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全国研究生数学建模竞赛E题之欧阳体创编 (2).pdf
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欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03
2013 年全国研究生数学建模竞赛 E
题
时间:2021.02.03 创作:欧阳体
中等收入定位与人口度量模型研究
居民收入分配关系到广大民众的生活水平,分配公平程
度是广泛关注的话题。其中中等收入人口比重是反映收入
分配格局的重要指标,这一人口比重越大,意味着收入分
配结构越合理,称之为“橄榄型 ”收入分配格局。在这种收
入分配格局下,收入差距不大,社会消费旺盛,人民生活
水平高,社会稳定。一般经济发达国家都具有这种分配格
局。我国处于经济转型期,收入分配格局处于重要的调整
期,“橄榄型”收入分配格局正处于形成阶段。因此,监
控收入分配格局的变化是经济社会发展的重要课题,例如
需要回答,与前年比较,去年的收入分配格局改善了吗?
改善了多少?可见实际上需要回答三个问题:什么是“橄
榄型”收入分配格局?收入分配格局怎样的变化可以称之为
改善?改善了多少?直观上,中间部分人口增加,则收入
分配格局向好的方向转化。于是基本问题回答什么是中间
部分。
欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03

欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03
一个国家的收入分配可以用统计分布表示,图1是某
收入分配的密度函数
f (x)
,其中
x 0
表示收入(仅考虑正的收
入),
x
0
是众数点,
m
是中位数点,
是平均收入。收入分配
经验分析说明,收入分配曲线一般是所谓正偏的,即峰值
点向左偏,右端拖一个长尾巴,且通常有
x
0
m
(1)
记对应的分布函数为
F(x)
,则
p F(x)
表示收入低于或等于
x
的人口比例。由于
F (m) 1 2
,(1)式意味着收入大于或等于平
均收入的人口一定不到半数,因此是少数。
记收入低于或等于
x
的人口群体拥有收入占总收入的比
例为
L( p)
,则应有
L( p) tf (t)dt
0
1
x
,
p F (x)
(2)
L( p)
称之为收入分配的洛伦兹曲线。显然,如果
L
1
( p)
与
L
2
( p)
是两个不同收入分配的洛伦兹曲线,若对任何
p (0,1)
都有
L
1
( p) L
2
( p)
,则
L
1
( p)
对应的收入分配显然更优,因为在
L
1
( p)
中,任何低收入端人口拥有的总收入比例更大。下图中红
色曲线是某收入分配的洛伦兹曲线。
图1
其中横轴表示人口比例,纵轴表示总收入比例。显然,图
中曲线位置越高,所代表的收入分配越平等。其中
45
线可
以理解为平等收入线,这时,任何低收入端人口比例为
p
的
欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03

欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03
人口拥有的总收入比例也是
p
,从而必定是完全平等的收入
分配。因此定义
45
线与
L( p)
之间面积的
2
倍为基尼系数。于
是基尼系数定义为
1
G 1 2
L( p)dp
0
(3)
L( p)
与
f (x)
具有关系
L
( p)
x
(4)
f (x)
1
L
( p)
(5)
1
F
p F(x) F(x)
其中 。记 的反函数为
( p)
,则洛伦兹曲线可以表
示为
实践中通过入户调查获得家庭收入与消费等数据,如果
可以得到这类数据,则可以使用例如 Kernel 法估计收入分
配的统计分布。我国统计部门也进行这种调查,但数据不
对外公开,而只是在统计年鉴上发布所谓的分组数据 (世界
上很多国家也如此),这种数据的完整形式为
p
i
, x
i
,
i 1,2,,n
(6)
p
i
, L
i
,
i 1,2,,n
(7)
其中
x
i
是收入区间点,满足
0 x
1
x
2
x
n
x
n1
,通常
x
n 1
理
解为充分大的正数。
n
通常不大,例如
n 10
。很多国家只提
供(7)式描述的数据。经济学界只能利用这种稀疏的信息进
行收入分配分析。记
p
0
0
,则
[x
i
, x
i 1
)
中人口比例为
p
i
p
i 1
。
欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03
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