优化阵列信号处理上册波束优化理论与方法8-9章.pdf.pdf

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优化阵列信号处理- 上册- 波束优化理论与方法 8-9章. 第8章:宽带波束形成,第4章:宽带优化波束设计。
优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 第8章宽带波束形成 ·222° 220 的窄带数据,可以采用如下方法实现:将阵元数据进行频谱搬移,即将/频率搬移 n)(k) (8.13) 到基带,然后进行低通滤波。假设长度为L的FR低通滤波器系数为h() 式中,(k)是对逆序排列阵列数据进行加权求和得到的子带波束输出样本 1=1,…,L),在某吋刻(倘设为i时刻)的滤波器输出依赖于当前输入及在此之后的 L-1个输入,则第k个窄带分量的基带数据可以表示为 由于式(8.3)是简单的求和处理,避免了复杂的IT计算,这比较适合采用平 滑窗处理技术。每次进行DFT时,数据块中只有一个数据进入缓存进行更新,每次 ∑(L-1)xn(+1)exp(12r//) (8.14) 只需要运用式(8.13)计算最近波束时域输出。通过移动平滑窗,便可以得到波束时 域输出序列。 经过低通滤波之后,该基带数据的带宽柞对于原宽情数据减小很多,因此可以 值得指出的是,式(8.13)的计算量小于式(8.12)的计算量,但本书为了后续推导 对该基带数据通过再采样以降低数据量。若再采样率为L,可定义i=L,则降采 方便与结果直观,并没有采用该文献屮的衣述 样的输出基带数据可以表示为 计算出各段波束输出数据后,将各段数据连接起来,可以构成长时间波束输出 x全 序列 (8.15) 综上所述,结合图8.1,频域DFT宽带波束形成实现步骤如下。 ∑(L-4)xn(1+0)xp(12mk/D) (1)将基阵接收的各阵元数据采样得到xn(1),m=1,…,M,再分别进行分段,各 段数据长度为L。各段数据可以是连续的,也可以是部分重叠的。在实时处理系统 式(8.15)可以理解为:中心频率为f的窄带数据复基带可以由阵元接收的长度 中,该步是通过缓存米实现的。 为L的数据段进行窗函数为(),长度为L的离散傅里叶变换后得到。这里可以理 2)对于某一段数据,如第n段,对各阵元数据x(),l=0,…,L-1分别进行 解为处埋批次序号。如果阵元数据长度恰好为L,则只有一个输出,即处理批次数 点DFT,得到频域窄带数据Xm(k),如式(84)所示 为1,也就是只有在当前时刻 时具有一个输出。如果窗函数取矩形窗,即 (3)提取出各阵元各窄带频域数据矩阵X(k),如式(87)所示。由于工作频带 6,=1,令式(815)+=0可得 般是有限的,所以往往只需要取出位于工作频带内的卒带数据即可 (4)采用第5~7章中的方法设计对应窄带波束加权向量w( ∑xn()exp(-i2ank/L (8.16) (5)对各窄带数据进行加权求和,得到各子带波束数据y(k),如式(8.9)所示。 (6)对各子带波束输出进行IDFT,得到时域输出序列y(D),如式(8,10)所示 它与式(85)具有相同的形式,因此上式可以利用L点FFT实现。 (刀)与第(1)步相对应,将各段波束输出数据时间序列连接起来,构成波束长时 对于第(2)步,将当前时刻各阵元在第k个子带的频域基带数据写成M×1维列 向量 问输出序列y() x=0 (8.17) 82.2另一种解释 对各」带基带数据进行柑应的加杈求和,则第k个窄带分量基带数据波束输 设想宽带波束形成采用如下方法实现。 出为 (1)将宽带数据分解为很多窄带数据,分别取出各窄带数据。 (2)对各窄带数据进行加权求和波束形成 r(40=w(s\Xos (8.18) (3)由各窄带波束输岀合成宽带波東输出时间序列。 