优化阵列信号处理上册波束优化理论与方法3-4章.pdf

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优化阵列信号处理- 上册- 波束优化理论与方法 3-4章. 第3章:规则波束设计,第4章:波束稳健性分析。
第3章规则阵波束设计 61· 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 由此可得波束两零点间主瓣宽度为 L/2 Y(O,k2)= L」Ln2 BWNN=arccos(-2/L)-arccos(a/L)= arcsin(a/L) p(ikz cos )dz 进一步,由于 LJ-L/2 sinc(±0.44297)=0.7071 (3.19) exp(i(L/2) cos o)-exp(-i(L/2)kcos) 2i(L /2)k cos 可知-3dB波束主瓣宽度为 inc((L/2)k cos o BW 2 arcsin(0.4429元/D) (3.20) =sinc (3.14) 定义L/λ为连续线阵的孔径,山式(3.8)与式(3.20)可知线阵的孔径越大,波 CoS 束主瓣宽度越小。 式(3.14)左边k是方位角的函数,将频率波数响应函数写成波束响应的形式为 山图32显示的sinc函数图可知,该连续线阵主瓣两边第一个旁瓣对应的方位 B()=sinc;cosφ (3.15) 值出现在 从式(3.15)可以看出,波束响应与水平方位角6无关,即波束响应相对于z轴 0so=±14303x 旋转对称。 该方位对应的波束响应取对数后为 图3.2显示了sinc()随宗量变化的函数值,为表述直观,图中横坐标t的单位 20ginc(±14303x)=-1326dB (3.22) 取为x,可见sinc(t)在宗量t为x的非零整数倍时值为0 对于上式的一个简单的近似是,由于ine)2=in()/,可以近似认为当其分 子绝对值最大(等于1)时获得峰值,因此可以近似认为波束第一旁瓣大约出现在方 位xcos 由于 2/(3π),于是可估算出第一旁高度大约为 0.6 20lg(2/(3x)=-13.46dB。该值与式(322)非常接近。 例3.1连续线阵均匀加权波束图 考虑一长度L=5λ的连续线阵,计算采用均匀加权时得到的波束响应 采用图31所示三维坐标系统,让垂直角d在0°,180°内取值,利用式(315 计算该连续线阵相对于的波束响应。得到的各垂直角波束响应幅度(垂直面波束图) 显示于图3.3(a)中。图3.3(b)显示了全方位波束图,由图可见波束响应相对于z轴 1 旋转对称 r(×r) 例32不同孔径大小连续线阵均匀加权波束图 图32sinc函数 连续线阵长度与波长的比值L2被称为孔径大小,下面考察波束图随孔径大小 于是可知,连续线阵主瓣两边第一个零点出现在 的变化规律。 2.=士 (3.16 假设连续线阵孔径分别取L/λ=2.5,5,10,20,采用均匀加权,计算用对数 表示的各方位对应波束响应,即201g|3(叫),得到的结果显示于图34中 式中,表示波束主瓣左右第一个过零点对应的方位。于是 由图34可见,线阵的孔径越大,其波束主瓣宽度越窄。而且,所有波束的第 s(±/D) 旁瓣高度相等,均为-13.26dB 62· 优化阵列信号处理(上朋):波束优化理论与方法 第3章规则阵波束设训 63· φ w:(z)=w(z)e n=wa(z)e iz cos克 (3.24) 均匀加权连续阵为例,由式(3.13)可知,若要求波束观察方向为e,则对应 的加权函数为 2≤L/2 (3,25 L/2 对应的波束响应为 (a)垂直面叛束图 (b)全方位波束图 值得说明的是,以上推导中将线阵放置在z轴上是为了摧导方便。事实:,我 图3.3连续线阵及均匀加权波束图 们也可以将基阵放置于坐标其他位置(如x轴、y轴或其他位置)。考虑到线阵及其 波束图的轴旋转对称性,我们可以将线阵放置在xoy平面上,并只需要考察其在xoy 平面上的阵列流形与波束响应即可了解其全貌 L=10 为此,我们采用从z轴负方向向上仰视得到的xOy平面坐标系统,并将连续线 阵置于坐标y轴,线阵中心位于坐标原点,如图35()所示。