偏微分方程数值解

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偏微分方程的经典讲解课本,便于初学者了解认识偏微分方程的数值解问题。
第1版前言 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位,很多科学技术问题的数值计 算包括了偏微分方程的数值解问题.近三十多年来,它的理论和方法都有了很大的发展, 而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛.在我国,偏微分方程数值解法作为一门 课程,不但在计算数学专业,而且也在其他理工科专业的研究生和大学生中开设这本书 的目的就是为大学课程提供一本教材,同时也为从事这方面工作的科研、工程技术人员提 供一本参考书. 本书着重介绍当今流行的偏微分方程数值解的两类主要方法,即有限差分方法和有 限元方法.目前,这两类方法在应用上有不同的侧重,所以本书在选材上也有差别.有限差 分方法主要集中在依赖于时间的问题(双曲型和抛物型方程),而有限元方法则侧重于定 态问题(椭圆型方程),至于用这两类方法离散化后得到的代数方程组的数值解法,虽然是 十分重要和引起人们浓厚兴趣的问题但是为了不使本书篇幅过长,我们没有讨论它,好 在一般数值分析教科书和有关专著中,对一些基本的数值代数方法都有所介绍 本书讨论的两类方法都以基本概念和基本方法为主同时也介绍了一些近年发展起 来的方法和技巧.我们希望本书能够帮助读者确切地理解基木概念,掌握和正确使用基本 方法.书中对模型问题作了详细的分析,而对较为复杂的问题只作近似的分析或简单的介 绍.本书没有采用高深的数学工具,因此学过微积分和线性代数,而且具有数值分析和数 学物理方程初步基础的理工科学生和工程技术人员均可阅读.对专门从事计算数学的学 生和研究人员来说,本书只是给出偏微分方程数值解的一些最基础的知识和方法 本书的前4章是关于有限差分方法的,其中第1章集中讨论了有限差分法的基本概 念,我们认为弄清楚这些基本概念再具体讨论各种差分格式,将会有较大的好处.第2、3、 4章分别讨论双曲型、抛物型和椭圆型方程的差分解法.如上所说,对椭圆型方程的讨论 是较为简单的.第5章叙述了基本的变分原理,为下一章打下基础.第6章讨论了椭圆型 方程的有限元方法为了阐述基本的概念和方法,这两章我们都从一维问题开始讨论本 书最后一章简单介绍了一些以上各章未涉及的问题.其中前4节是有限元方法进一步的 应用.第5节利用变分原理列出差分方程最后两节则不是专属于有限差分方法和有限元 方法的.其一是目前在很多工程技术间题应用的边界元方法.其二是多网格方法,这是近 年来十分活跃的课题.我们特别请顾丽珍同志执笔写了这一节 本书的初稿是为清华大学理工科各专业研究生和应用数学专业大学生开设的偏微分 ⅣY 第1版前言 方程数值解课程的讲义,经过在教学中试用、修改而成书.本书得到胡显承同志的认真审 阅.顾丽珍同志两次使用我们的讲义,十分详细地提出了改进意见,又认真看了修改后的 书稿,改正了一些疏漏之处,并为本书补充了多重网格方法的一节.此外,从编写讲义到成 书的整个过程中,我们都得到李庆扬同志的热情鼓励和支持.对他们的帮助,我们深表感 谢同时也希望读者指出本书的错误和不足,使我们的工作得到改进 陆金甫关治 1985年4月于清华园 第2版前言 本书初版至今已有十多年了,其间老师和同学指出了书中的一些不妥并提出修改意 见,在这次修改中我们儆了认真的研究和改进有关偏微分方程初步知识以及有关数学知 识专列一章,非线性问题的差分方法也集中于一章.这样本书的基本内容为第1章至第5 章以及第7章和第8章.第6章和第9章分别为非线性问题的差分方法以及一些与有限 元相关的课题,如特征值问题的有限元方法、边界元方法、多重网格方法等,这两章内容可 选学在这次修改中,第2章至第6章由陆金甫修改,其余均由关治修改 陆金甫关治 003年2月 目录 第1章引论、准备知识 4鲁●■·●4鲁●·鲁 1引论 ·b·····曾···即·甲甲··●·●··■·■●·●◆·日·看4p·。