本节将要证明,该实现途径可以理解为8.2.1节所述DFT波束形成的另一种 它与式(8.9)具有相同的形式。 解释 对于第(3)步,将该波束输出再次调制到f频率附近,并将采样频率升高L倍 对于第(1)步,以第m号阵元接收数据为例,假设需要将整个宽频带等间隔分 、需要一个频域快拍就可以得到L个时域输出 成L个窄带,定义第k个窄带中心频率为f=f(k/L)。如果要取击中心频率为 第8章宽带波束形成 223· 222 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 (M+1)×C×1og2+MK](1-m) (8.21) () k"exp(i2πlk/L),l=0,…,L 如果采用平滑窗处理技术,则需要的复数乘运算量为 与式(8.11相比较可以看出,式(8.19)可以利用式(8.10)所示傅里叶逆变换实现。 (M+1)×xlog2+Mk]e (8.22 比较式(8.19)与式(8.11)可以看出:当数据长度刚好为L时,DFT波束形成后如 注意,每次复数乘运算相当于4次实数乘运算。 果选取最近时刻的一个输出样本数据,则该输出样本数据与本节所述途径计算的 例8.1DFT波束形成 输出数据相等,即 考虑一个12元均匀线列阵,阵元间隔为刈应于频率f的半波长。假设一线性 (8.20) 调频信号源从-30°方向入射到基阵,不考虑噪声。 可见,本节实现遼径可以理解为DFT波束形成的另一种解释。 8.2.3分析与讨论 对于每段数据,对各阵元接收数据进行DFT之前采用时域矩形窗对数据进行截 断。我们已经知道,通过DFT到频域吋,该有限长度数据对应的实际频谱应该是无 限宽的。而我们只取了其中的有限频带进行子带窄带波束形成,然后进行傅里叶逆 变换,即相当于在频域使用了矩形窗滤波。这表现为我们获得的波束输出时间序列 事实上是理想的输岀与某滤波器的卷积输出,使得获得的该块波束输出时间序列与 理想输出间有在畸变。由于卷积处理建立时间的影响,在该块数据的前后两部分畸 变比较严重。 这样就造成了分段DFT波束形成器输出时间序列在各段之间出现不连续的现 时间序号 象,这正是频域DFT波束形成器的缺点之一。这一点通过后面的仿真可以看得比较 (a)倍号源波形 直观。 关于建立时间,这里进行简单解释:长度为N的数据与长度为L的滤波器进行 卷积时,输出数据长度为N+L-1。对于输出数据的前后各L-1个点,它是由有效 数据和部分0数据组合的数据与滤波器进行卷积的输出结果。如果取滤波器输出与 输入长度相同,实际上只是剔除了卷积输出的后面L-1个点,而滤波输出的前面有 L-1个数据点是存在误差的,这段时间称为滤波器建立时间。 护否 下面分析DFT波束形成的计算量。 在对数据进行傅里叶变换阶段,假设FFT长度为E,不妨假设该长度是2的整 数次幂。则对M个阵元数据进行FF需要的计算量为 M xlxlog2次复乘运算 在进行加权求和阶段,假设波束形成加权向量已预先求出。若处于工作频带内 的子带数量为K,K<!,则对这些子带进行复数加权需要的计算量为MxK次复 颊率(×G (b)功率谱 数乘运算 将波束输出频域数据进行逆FFT到吋域,需要£xlog2次复数乘运算 图8.3线性调频信号源 在频域波束形成中,数据分段往往需要进行重叠分段(数据交迭)。假设交迭率 假设线性调频信号源波形为 为a",则长度为的数据进行频域波束形成需要的总复数乘运算量为 优化阵列信号处理(上册):波東优化理谂与方法 第8章宽带波束形成 sin2πf1+ f-f ,0≤t≤T 轭。其他未进行波束形成的子带输出置为0。将两段IDFT输出数据连接起来, s()=s(tI (8.23) 如图8.5(b)所示。 其他 假设将阵元数据按50%重叠,每段数据长度为256点,可分成3段。保持处理 式中,与f分别是调频信号源的下边界与上边界频率:T是信号持续时间。