在xy平面上,垂自 方位角φ=90°,我们只需要用水平方位角来表小方位。而且,波束响应以线阵为 轴旋转对称。 采用同样的推导过程可得,在图3.5(a)所示坐标布置下,该线阵的阵列流形函 数可以表示为 P(0)=cxp(iky sin ]) (3.27) 式中,y是线阵上接收点在y轴上的坐标值 p°) 采用均匀加权得到的波束响应为 图34不同孔径大小时连续线阵均匀加权波束图 B(0=sinc (3.28) 4.连续线阵波束指向调整 取加权函数为 由于连续线阵的频率波数响应函数Y(a,k2)与加权函数w2(z)存在空域傅里叶 变换对关系。利用平移定理式(3.10),我们有 (y)={L en,py≤L/2 (3.29) 0 y>L/2 2(z)e Y(o, k-k (3,23) 时,对应的波束响应为 式(3,23)意味着如果将加权函数乘以相移因子e,获得的频率-波数响应在波 B(6) SInc 数域平移k。。采用该方法,我们就可以通过相移因了米调节波束观察方向。 (sin 8-sin B) (3,30) 于是,假设波束观察方向平移量为,可得k0=-kcos,则对应的加权函数 当L=5时,采用式(3.28)计算得到的波束响应相对于方位角e的幅度变化如 应取 图35(b)所示。 64· 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 第3章规则阵波束设计 65 日 0.5 -10-20 (dB -10 (a)连续缚阵 (b)极坐标下波束图 图3.5平面坐标下连续线阵及均匀加权波束图 (c)(=60° d)e。=90 从图33与图3.5所示的波束图中可以明显看出该均匀加权连续线阵的空域滤波 图3.6连续线阵不同观测方向波束图 特性,波束主瓣指向其正横方向,表示从正横方向入射的信号能被基阵接收,而从 其他方位入射的信号被不同程度地抑制。 32.2均匀线列阵 例33连续线阵不同观察方向时的波束图 考虑长度为L=5的连续线阵,考察波束观察方向分别取O=0,30°,60°,90°时 连续线阵空间采样 的波束图。 我们利用M个均匀分布阵元组成的线列阵来代替图35(a)所示的连续线阵,如 采用式(3.30)计算运用均匀加权并经过指向调整得到波束响应,结果显示于图36 图37(a)所示。假设阵元间距为d,则线列阵总长度L=Md。注意,这里计算线列 中。其中图3.6(a)所示波束图是图35(b)所示波束图的对数表示结果。 阵长度时将两端阵元向外各延伸了d/2。该均匀线列阵相当于对原连续线阵进行了 从图中可以看出,获得的波束主瓣均指向期望的波束观察方向,并且波束图相 空间采样 对丁线阵对称。随着波束观察角度6从线阵正横方向向端射方向变化,波束主瓣宽 度逐渐变宽。图3.6(a)与图36(b)中波束第一旁瓣均为-1326dB,而在图36()所 波束中,60°方位与120方位波束主瓣相连 NA a)均线列阵 (b)d=M/2时常规波束图 图37均匀线列阵及其常规波束图 图37(a)所示均匀线列阵各阵元的位置可以表小为 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 第3章规则阵波束设计 M+1 于是可计算出波束方向响应为 pm d,0 B(6)=wp(6) (6)p(0)/M 线列阵可以看作连续线阵的特例,因此可以运用每个阵元的加权系数表示将其 将式(3.35)代入式(3.38)可得均匀线列阵波束方向响应为 视作连续线阵时的加权函数,即 M+1 RO-∑p +lkd( e-sinb。) M 2 式中,wn是第m个阵元的加权系数;O()是 Kronecker函数。 