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多抽样率数字信号处理理论及其应用(51-100)页 评分

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第2章抽样率变换的基本理论 53 )+=) n)--,3 H1()-y(n) H(z) L=( e声 H:(enjA 0π/32/3f 0丌/32/3rm 图P2.8 参考文献 [1 Schafer R W. Rabiner I.R. A digital signal processing approach to interpolation LI]. Proc. of the IEEE,1973,61:692702 [21 Meyer R A. NBurrus C S. A unified analysis of multirate and periodically time varying digit LJJ. IEEE Trans. on Circuits and Systems, vol. 1975.CAS- 22, 162-168 L3 Oetken (. Parks T W. Schussler W. New results in the design of digital interpolators LJ. IEEE Trans. on Acoustics. Speech, and Signal Proc.,1975.ASSP. 23: 301-309 [4 Vaidyanathan PP. Multirate Digital Filters, Filter Banks, Polyphase Networks, and Applications: A Tutorial [C]. Proceedings of the IEEE. 1990.78(1): 56-93 [51 Crochiere R E, Rabiner L.R. Interpolation and decimation of digital signals--A tutorial reviewLJJ Proceedings of the IEEE. 1981. 69(3):300-331 [61 Yim W H, Coakley F P. Filter banks with rational decimation and interpolation rates [JJ. Electronics 1. etters, 1992,28(8,93:726-727 [7] BiG Coakley F P, Evans B G. Rational sampling rate conversion structures with minimun delay nts [J]. IEF Proceedings-Computers and Digital Tcchniques,1992, 139(6):477-485 L8 Argenti F D)el Re E, Rational sampling filier banks based on IIR filters[J. IEEE Trans. on Signal Processing. [see also IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing]1998,46(12):3403- 3408 [9 Yong (hing I im, Rui Yang. ()n the synthesis of very sharp decimators and interpolators using the frequeney response masking technique [J]. IEEE Trans. on Signal Processing, [see also IFFF 54 多抽样率数字倌号处理理论及其应用 Trans. on Acoustics. Speech and Signal Processing 2005.53(4):1387-1397 . 1O Xiang-Cien Xia Suter B w. Multirate filter banks with block sampling [I:. IEEE Trans. on Signal Processing. L see also IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing]1996.44(3) 184196i [11 Hair J R. Suter B w. a block multirate paradigm for efficient parallel algorithm development LJ IEEE Trans on Signal Processing. [see also IFFE. Trans. on Acoustics. Speech and Signal Proressing1995,43(12):3042-3046 12 Mitra S K. Digital Signal Processing. A Computer-Based Approach [M]. 