令 频带相同,得到的3段波束输出频域数据如图8.5(c)所示 f=f612,f=0,采样频率∫=5/6。假设信号源吋间序列长度为Tf=512点 将3段波朿输出频域数据进行IDFT,得到时域输出,然后按照相同的重叠率将 信号源波形如图8.3(a)所示,其功率谱如图8.3(b)所示 各段数据连起来,得到的时域输出序列如图8.5(d所示。 该调频信号经过时间延迟后的波形为 (8.24) 根括信号源到达方向与阵元位置关系计算出信号到达各阵元的相对时延,然后 0 可以利用式(8.,23)与式(8.24)计算出全部12个阵元接收信号波形,如图84所示。 每个阵元上有效信号持续长度都为512点。 举计=1 12 HNAAAAANNNNWAAWWWAMAMNMWAMWM 200300400500 11N 频率序号k 时间序号 (a)无亘叠分段频域数据 b)无重叠分段波束输出时间序列 1R 6AAANNAiM2MA06WMWM.. AMN/M NWW 05 4 NNANNAMNAAM3MMWMWNAMW 3 AAAWANWNMMWMAMMAMAAAMWWMYWNMWMW n=2 100 0 20 300400500 时间序号 题率序号k 图84各阵元接收信号泼形 c)50%重叠分段频 (d)50%重叠分段波束输出时间序列 对基阵数据进行宽带波束形成,简使起见,这里我们采用常规波束形成方法, 图8.5DFT波束输出结果 波束方向为-30°。在不存在误差的情况下,波束输出时间序列应该与信号源波形 考察非重叠与50%重叠两种处理波束形成器对原始信号的保真程度。分别将两 全相同。 种处理波束输出时间序列与原始信号波形相比较,图86显示了两种处理波束输出 假设将阵元数据无重叠地分成两段,每段数据长度为256点,即每次进行256 时间序列与原始信号之差,即y()-s(i)。 点DI。对于每段数据,取出频域数据中k=21…,56的子带数据,对应频带范围为 非重叠处理在每段数据的前后部分出现较大失真,将分段波束输出结果进行连 0.4102,1093861,完全覆盖信号频带[0.5后,后],然后对取出的各子带频域数 接时,段间连接处出现较大失真,即波束输出时间序列在段间“缝合”不流畅。对 据进行常规波束加权求和,得到的两段波束输出频域数据幅度如图8.5(a)所示 于重叠处甦,由于得到的每段波朿输出数据仅取中间误差较小的部分,抛弃了段前 对两段波束输出频域数据进行IDFT,得到时域输出。为了使波束输出为实数 后部误差较大的部分,所以可以克服段间“缝合”不流畅的缺点。这一点从图86 进行IDFT之前可以将处埋子带对应的负频率子带赋值,其值与对应正频率数据共 中间段部分(i=192,…,320)可以非常明显地观察到。当然,重叠处理方法中,由于 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 第8章窳带泼束形成 227 第1段前部与第3段后部若干点没冇前续与后续处理结果可供重叠“缝合”,仍具有 x(n 较大的失真 A/D A A/D 重叠 ) 50%重叠 300 4U0 间序号 图86DFT波束输出序列与信号源波形失真大 图87时域FIR波束形成器 产生段间“缝合”不流畅的原因是:分段处理数据时间长度有限,对于有限时 第2章已经介绍了基阵接收数据模型,下面重写宽带数据模型。假设有D+1<M 间长度的信号来说,其频率宽度应该是无限宽的。由于在进行频域波束形成时只取 个远场宽带点源平面波从D+1个方向,B1…,日2…O入射到一个M元基阵。该基 了有限个子带进行波束形成,也就相当于在频域加了一个矩形窗。当进行傅里叶逆 阵第m号阵元接收时间步列为 变换到时域时,相当于原信号进行了带通滤波。