·●日·音日·自●■■聊即qq·pss●●94st 2关于偏微分方程的一些基本概念… 卓◆·●·●··4··D罪即日号唔p 2.1几个典型方程 2.2定解问题 225 御咖咖章口■●口备●pp●●·●●_● 2.3二阶方程 ■↓●↓·●“↓ψ甲m零 2.4一阶方程组 s…∷8 3 Fourier变换和复数矩阵 ●·····會音·●··D。●·自郾命自▲●···●·訇即 冒非■昌● ……10 3.1 Fourier变换 10 32复数矩阵 "……………12 第2章有限差分方法的基本概念 4··········日日日日··即■●pp●●自●◆●● 1有限差分格式… 中肀◆食『曾曾曾曾曾會會會■■·●·自音「■●鲁●·● 自◆自血血·咖鄂■·●昏ψ申 1.1网格剖分 13 1.2用 Taylor级数展开方法建立差分格式 14 3积分方法 ·····●、········罪··日DD····命●·中●◆◆ sCI自 17 1.4隐式差分格式……… q··p······晋●··自·日日·合白·■;D·pp 18 2有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性 19 2.1有限差分格式的截断误差 ●‘·◆● 19 2.2有限差分格式的相容性 ……∴……22 2.3有限差分格式的收敛性 23 2.4有限差分格式的稳定性 25 2.5Lax等价定理 ·鲁●◆●·●音·音b幽φ晋4音最●看·會·鲁曾■●督·晶4● 28 3研究有限差分格式稳定性的 Fourier方法 pD●●··◆·●ψ自個●鲁●鲁自咖 28 3.1 Fourier方 法 ····●·····D·号····◆甲··日即;·“·●◆····自asoa 29 3.2判别准则… ■■●●●●會◆。看會音●D·血◆曾D自ψ·冒晋吾■鲁命中● 32 3.3例子…… ···Ds◆。日··4a合··d·日····日B日······■ 34 Ⅵ 目 录 4研究有限差分格式稳定性的其他方法 37 4.1Hirt启示性方法 37 4.2直接方法 4.3能量不等式方法 42 习题· 44 第3章双曲型方程的差分方法 ●·鲁●·◆···◆b●看·鲁 1一阶线性常系数双曲型方程… 45 1迎风格式 45 1.2Lax- Friedrichs格式 ··●·罪■·聊聊●●日·■·自鲁·q●自自·自會昏····合·b即聊昌■●●●● 1.3 Lax-Wendroff格式……… ·香自·◆····晋D◆自◆自··自·血咖甲4甲a司·up↓● 48 1.4 Courant- Friedrichs-Lewy条件………………………………………49 1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式 50 1.6蛙跳格式 ………"s52 1.7数值例子 ●自合 53 2一阶线性常系数方程组 ……"……………54 2.1Lax- Friedrichs格式 ……………………""………s………55 2.2 Lax-Wendroff格式 q●·峰◆鲁自·命●·口●音會■■··↓咖哥·聊····◆。看·看音個·吾自b自 55 2.3迎风格式 ······●·自●自“4合········q甲·号;·◆·自非晋▲aas◆ 55 3变系数方程及方程组 昏●●·@鲁b●●自自命●●●·●鲁中音●●● 57 3.1变系数方程 ●·日·4p自●◆·香·自◆音會·自白◆·q即、。