2nd cd. New York MrGraw-Hill. 2001 第3章多抽样率系统的网络结构与实现 本章要点 ·为什么要进行等效变換?什么是高效网络结构? 抽取和零值内插系统的等效变换分别怎样实现? ·分数倍抽样率变换是指什么?分数倍抽样率变捩的系统可作怎样的等效变换? 多相表示是什么?多相分解的三种形式分别是什么?它们之间有怎样的联系? 用多相结构实现FIR滤波器的高效结构是什么?怎样使得卷积运算在高抽样率 的一侧进行? ·什么是多级抽取;内插?多级实现有怎样的优缺点? 3.1多抽样率系统的恒等变换 在第1章中已经提到,多抽样率系统-个重要的优点就是可以提高系统的计算效率, 减少T作量。在这一章中,将讨论其高效系统的原理与实现 在实际作中,往往希望抽样率转换系统中所消耗的代价最小,即计算T作量最小 可以直观地想到只要把乘法运算安排在低抽样率的一端,后续就可操作较少的数据,这 样就可以使计算的效率提高,因此把乘法运算安排在最低抽样率一侧的网络结构称为高 效网络结构。 例如对第2章中的抽取系统(如图3.1.1所示),从时域中看,输人信号x(n)经过与 抗混叠滤波器h(n)卷积后得到的信号序列又经M x() 1 倍抽取。这样一来,先前计算卷积的一些样值在抽 点(n) 取操作后被舍弃了,也就是说.先前的卷积计算有 图3.1.1带有抗混叠滤波器的 部分做了无用功,输出信号中并没有保留那些样 捆取器框图 值点。这就造成了资源的浪费,在实际系统中是要 避免的。于是自然地想到,可不可以先将信号进行抽取,即先舍去那些不需要的样值点再 与h(n)进行卷积,这样将会大大减少计算量,实现系统的高效性。要实现这种高效结构 就需要对原系统进行等效变换,即既能提高计算效率又能保证系统的效果不变。下面先 来讨论一些简单系统的等效问题,作为进一步讨论的基础。 简单的网络恒等变换主要有下述几种1,其等效过程的证明都十分简单,书不再进 行详细的推导 (1)抽取/内插与乘常数可以变换,如图3.1.2及图3.1.3所示。符号◇的意思是 等效于”。 56 多抽样率教字信号处理理论及其应用 M ↑L 图3.1.2抽取与乘常数的变换 图3.1.3零值内插与乘常数变换 (2)两个信号先分别抽取(内插)然后相加,与先相加然后抽取(内插),二者是等效 的,如图3.1,4所示。 抽样率相同的两个信号先分别抽取(抽取因子相同)然后相加,等效于先相加然后抽 取,如图3.1.4(a)所示。 抽样率相同的两个信号先分别零值内插(内插因子相同)然后相加,等效于先相加然 后零值内插,如图3.1.4(b)所示。 x1(n71) i Ar 1(IT) Y(n7) .:) x2(H71) x(n71) (a)抽取与加法的变换 (nT1 L 四2x ↑rwnT x(H71 xinli (b)内插与加法的变换 图3.1.4抽取、内插与加法的变换 3.1.1H(z)与抽取和零值内插系统的等效变换 上面给出了一些简单的基木网络等效变换,接下来讨论在本章开始所提出的问题,即 抽取和内插与滤波器的等效变换 首先来看M倍抽取与H(z)级联的等效变换,如图3.1.5所示。 烈(nT1 F(二1) 4M12 【rT2) M (Hz2) 图3.1.5转移函数与抽取级联的等效变换 首先分析图3.1.5中右侧系统,其输入输出关系为 Y(z2)=H(z2)V(z2) (3.1.1) 由抽取器的频域输入输出关系得 V(z) IX(z WM) (3.1.2) 于是有 ∑ Y(x2)=H(z2M7= X(ZWM (3.1.3) 笫3章多抽样率系统的网络结构与实现 57 而在图中左侧系统的输人输出关系为 Y(z2) U(e, wn) (3.1.4) U(2)=X(eH(xM) 于是 z WM)=X(z, WM)H(WM]=X(2, WM)HO 所以 Y(z2)=H(z) X(aWv) (3.1.7) 由于-=cM=c=p=x2,所以H(x)=Hxz2),则Y(x2)=Y'(x2)。比较式(3.1.3) 与式(3.1.7)可知,图3.1.5中的两个系统是等效的 与图3.1.5类似,可以推出H(z)与L倍零值内插级联的等效变换,如图3.1.6所示。 t(n1) H(=1 tn71) (HT;) ↑L w(nT 1(1F5) 图3.I.6先用H(x1)滤波后内插与先内插后用H(x2)滤波是等效的 在图3.1.6左侧系统中输入输出关系为 Y(z)=V(z1)=X(x1)H(2 (3.1.8 在图3.1.6右侧系统中输入输出的关系为 Y(x2)=U(z2)H(x) (3.1.9) U(x2)=X(z) (3.1.10) 所以 Y(zs)=X(H X(x;)H(x1) (3,1.11) 比较式(3.1.8)与式(3.1.11)可知,Y(x2)=Y(z2),所以图3.1.6中的两个系统是等效的 思考:如图3.1.7和图3.1.8所示,左右两边两个系统等效吗?