对信号进行滤波时,由于滤波器建 立时间的原因,时域信号的前面部分点产生误差,故通过傅里叶逆变换得到的时域 xn()=Bs[-m()+∑[t-m(O)+m(),m-1…,M(8 波束输出在前面的部分点出现误差。于是,各段频域数据分段变换到时域,然后组 合成时域数据时,在各段数据之间出现了“缝合”不流畅现象。如果增加进行频域 式中,{(0)4,为在空间某任意参考点测量的D+1个信号波形;m(2)为第d个 波朿形成时的」带数目,即增加频域矩形窗宽度,则波束输出时间序列前后部分失 源信号传播到第m号阵元相对于参考点的传播时延;n()是第m号阵元接收的背 真减小,其代价是増加了处理运算量。 景噪声。假设式(8.25)中第1项对应于期望信号,第二项对应于D个干扰。β=0或 这也是我们在工程实现中碰到的对波束输出时域数据进行监听时出现周期性干 1,表示在波束设计时期望信号是否包含在训练数据屮。 扰的原因。 在常规 Frost波束形成中,假设波束观察方向刚好指向期望信号方向a,即 DFT波束输出与源信号失真的外一个原因是,当信号源从非止横方向入射时, 。=B,各阵元预扫描延迟为 各阵元接收信号存在相对延迟。DFT波束形成属于分块处理,这造成单次处理数据 m =-tm(0) (826 块中各阵元数据频谱特性存在(细微)差别,因而使波束形成产生误差。 该预延迟使期望方向信号到达各阵元吋具有相同的相位。由于在实际中该预延迟通 8.3时域FIR波束形成器 常不是采样周期的整数倍,所以往往采用模拟预延迟(如机械扫描或电子扫描),然 后进行采样得到数字信号。于是,第m号阵元的预延迟样木数据为 Fros于1972年提出了基于FR滤波器的时城宽带波束形成方法,该波束形 =xm (oler =x (t-Tm )I (827) 成器的结构如图8.7所示 注意,这里数字信号x(是将阵元模拟信号xm()延迟G后再采样得到的,这 228 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 第8章宽带波束形成 与DF波束形成数据模型式(81)有所不同,式(81)是直接对x()采样得到xn、()。 与频域DF波朿形成计算量式(8.21)相比较可知,在一般参数选取情况下(如 然后各阵元的样木数据分别通过一个横向滤波器(FIR滤波器)。假设滤波器长 取1=256,a=0.5,L=64),DFT波束形成与FR波束形成的计算量相当 度为L,节拍延迟(采样周期)为7。则各节拍输入数据分别为 84基于FFT的FIR波束形成 xm()=xn[-(-1)]-xn[t-m-(-1)1,m=1…M,1=1,…,L(828) 对所有延退样本数提进行加权求和即得到波束输出时间序列。假设对应于第m 假没DFT波朿形成器与 Frost FIr波束形成器的输入样本数据都是预扫描延迟 号阵元第l个节拍的可调节的权值是bn,波束输出时间序列可表示为 后的数据。不妨假设DFT波束形成中输入数据块长度L[式(8.2)与FR波束形成 中滤波器长度L[见式(8.30)]相等(这也是两个表达式中都特地选用同一符号L的原 y(=∑∑hmn[2-(-1)]=∑∑mx( (8.29) 因),且两种方汏波束形成输入数据完全相同。口于式(8.2)中序号L-1对应于最近 的时问样本,而式(8.30)中号1=1对应于最近时间样本,且假设数据长度也为 定义两个M×L维矩阵 L(只有一段数据)。因此,式(8.2)中的xm()与式(8.30)中的xm/()具有如下关系 xu(i) (i=0),=0.