C++最小二乘拟合圆.docx
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2020-01-02
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一、推导
圆的方程：
x
2
+ y
2
+ax+by+c=0
圆心 O（
−a
2
,
−b
2
），半径
Radius=
√
a
2
+b
2
−4 c
2
误 差 方 程 ：
F=
∑
i=1
n
(
x
2
+ y
2
+ax +by+c
)
2
=
∑
i=1
n
(
x
2
a
2
+2 x
3
a+2 x y
2
a+¿ y
2
b
2
+2 x
2
ya+2 y
3
b+¿c
2
+2 x
2
c+2 y
2
c+¿2 xac+2 xyab+2 ybc+¿ x
4
+2 x
2
y
2
+ y
4
)
令
∂ F
∂ a
=
∂ F
∂ b
=
∂ F
∂ c
=0
即
0=a
∑
i=1
n
x
i
2
+b
∑
i=1
n
x
i
y
i
+c
∑
i=1
n
x
i
+
∑
i=1
n
x
i
3
+
∑
i=1
n
x
i
y
i
2
即
0=a
∑
i=1
n
x
i
y
i
+b
∑
i=1
n
y
i
2
+c
∑
i=1
n
y
i
+
∑
i=1
n
x
i
2
y
i
+
∑
i=1
n
x
i
3
即
0=a
∑
i=1
n
x
i
+b
∑
i=1
n
y
i
+nc+
∑
i=1
n
x
i
2
+
∑
i =1
n
y
i
2
设
D=
∑
i=1
n
x
i
，E=
∑
i=1
n
y
i
，F=
∑
i=1
n
x
i
2
，G=
∑
i=1
n
y
i
2
， H=
∑
i=1
n
x
i
y
i
，
设
I=
∑
i=1
n
x
i
3
， J=
∑
i=1
n
y
i
3
， K=
∑
i=1
n
x
i
2
y
i
， L=
∑
i=1
n
x
i
y
i
2
则
[
F H D
H G E
D E n
][
a
b
c
]
+
[
I+L
K +J
F+G
]
=0
解得：
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