d exp/-i-+I ckd (sin0-sin o)>exp"(ikd(sin e-sin ) 运用式(34,由于此处线阵放置在y轴,我们分别用k=-ksin与y代替式(3.4) 中的k与z,可得 exp(iMd(sin6-sin B) exp -1 sIn 1-exp(ikd(sin o-sine M+1 Y(O02k,) 1P-1-akd(sin 0-sindo/ -expl i a kd(sin B-sin 0) ∑ exp -i kd(sin e-sin 8) kd(sin 0-sin8) m=l M+ kd sir sin(Mkd(sin O-sin 6)/2) (333) (3.39 M sin(kd(sin0-sin0)/2) 将其写成波束响应的形式为 当O=0,即波束指向为线阵正横方向时,均匀线列阵波束方向响应为 M+lysine πMad B(6) sIn B(6) sin(Mkd sin 8/2) (3.40) 这便是均匀线列阵波束响应与加权值的关系表达式。 M sin(kd sin 6/2) M sin" sin 8 2.常规波束响应 当d≤时,由于 limin a=a,式(3.40)简化为 对于前述间距为d的M元均匀线列阵,将式(3.31)所示阵元位置向量代入式(3.1) 计算其阵列流形向量为 B(8)=sinc/tMd (341) kud sin 6 p()=e2 (3.35) 观察式(3.4)与式(341)可以发现,当Md=L时,两式相等。注意,这里Md其 实就是线列阵的长度。于是我们可得,当d孔时,均匀线列阵波束响应通近于同 若该均匀线列阵加权向量y=[w,w2…,w],运用式(3.35)所示阵列流形向 等长度的连续线阵。 量,计算波束响应为 观察式(3.40)所示波束指向为正横方向的常规波束响应,若将波束主瓣左右两 边第一次出现零点的方位记作,则有 B(O)="p()=∑ d sin e sina=±r (342) 可以发现,式(3.36所示波束响应与式(3.34)完全相同。这也验证了均匀线列阵 以看作对连续线阵进行空间采样、 即 对该均匀线列阵进行常规波束形成,假设波束指向角为O。,波束加权向量为 sin ON= Md 或Q= arcsin± (343) p(0)/M (3.37) 第3章规则阵波束设计 69 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 由此可得波束两零点间主辦宽度为 BWNN=arcsin arcsin =2 arcsin (344) -10 Ma 观察式(3.18)与式(3.44)可以发现,当Md=L时,两式相等,即均匀线列阵与 连续线阵长度相等时,两者主瓣宽度相等。 例34均匀线列阵常规波束图 -401 考虑一长度为L=54的均匀线列阵,采用图37(a)所示坐标系统,假设波束观 察方向6=0°,计算常规波束形成获得的波束响应 假设阵元数目M=10,即阵元间隔d=L/M=/2。采用式(3.40)计算波束响 perture……d=--d=M2 0 应,显示丁图3.7(b)中。 90-60-30 例3.5均匀线列阵阵元间距对波束图的影响 (b)O=90° 考察在线列阵总长度一定的情况下阵元间距对波束响应的影响 图38总长度L=5,阵元间距分别为d=A,A/2,A/6的均匀线列阵常规波束图 考虑一长度为L=5元的线列阵,分别假设阵元数目为M=5,10,30,即阵 间距分别为d=,A/2,2/6。假设期望波束观察方向分别为O。=0°,90°,采用 同时我们也可以看到,对于d=凡的大间距均匀线阵,当战=0°时,在b=±90 式(339)计算得到的波束响应显示于图38中。作为比较,同等阵长的连续线阵波 方向的波束响应幅度与波束主瓣具有相同的高度,这称作栅瓣;当a=90°时,在 束图也显示在图中。由于波束响应的对称性,仅需显示θ∈[-90,901范围内的波束 θ=-90°与0°方向出现栅瓣。对于d=A/2的均匀线阵,只有当a=90°时,在 图即可了解其全貌。 =-90°方向出现栅瓣 从图中可以看出,在不同阵元间距及不同期望观察方向情况下,得到的波束主 棚瓣出现时,同等强度的信号从栅瓣方向入射产生的波束输出功率与从主瓣方 瓣都几乎与连续线阵波束主瓣重合。在主瓣之外,随着阵元间距的减小,其波束响 向入射产生的波束输出功率完全相等,这意味着无法根据波束输出区分信号入射方 应逐渐逼近连续线阵。对于d=元/6的小间距均匀线阵,其波束响应与连续线阵波 向。因此我们设计基阵与波束时,需要避免产生栅瓣。 