……,L (8.35) X(i (i) 8.30) 将式(8.35)代入式(8.5)可得 Xm(k)=∑m(2(=0)x(-12k/L) 与 >mr(i-Oexp(-i27k(L-1)/L) (8.36) = (i=0)exp(-i2πk(-1)/L,k=0,…,L H=hml (8.31) 如果令DFT波束形成器最近波束输出数据与FIR波束形成器最近输出样木相 h 等,则令式(8.12)中n=0,l=L-1,及式(8.29)中i=0,有 引入操作 y"(D)L=.1=y(i)l= (8.37) x(()=vec(X() (8.32) 由式(8.12)、式(829)与式(8.37)可得 h=vicHy (8.33) 式中,vec表示向量化操作,该操作将矩阵的各列从上到下组合起来构成一个长 (n=0)(k)exp in(x-D1-∑>(=0 (8.38) =1=1 列向量。本书将矩阵数据向量化后得到的向量称为堆积向量。x()表示时刻对应 将式(89)与式(8.36)依次代入式(8.38)左边可得 的数据。 于是,武(8.29)可以写成 ∑∑hmxm(=0) ()=hx(i) (834) 这便是时域波束形成器输出表达式 yin(k)exp[ i2Tk(L-1)/L 下面分析HR波束形成的计算量。 在所有滤波器系数预知的情况下,假设滤波器系数为实数,对长度为l的数据 18∑ (2)xmo)(k)lexp[i2 k(L-1)/L 进行FIR波束形成的计算量为Mxl×L次实数乘运算。 230 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 第8章宽带波束形成 26(0 k(L-1) exp (L-1) A/D L FIR滤波器组 ) (A)∑x1(=0=P -i2Tk(L-l 2rk(L-1) exp A Ai) 18(6Ep i2πk(l-1) 域加权值 傅甲计、FR滤菠器 1,G 变换 图88基于FFT的FR宽带波束形成 ∑∑{m(=0)∑( 12k(-1 n-1-1 (4)各阵元时域数据通过对应的FIR滤波器,然后相加得到波束输出时间序列。 可见,如果式(840)满足,则式(8.39)亦成立,于是 该方法避免了 Frost波束形成中所需要的ML×ML维矩阵求逆的复杂计算过程, 计算量较小。但同时注意到在该方法中,FR滤波器的长度必须与DFT的长度相等 之(f)exp 2x(1-11 =1,…,L,k=0,1,…,L-1(840) 如果要提高波東形成器的精度,子带就需要划分得比较密集,即加大DFT的长度 这样滤波器长度随之增加,会增加处理运算量。 此外,根据该FIR波朿形成器中滤波器系数与频域加权值的傅里叶刈关系,我 hn(=,2,…,D)=TDFT k=0,1,…,L-1) 们可以进一步作如下理解:从频域加权值计算FIR滤波器系数其实就是设计一组期 L 望频率响应为频域加权值的FIR滤波器。从该概念看,该FIR滤波器中所使用的FIR 滤波器设计是简单地根据滤波器期望响应求傅里叶逆变换得到的,即采用的是最简 f),(k=0.1,…,L-1)=DFT{bm,(=1.2,…,L)} (842 单的窗函数设计法,设计效果并不会太理想。 另外,从武(8.37)可知,这种FR波束形成器最近输出样本与DFT波束形成器 该关系式表明,对各阵元频域加权值求傅里叶逆变换便可以得到时域波束形成 最近波束输出数据相等。而由8.2.3节分析已经知道,DFT波束形成器的最近输出 FR滤波器系数,这与文献[185推导的结果类似。唯一的区别是,在文献[185]中 数据处于该段的段前,是失真较大的部位,因此,这种基于FFT的FR波束形成器 频域加权向量求傅里叶变換(而不是傅里叶逆变换)得到FIR滤波器系数,这是由该 输出存在较大信号失真 文猷中输入数据逆序排列引起的。 由式(8.41)与式(8.42)所示频域加权值与FIR滤波器系数的傅里叶对关系可知 8.5FIR波束形成器中的滤波器设计 在FIR波束形成器中,某阵元在某频率的等效频域加权值等于该阵元对应的FR滤 波器在该频率的响应。