4日4·◆◆·音自_·4 57 3.2变系数方程组 4●·自血··日吾西吾●吾↓聊 ·59 4二阶双曲型方程 ●·●D·↓命·音··b····‘····◆·中v·v:·日·····B ●■晋 60 4.1波动方程的初值问题 ■■·看▲命●曾◆音自◆ψ甲口D费ρ韋●鲁自鲁↓自·鲁鲁命音●■pb即 60 4.2波动方程的显式格式 ···自咖··●····自■·■q■◆●p●pc●自自昏画s 61 4.3波动的方程差分格式的CF.I条件 鲁●·◆曾看自·■■D合命·▲卓鲁 63 4.4等价方程组的差分格式 省命·聊·自●专鲁 4會·鲁■P自命 65 5双曲型方程及方程组的初边值问题 ……65 5.1二阶双曲型方程的边界处理 66 5.2一阶双曲型方程及方程组的边界条件 ···:··甲s·↓吾··q● 68 5.3-阶双曲型方程及方程组的数值边界处理 "…………“69 6二维问题 73 6.1一阶双曲型方程 ……………73 6.2阶双曲型方程组 ●↓●·鼻●ψ·●◆鲁■●口看個■暑自鲁命· ……·。76 目 录 Ⅶ 6.3隐式格式和ADI格式… ●· 77 习题 ……………………80 第4章抛物型方程的有限差分方法 q鲁命 82 常系数扩散方程… 82 1.1向前差分格式,向后差分格式 …82 2加权隐式格式 1.3三层显式格式 84 1.4三层隐式格式…… ………………87 1.5跳点格式 …………………88 2初边值问题 鲁■●ψ●鲁自自晶·命·命咖 ◆··昏音聊聊······冒;音口●日;·自■■■q■b●。●bb· 90 2.1第一类边界条件 ……………………∷…90 2.2第三类边界条件 4自D自·自·自4D↓··昏ψ●ψ···◆qp● 90 2.3数值例子… ··●·············φ4··φ◆●●◆4◆晋··●·a4自● 91 2.4关于稳定性分析的附注 曲血 94 2.5Saul'ev算法…… 口s···■·●··命··■自·●■鲁●咖ψ●···◆◆;p自▲ 94 2.6分组显式方法∴ ………………………"……96 3对流扩散方程 97 3.1中心显式格式 …97 3.2修正中心显式格式 ··?曾·■·鲁鲁D●督易··鲁晶咖●命 御曾驴■·日晕D● 98 3.3迎风差分格式 .···········香音··白ψ申四昏·即●····画▲。s● 99 3.4 Samarskii格式 ●··命·q◆●◆····日·甲阝4φ·当·甲··合日日“··· *·101 3.5指数型差分格式 102 3.6隐式格式… 104 4变系数方程 105 4. I Taylor级数展开方法 ●·■日自■ψ●··自◆q◆●ρ■●a番 105 4.2 Keller盒式格式… q鲁日··看咖·●·●申申●■●●q鼻● 106 4.3有限体积法 日·1··會音·日···◆自●·日·申甲p口·即自 ……………………107 4.4间断系数问题 瞢■■鲁曹自鲁鲁昌●●●合●p自會ψ自咖■甲鲁●罪●●·自省鲁●自血命 109 4.5隐式方程的解法 ●····自·。··吾自·●·· ···q备↓命 111 多维问题 …"………112 5.1-维格式的直接推广 ●自看●● ■罪●●●● 112 5.2交替方向隐式格式… ●·自·曾自自申即唱晋φ●●·自·备画命 5.3局部一维格式 ····b··.4s····s◆···『;日······●t ■●旮音血鲁··口舀◆鲁鲁D● 116 目 录 5.4预测-校正格式 甲■鲁罪■甲··會D申自申b●ψ申D··命·口曾音命命會●會·命◆●鲁●q·◆↓●● 117 5.5跳点格式 甲··●鲁■鲁■●《●pD冒●·●●冒●·4●P●■ 118 5.6三维问趣… 督會·冒■●「·會●·口冒●早1●··冒●命q●D晷●●● 19 6应用 120 6.1具有粘性的波动方程 ◆b● 120 6.2混合方程组 121 习题 124 第5章椭圆型方程的差分方法 ……126 1 Poisson方程 126 1五点差分格式 126 2九点差分格式 ……………128 1.3极坐标下的差分格式 129 2差分格式的性质 s………131 2.1存在惟一性问题 ……131 2.2差分方程解的收敛性 ………………132 3边界条件的处理…… ………………""s……134 3.1矩形区域 自最●阜·····口··日日·≤日a日q●·◆●章◆·◆●● 135 3.2一般区域 ………135 4变系数方程 w…"…""…·…………137 4.1直接差分方法 ………"138 4.2有限体积法 ·····●···申串ψ甲●·昏ψ·ψ备 138 5双调和方程 ·● …………139 6特征值问题 b号·_·p·自·音·鲁·白昌·····自◆甲q●qp·po●自自 140 习题… ■◆聊命章章····鲁·昏·自自●◆最●·4·自画自▲ 第6章非线性问题的差分方法 中·····昏·.···4···自D·自自··qq·◆ 143 拟线性双曲型方程及方程组 ■『■·謦■昏ψ鲁·音·●■p自D■即白旮。■·●D··看鲁昏鲁●音4 143 1守恒律的初值问题 14 1.2 Riemann问题… ··●···‘4··;··。··B··口D···日合·命·中 145 1.3拟线性双曲型方程组 146 2守恒型差分格式 149 2.1 Lax-Friedrichs差分格式 ●·●即●鲁画 149 22守恒型差分格式 ◆··吾。·吾···4··4········鲁··.·凸·日···· …………150 目 录 Ⅸ 2.3数值例子…… ●单·。自4·幽●晋●阜●·白·4辛舀·单4口命晶·血●司号·D自●命1●辛幽看4↓鲁··●看↓即●鲁甲命· 154 3TVD差分格式… 155 3.1单调格式及保持单调格式……………………………………………155 3.2TVD格式……………………………………………………156 3.3通量限制器方法 ···备·旱·‘●·↓·学··着看辛即··鄂ψ自·p申日●p即●p即●·■备 ………158 4特征线方法与迎风格式…… 曾●·■哥吾鲁p●●··↓·◆命咖鲁怕晋·聊如D号白幽●ψ自口■q·日「「·串◆ 160 4.1特征线方法 ·日目●■·b··音·●●●●d鲁晶 160 4.2迎风差分格式 b鲁咖单·鲁▲吾D聊血·。即聊 ………………s…s……………163 5气体动力学方程组的经典差分方法 166 1气体动力学方程组… 自日申自日··吾晷●●·聊鲁↓··●··鲁》●··香自曲·命卓命 167 5.2 von Neumann- Richtmyer方法… 4◆D·命罪鲁鲁4↓·●■鲁自●曾鱼合bD●●命自● s167 5.3Lax- Friedrichs格式 169 4Lax- Wendo狂f格式 170 6非线性抛物型方程的差分方法… 171 6.1 Richtmyer线性化方法… ……173 6.2拟线性扩散方程的隐式格式… ………174 6.3三层格式……………………………………………………175 64预估校正方法 94··●自命·卓b自备自鲁喜血▲● ……………176 7可压缩的 Navier-Stokes方程组 ψ●會鲁●·●●■血春血 "…178 7.1微分方程 178 7.2-维模型问题 …………179 7.3显式时间分裂方法…… ●b自鲁自鲁●自咖血韋自●■●●·●■自↓p口咖自·●·● 8不可压编的 Navier-Stokes方程… 争。·◆·鲁◆b自·自·鱼■··■D↓●单。●·。命命◆·● 181 8.1依赖时洄的问题 ……"…181 8.2定态问题 183 习题 185 第7章数学物理方程的变分原理 …………187 变分问题介绍 ··●····合·■·。●p·qpp 187 1.1古典变分问题 ◆鲁b。●自●血 187 1.2变分问题解的必要条件… 189 1.3R中的变分问题 192 2一维数学物理问题的变分问题 ·會鲁自自自●罪导·4●●晋·●音D●·自昏 194 2.1两点边值问题的变分形式 命····◆合··aaP·4合自看B 195

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