束逼近度很高 下面详细考察均匀线列阵波束栅情况 例36均匀线列阵阵元间距与棚瓣的关系 考虑一个M=10元均匀线列阵,假设阵元间距分别取d=4/2,2,32/2,22 假设期望波束观察方向分别为O=0°,30°,90°,运用式(339)计算得到的波束响 应显示于图3.9中。注意,图中横坐标是sinθ,表示在sin域的波束响应图,其中 inO∈[-1,1 考察均匀线列阵波束方向响应式(39,令=sinO sinO,可以将式(3.39 改写成 B,(u-uo) i(Md(a-x)/2),e[-1],n,∈l-11(345 M sin(kd(u-u)/2) (345)表示u域(或sine域)波束响应 从式(345)可以看出 -≤2,也就是说 2]是所有可能的 60 u-4值区间。采用式3.45)计算-∈[-2,2区间内Ba(x-1)相对于a-lo的值。 (a)期望波束观察方向O=0 结果显示于图3.10中。 0 优化阵列信号处玛(上删):波束优化理论与方法 第3章规则阵波束设计 71 d=32 1.52 050 -050 1-0.750.50.2500.250.50751 图3.10阵元间距分别为d=22,A,3/2,2时波束响应 e B(-a0)相对于a-的值,n-∈-2,2 另外,如果M。的值给定,则-1-0≤M-0≤1-4。。也就是说,实际观察到的波 束响应区间为t-tn∈[-1-n0,1-n],该区间宽度为2,比前面提到的u-u所有可能 区间[-2,2]小 40-1 回顾例36,期望波束观察方向分别为e=0°,30°,90°,即分别对应a,=0 0.5,1,可知n-区间分别为[-1,1],[-15,0.5,-2,0。我们将该区间称为可视 10.75-0.5-0250025050.751 区间。 d=112……d=元 结合图39与图3.10可以发现,图39中对应于=0°,30°与90°的波束响应 图39阵元间距分别为d=A/2,2,3A/2,2x的10元均匀线列阵常规波束图 其实就是图310中横坐标u-v。区间(可视区间)分别取[-1,,[-1,0.5与[20]的 期望波束观察方向分别为a=0°,6。-30°,9=90° 响应值。由此说明,我们实际观察到的波束响应其实是在图3.10中可视区间为2范 围内的响应,若调整波束观察方向O,即相当于图3.10中可视区间平移。 从图3.10我们还可以看到,为了保证在sin0域宽度为2的可视区间内只有 主瓣(若不考虑θ-+90°这两种极端情况),则要求d≤λ/2。 另外,由式(3.39)所示波束响应可以看出,当式(339)中分了与分村都等于 时产生主瓣或栅瓣,此时 2-15-10.500.51152 a(kd (sin 6-sin 8 )/2)=0 (346) 式中,当=时产生主瓣,而当 cd(sin 8o)/2 (347 40 时产生栅瓣。由丁 maxsin(6-sinl=2,为避免产生栅瓣(端射阵除外),我们需要 1152 均匀线列阵的阵元间距满足 kad≤丌或d≤A/2 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 第3章规则阵波束设计 该结果与从图3.10观察到的结果相同。式(348)称作空间采样定理 从图3.11(a)可以看出,当O-0°时,得到的波束在0方向形成了瓣。由于 空间采样定理说明,半波长间隔是不出现栅瓣的最大阵元间距,本书中将半波 线阵具有对称性,在180°方向亦出现主瓣。d/-0时,波束响应为圆,即没有方 长间隔均匀线列阵称作标准线列阵。 向性:随着d/λ从0到0.5变化,波束主瓣宽度逐渐减小。 我们已经知道,离散系统屮要求采样之后的数字信号能完整地保留原始信号中 从图311b)可以看出,当-90°时,得到的波束在90°方向形成了丰瓣。 的信息,采样频率不得小丁信号最高频率的2倍,或者说采样时间周期不得大于最 d/2=0时,波束响应为圆;0<d/2<0.5时,以在90°方向出现一个主瓣;当 高频率信号的半周期,这就是奈奎斯特采样定理。可见,式(3.48)所示空间采样定 d/=0.5时,在-90方向亦出现一个主(栅瓣)。 