该关系非常直观,比文献[85]中的关系式更使于理解 84节中已绎指出,FIR波東形成器设计问题其实就相当于设计一组FR滤波器, 鉴于频域加杈向量与FIR滤波器的对应关系, Godara提出了基于FFT的时域 使其频率响应在对应的頻率点与该频率DFT波束形成加权值相等。可见,设计具有 FR宽带波束形成器设计法8,其设计方法的处理框图如图8.8所示 期望频率响应的FIR滤波器是FIR波東形成器设计的关键部分。本节重点单述期望 该基于FFT的FIR宽带波朿形成实现步骤如下。 频率响应FIR滤波器设计方法 (Ⅰ)根撫基阵接收的时域宽带数据估计出各子带数据协方差矩阵。 假设长度为L的FIR滤波器具有冲激响应 (2)采用第5~7章中的窄带波束形成方法设计出各子带对应的加权向量 n(A)。如果子带波束设计中不需要运用子带数据协方差矩阵,则第()步可省路。 h=[(1,…,h(0,…,M(L (843) (3)根据频域加权值与FIR滤波器系数的傅里叶对关系,计算出各阵元对应的 该滤波器的复频率响应可以表示为 FIR滤波器系数。 优化阵列信号处理(上册):泼束优化理论与方法 第8章宽带波束形成 233 将滤波器的连续频率响应离散化,假设频率上的采样点分别为∫1,2…fk sh(c i2l=e ch=he( (8.44) (f∈F,k=1,2,…K)。假设滤波器在频率f的期望响应为H(f)。与式(7.8)类 式中,C(f)=[1e2,…,e+2:是采样频率。对应地,采样周期为 期望滤波器与设计出的滤波器频率响应误差的氾数可以表小为 T=1/ S=a"9o(H-hall 比较式(8.44)与第2章中的波束响应表达式可知,这两个表达式非常相似。事 式中,2=[4,…,…,]是非负误差加权因子;H=[H(),F()2…,H(月与 实上,作为时或信号处理的滤波与作为空域信号处理的波束形成有很多相似的对应 H1=[H4(,H()…H1(k月分别为设计滤波器频率响应与期望频率响应 关系。表8.1列出了时域处理与空域处理的部分对应关系 使用不同的范数最小化可以得到不同逼近准则的最优滤波器。与第7章波束加 表81时域处理与空域处理的相似对应关系 权向量设计类似,分别使加权。范数、1范数与E2范数最小,得到FIR滤波器设 空域处理 计的三种单一范数准则分别为 处理时域采样数据 处理阵列(空间采样)数据 min nax c(n)h=B(),f∈ (847) IR滤波器 汉束形成器 时域滤 波束形成(空域滤波) 频率响应7 波束响应B(O) ∑2l(A)=B1) 滤波器系数h 波束形成器加权向量w 率响应向量e(f) 基阵响应向量p(O) AF()()」∈F (849 波束形成器设汁 谱估计 方位(谐)估计 显然这三个优化问题可以釆用与第7章波束加权向量设计类似的方法求解。具 FTR滤波器除了与波束形成器具有很多相似之处外,也存在一些区别:波束形成器 体推导与求解方法可以参阋文献[199]。 加权向量是复数,而FIR滤波器的系数虽然可以是复数,但大多数情况下是实数。 例8.2小数时延FR滤波器设计 鉴于FR滤波器与波束形成器的类似关系,期望频率响应FR滤波器的设计问 在信号没有确定解析表达式的情况下,为了得到该信号经过非整节拍(采样周期) 题可以采用与期望响应波束形成器设计问题类似的方法。第7章已经介绍了基于 延迟的样本,可以采用小数时延FR滤波器来实现。换言之,小数吋延滤波器就是 阶锥规划的期望响应波束形成器设计方法,包括单一范数准则方法与混合范数准则 指当运用该滤波器对宽带数据进行滤波后,滤波输出相当于输入数据进行了某小数 方法,这些方法可以借鉴用于FIR滤波器设计。 节拍延迟。由于数字信号整数节拍延迟可以直接通过数字延迟线来实现,所以小数 8.5.1最小加权误差准则 时延滤波器的延退量只需处于[-0.57,0.57)范围即可 假设滤波器系数为实数,由于一个长度为L的FIR滤波器的故有群延迟为 通过使设计的FR滤波器频率响应与期望频率响应之间的误差范数最小,便可 (L-1)r/2(复数系数滤波器不存在固有群延迟),当期望滤波器延迟接近于该延迟 以得到满足期望频率响应的最优解。 