即使数学上等效,物 理上可实现吗? x(71) 山;M2<2m 4 M unT 图3,1,7思考题图1 r(nT UnT. H(2 x(H71 H ↑L 图3.1.8思考题图2 3.12既含抽取又含零值内插的系统等效变换 对于既含抽取又含零值内插的系统,如分数倍抽样率变换的系统,有如下结论:当M 与L互为质数时,先抽取后零值内插等效于先零值内插后抽取,即抽取与内插的次序是 j以交换的,如图3.1,9所示。 58 多抽样率数字信号处理理论及其应用 r(n71) (nT (M73 ↑L ↓Lf 17) 图3.1.9M与L互质时,先抽取后内插和先内插后抽取等效 从图3,1,9左侧,有 3.1,12) 并且 V(x;)=M∑XW) 3,1.13) 由式(3.1.12)和式(3.1.13)得 W 所以 Y(z2) X(z,W* M (3.1.14) 又有 于是 X(z!Mw) 3.1.15) 由图3.1.9右侧,有 U(e, WR) (3.1.16) U(z:)=X(z1) 这里 所以 U(z4)=X(x) (3.1.17) (z, W)= XL(z, W)]=X(zLw (3.1.18 因此 Y(x2)M之X(xW) (3.1.19) 又因为 IT,L inTaI M 所以 YO M ∑X(xMW (3.1.20) 比较式(3.1.20)和式(3.1.15),如果二式相等,则图3.19中左右两边等效。 式(3,1.15)中将求和展开则有 笫3章多抽样率系统的网络鲒构与实现 59 ∑X(MW)=X(2W)+X(sMW)+…+X(zMw"1)(3.1.21) 而式(3,1.20)中将求和展开有 之ⅹ(xMw)=XaMw)+X(xw4)+…+X(x!MwMm)(3.1.22) 由于式(3.1.2)中的W=cmM,这里n为任意整数,kL-mM的结果必等于 kL④M即等于用M去除所得的余数。 如果L和M互质而k又是小于M的数,则k④M便是0,1,2,…,M1.这样 式(3,1,20)便与式(3.1.15)完全相同。举个例子来说,L=3,M=4,符合1和M互质的 条件,则有下面所示的关系 kL史M=k×3团4 可见当k从0增到M一1时,W"1具有W的每一个值。因此式(3.1.22)在与M互 质的条件下与式(3.1.21)是相等的。这就证明了式(3.1.20)中的Y(x2)等于 式(3.1.15中的Y(z2) 3.2多抽样率系统的多相结构 名相( polyphase)表示是多抽样率信号处理中的一种基木方法。使用它可以在实现 整数倍抽取和内插时提高计算效率,在实现滤波器组时也是非常有用的2。多相表示也 称为多相分解,它是指将数字滤波器的转移函数H(z)分解成若干个不同相位的组。 32.1多相分解的三种形式 在FR滤波器中,有 H()=∑h(n (3.2.1) 式中N为滤波器长度。如果将冲激响应h(n)按下列的排列分成M个组,并设N为 M的整数倍,即N/M=Q,Q为整数,则 H(2)=h(0)x+h(MzM+.+h[(Q-1)M2(Q-IM +h(1)z1+h(M+1)z1M11+…+h[(Q-1)M+1]z +h(2)x2+h(M+2)z1M+…+l[(Q-1M+2]x1M h(M-1)2M+h(2M-1)x2M-1+…+h(Q-1M+M-1]z1MB ∑h(mM+0)(x2)*+x∑h(mM+1)(2 +∑h(mM+M-1)(z) (3.2.2) 60 多抽样率数字信号处理理论及其应用 E(x)当∑h(nM+k)(z")",k=0,1…,M-1 3,2,3) 则 2"Er(ZM) (3.2.4 E(xM)称为H(x)的多相分量。式(3.2.4)称为H(z)的多相表示。 从式(3.2.2)可以看出,把冲激响应h(n)分成了M个组,其中第k+1个组是h(nM+k), k=0,1,…,M-1,即滤波器H(z)被分解为M个滤波器:第一个滤波器的系数是h(n)中 序号为M整数倍的样点,第二个滤波器的系数是h(n)中序号为M整数倍加1的样点,依 次类推。从式(3.2.4)也可看出2E(x"M)是H(z)中的第k+1个组,k=0,1,…,M 1。如果将式(3.2.4)中的z换成e,则 H(e-) E (3.2,5 式中eM表示不同的k具有不同的相位,所以称为多相表示。式(3.2.4)或式(3,2.5)称 为类型Ⅰ多相分解。式(3.2,4)的网络结构如图3.2.1所示。 x(H1) E(- 7) x(nT1) E1(2 EM-(z 图3.2.1多相分解的第一种形式(类型I) 下面介绍多相分解的第二种和第三种形式。 如果把式(322)中的∑h(nM+k)(2)”定义为RM1(z),即 ∑h(mM+k)()RM14(z") (3.2.6) 则式(3,2,2)变成 H(E)=RMI(2M)+2R Rn(zM)+…+ R(2M) ∑xmRn(z (3.2.7) 式(3.2.7)称为类型Ⅱ多项表示,其网络结构如图3.2.2所示。第二种多相形式相当 亍用M-1一k代替类型I中的k得到。 若用一k代替式(3.2.3)~式(3.2.4)中的k,则有 ∑h(nM』一k k=0,1,…,M (3.2.8)

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