理与离散系统奈奎斯特采样定理非常类似 323二元阵 例37均匀线列阵波束响应与阵元间距的关系 考虑一个M-10元的均匀线列阵,假设阵元间距与波长之比/从0到0.5变 下面考虑一种特殊的线阵—元阵,即口两个阵元组成 化,期望波束观察方向分别为。=0°与90°,考察常规波束形成的波束响应。 的阵列。将第一个阵元放置在坐标原点,第二个阵元放置在z 运用式(3.39),波束观察方向6。=0°与=90时得到的波束响应随d1的变 轴上,两阵元间距为d,该二元阵的坐标系统如图3.12所示。 化分别显示于图3.11(a)与图3.11(b)中 两阵元的位置坐标为 pn-0,0.(m-1)d],m=1,2 (349) 90 由于具有对称性,基阵方向性与水平方位角无关,只与 垂直方位角p有关。由式(3.1)计算该均匀线列阵的阵列流 形向量为 p(o)=[Lek cos] (3.50) 1.常规波束形成 对该二元阵进行常规波束形成,假设期望方向为,加 图3.12儿 阵 权向量为 r()=p()2=[面 例38二元阵常规波束图 考察阵元间距取不同值时二元阵常规波束响应。 假设阵元间距分别取a=0.05元,025元与0.5,波束期望方向分别为-90°与 p=0°,计算得到的常规波束图如图3.3a)与图313(b)显示。山图可见,当阵元间 距逐渐减小时,二元阵的波束主瓣逐渐变宽,指向性逐渐变差。当阵元间距减小到 d=005元时,二元阵的常规波束图接近于圆,即退化成了单个阵元,没有指向性 -25 观察图3.13(b)发现,当d=0.25元时,波束图是一个倒“心形”,此时波束加权 向量为 图3.11d/A从0到0.5变化时,10元均匀线列阵常规波束响应 后面将会看到,此时的二元阵是一种偶极子阵。 74 优化阵列信号处理(上册):波束优化理论与方法 第3章规则阵波束设计 0 例3.9二元阵指向性指数 考虑一个二元阵,分别采用常规波束形成方法与最佳波束形成方法,考察不同 阵元间距波长比(dλ)与不同观察方向情况下基阵的指向性指数 d=0.52 假设波束观察方向分别为=0°,30,60°,90°,让d1在0~0.5范围内变化,分 别利用式(354)与式(3.56)计算采用常规波束形成方法与最佳波束形成方法得到的 指向性指数。两种波束形成方法的指向性计算结果分别显示于图314(a)与(b)中 26 120 d-005 120 150 a)期望方向=90 图3.13二元阵常规波束图 2.指向性指数 卜而考察二元阵波束形成器的指向性指数 第2章中已经指出,基阼的指向性指数等于基阵在空间均匀各向同性噪声场中 0.2 的阵增益。因此,对于不冋的波束形成器,只需要计算基阵在空间均匀各向同性噪 (a)常规波束形成 卢场中的阼增益,就可得到其指向性指数 由第2章已知,该二元阵空间均匀各向同性噪声互谱矩阵为 (3.53) 对于常规波束形成,其在空间均匀各向同性噪声场屮的阵增益为 pp (3.54) Ppnisn p 1+sinc(kd )cos(kd coso 对于最佳波束形成,由于 0405 /(1-sinc(kd)) (3.55) (b)最佳波束形成 图3.14二元阵指向性 其在空间均匀各向同性噪声场中的阵增益为 从图3.14(a)可以看出,对于常规波束形成方法,当d/λ=0.5时,指向性 2-2sinc(kd )cos (kd cos o) 即阵元个数。波束观察方向为正横方向时(g=90°),随着d/λ的减小,波朿指向 p Piso p (3.56 1-sinc(kd) 性逐渐减小,在d1趋近于0时等于1,即没有指向性,等效于单阵元。 式(3.54)与式(3.56)分别是二元阵常规波束形成与最佳波束形成时的指向性 观察图3.14(b)可以发现,采用最佳波束形成时,当波束观察方向为正横方向 指数。 (=90°)时,随着d12从0.5逐渐减小到0,指向性从2逐渐减小到1。当波束观

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时人莫之许也 这本书写的非常好。感谢分享。
2019-10-06
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