hx   e  y ；当

(1 k  n)

时，由

确定的镜面反射阵 H 使得







( )( ( ))

 sign x

1/ 2



ik

u

(k )

 (0, ,0,  ,

, , )

 R



k1







(u ) u

 ( ) =  (u )

 x



(k ) T (k )

(k ) T

H  I   u (u )

1 (k )

(k ) T

H x  (x , x , , x , ,0, ,0)  R

有



k 1

算法：

(1)输入 x，若 x 为零向量，则报错

(2)将 x 规范化，





M  max x , x ,�, x

如果 M＝0，则报错同时转出停机

 x M ,i  1,2,�,n

否则 x

 x

 0 ，则



 



(3)计算

，如果 x

 (

)



 x

(4)

u  x,u(1) x 

(5)计算



H  I  uu

(6)



1

y  (M ,0, ,0)

(7)



(8)按要求输出,结束

3．变量说明：

－输入的 n 维向量；

－ n 维向量 x 的维数；

M － M 是向量 x 的无穷范数，即 x 中绝对值最大的一项的绝对值；

－ Householder 初等变换阵的系数ρ ；

－ Householder 初等变换阵的向量 U

－向量 x 的二范数；

－输入的 n 维向量；

－ n 维向量 x 的维数；

－ Householder 初等变换阵的系数ρ ；

－ Householder 初等变换阵的向量 U

－数 k，H*x=y，使得 y 的第 k+1 项到最后项全为零；

4．程序代码：

(1)

function [p,u]=holder2(x)

%HOLDER2 给定向量 x≠0,计算 Householder 初等变换阵的 p,u

%程序功能：函数 holder2 给定向量 x≠0,计算 Householder 初等变换阵的 p,u；

%输入：n 维向量 x；

%输出：[p,u]。p 是 Householder 初等变换阵的系数ρ ，

u 是 Householder 初等变换阵的向量 U。

% 得到 n 维向量 x 的维数；

% 初始化 p,u；

n=length(x);

p=1;u=0;

M=max(abs(x));

if M==0

% 得到向量 x 的无穷范数，即 x 中绝对值最大的一项的绝对值；

% 如果 x=0，提示出错,程序终止;

disp('Error: M=0');

return;

else

x=x/M;

% 规范化

end;

s=norm(x);

if x(1)<0

s=-s;

% 求 x 的二范数

% 首项为负，s 值要变号

end

u=x;

% 除首项外，其余各项 x,u 相同

% 计算 u 的首项

u(1)=s+x(1);

p=s*u(1);

if n==1 u=0; end

% 计算 p

% 若 x 是 1×1 维向量，则 u=0

(2)

function H=holderk(x,k)

%HOLDERK 给定向量 x≠0,数 k，计算初等反射阵 Hk，使 HkX=Y，其中 Y 的第 k+1 项到

最后项全为零；

%程序功能：函数 holderk 给定向量 x≠0，数 k，计算初等反射阵 Hk，使 HkX=Y，%程序

功能：函数 holder2 给定向量 x≠0,计算 Householder 初等变换阵的 p,u；

%输入：n 维向量 x,数 k；

%输出：H。H 是 Householder 初等变换阵，H*x=y，使得 y 的第 k+1 项到最后项全为零；

%引用函数：holder2；

n=length(x);

if k>n

% 得到 n 维向量 x 的维数；

%如果 k 值溢出，报错；

disp('Error: k>n');

end

H=eye(n);

% 初始化 H，并使 H(1:k,1:k)=I；

[p,u]=holder2(x(k:n));

% 得到计算 Householde 初等变换阵的系数ρ、向量 U；

H(k:n,k:n)=eye(n-k+1)-p\u*u'; % 计算 H(k:n,k:n)=I-p\u*u'；

5．使用示例:

情形 1:

X 为零向量

>> x=[0,0,0,0]';

>> H=holderk(x,1)

Error: M=0

H =

情形 2：

K 值溢出：

>> x=[1,2,3,4]';

>> H=holderk(x,5)

Error: k>n

情形 3：

K 值为 1：

>> x=[2,3,4,5]';

>> H=holderk(x,1)

H =

-0.2722 -0.4082 -0.5443 -0.6804

-0.4082 0.8690 -0.1747 -0.2184

-0.5443 -0.1747 0.7671 -0.2911

-0.6804 -0.2184 -0.2911 0.6361

检验:

>> det(H)

ans =

-1.0000

>> H*x

ans =

-7.3485

0.0000

情形 4：

(1)K 值为 3：

>> x=[4,3,2,1]';

>> H=holderk(x,3)

H =

1.0000

0 -0.8944 -0.4472

0 -0.4472 0.8944

检验:

>> det(H)

ans =

-1

>> H*x

ans =

4.0000

3.0000

-2.2361

(2)K 值为 2:

>> x=[4,3,2,1]';

>> H=holderk(x,2)

H =

1.0000

0 -0.8018 -0.5345 -0.2673

0 -0.5345 0.8414 -0.0793

0 -0.2673 -0.0793 0.9604

>> det(H)

ans =

-1.0000

>> H*x

ans =

4.0000

-3.7417

0.0000

二、设 A 为 n 阶矩阵，编写用 Householder 变换法对矩阵 A 作正交分解的程序。

1．程序功能：

给定 n 阶矩阵 A，通过本程序用 Householder 变换法对矩阵 A 作正交分解，得出 A＝QR

2．基本原理：

任一实列满秩的 m×n 矩阵 A，可以分解成两个矩阵的乘积，即A＝QR，其中Q 是具有

法正交列向量的 m×n 矩阵，R 是非奇异的 n 阶上三角阵。

算法：

(1)输入 n 阶矩阵 A

 

:n,k

( ) 。 k

� n

 1, 2, , 1

(2)对 A k

，求 Househoulder 初等反射阵的 

(3)计算上三角阵 R，仍然存储在 A

H A

( )

 A(

k

j  k , k  1,� , n

1 









 

a 

(k)







k

(k1)

 a

(k)

 t u

 

(4)计算正交阵 Q

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