时,设计精度较高。于是,小数延迟FIR滤波器的期望频率响应为 类似于笫7章,假设FR滤波器在频率∫处的期望频率响应为2(),设计滤 Ha(d=e2r(,+r-c 29.(D+/,,, fa E FPB 8.50 波器与期望滤波器之间的误差范数可以表示为 中,f=f/表示数字频率,或称归一化频率;FP表示延迟滤波器的通带,由 (845) 于采用数字频率,FC[00.5]:∈[0.570.57)为期望延退量;D为如下整数 式中,F=[0,/2]表示个频带:2()是非负的误差加权函数,用于调节不同频率 (L-1)/2,L为奇数,z∈[0.570.57) 的拟合紧密程度,相对权值越大,最后得到滤波器在该频率的精度越高。典型地 D=L/2-1,L为偶数,∈[0057) (8.51) q=∞,1,2时,对应的误差范数分别为C氾数、1范数与2范数 L/2+1,D为偶数,r∈[0.570) 34 优化阵列信号处理(上册):泼束优化珥论与方法 第8章宽帶波束形成 235 山式(8.50)知,滤波器实际延迟量为DT+z。可见,宽带数据经过滤波器后, 从图中可以看出,三种准则设计的滤波器的频率响应都能较好地拟合期望频率 需要反向延迟(即超前)D个节拍,才能刚好满足期望小数延迟τ。在实际应用中, 响应,只是各种准则设计的滤波器的各种误差范数大小各不相同。这三个滤波器是 我们其实并没有必要进行反向延迟,因为绝大多数情况下系统输出与输入间存在一 期望滤波器的三种误差最小意义上的最优解。 定的整数节拍延迟并不影响其性能。 验证设计山的小数延迟滤波器的性能。假设某调频信号由式(8.23)给出,波形 假设要求设计的小数时延滤波器各参数如下:滤波器长度L=15,期望延迟量 如图8.3(a)所示。根据式(8.23)与式(824)可以计算出该信号延迟(=0.123457后的 0.123457,通带截止频率取04f,即FB=[0,0.4]。 解析表达式,画出其波形如图8.10(a)所示。该波形是原始信号理想时延波形 将数字频带[00.5)均匀离散化为100个频率点。道过式(850)计算该滤波器的 如果运用图89(a)所示滤波器中的2准则小数时延滤波器来对图8.3(a)所示的 期望频率响应,如图8.9中园点所示。假设在频带[0.0.4内误差加权系数都取1,其 原始信号进行滤波,并反向延迟D=7个节拍,得到的波形如图8.10(b)所示 他区域误差加权系数都为0。分别采用三种单一范数优化准则设计小数时延滤波器, 设计出的小数时延FIR滤波器的幅度与相位响应如图89a)所小。图89(b)显示了 三种准则设计FR滤波器与期望滤波器响应之间的误差 30.5·期值 400 500 准则 时问序号 1准则 2准则 200 300 时间序号t (b) a)滤波器频率响应 准则 5 400 时间序 (c) 图8.10小数延退FIR滤波器效 图810(c)显示了通过滤波器进行廷时得到的波形与埋想时延波形之间的误差 由图可见,只有最前面与最后面部分点存在较大误差,前面的部分点存在的误差是 丁滤波器存在建立时间与源信号突变源信号由0时刻之前的0电平突变到出现信 0005010.15020250.30.350.4 号)引起的,后而部分点误差是由于对波形进行反向延迟(后面没数据时补0)引起的 在实际应用中这些点可以直接剔除。除了最前面与最后面部分点之外,滤波器实现 的时延波形与理想时延之问误差非常小,为103量级,从而验证了所设计的小数时 图8.9小数延迟FIR滤波器没计结果 延FIR滤波器具有非常高的精度。

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