【二分法】是高中数学中求函数零点近似解的一种重要方法，适用于连续函数在给定区间内存在零点的情况。二分法的基本思想是将包含零点的区间不断对半分割，通过判断中点处函数值的符号变化来确定零点所在的子区间，直至满足精度要求。这种方法依赖于介值定理，即如果一个连续函数在闭区间[a, b]上取值异号，那么在(a, b)内至少存在一个零点。
【预习要点】包括：
1. 理解变号零点的概念：变号零点是指函数f(x)在某区间[a, b]上满足f(a) * f(b) < 0，即函数值在区间两端点处异号，表明函数在该区间内至少有一个变号零点。
2. 掌握二分法求零点的步骤：选择一个包含零点的区间，然后不断将区间对半分割，检查中点处的函数值，如果中点函数值与其中一个区间的端点函数值异号，就保留该子区间，否则舍弃。重复此过程直到达到所需的精度。
3. 了解二分法的产生过程：二分法源于对数列的分析和区间缩小的策略，是数值分析中的基础算法。
4. 应用计算器进行实际操作：在具体函数图象下，可以借助计算器快速执行二分法计算，求出方程的近似解。
【知识再现】：
1. 函数零点：若f(x)在实数域R上有定义，且f(a) * f(b) = 0，那么存在c∈[a, b]使得f(c) = 0，c称为函数的零点。
2. 函数零点的性质：变号零点和不变号零点的区别在于，变号零点两侧函数值异号，而不变号零点可能在穿越x轴时保持相同符号。
【例题解析】：
例1展示了如何使用二分法求函数f(x) = x^3 - 2x - 3的零点，初始区间为[1, 2]，通过不断对半分割并计算中点函数值，最终得到零点的近似值为1.26（精确到0.01）。
例2中，要求解方程x^3 - 3x - 2 = 0的无理根，通过因式分解找到有理根后，设g(x) = x^3 - 3，使用二分法求出g(x)的零点1.44，即为原方程的无理根。
【达标检测】的问题旨在检验对二分法的理解和应用，涉及了零点存在的定理、函数图象的连续性和零点分布，以及不能使用二分法的函数图象特征。
二分法是求解连续函数零点的一种实用工具，尤其在没有解析解或者解析解难以求得的情况下。掌握这一方法对于解决实际问题和理解数值分析中的其他算法至关重要。在实际操作中，要注意选择适当的初始区间，并确保函数在该区间内连续，以便有效地逼近零点。
