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机器学习常用「线性代数」知识速查手册.pdf

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机器学习常用「线性代数」知识速查手册

向量

1.1

基本概念

【向量（vector）】：一个同时具有大小和方向的几何对象。

【行向量（row vector）】：一个 1×n 的矩阵，即矩阵由一个含有 n 个元素的行

所组成：

【列向量（column vector）】：一个 m × 1 的矩阵，即矩阵由一个包含 m 个元

素的列组成：

行向量的转置是一个列向量，反之亦然。

【向量的模】：向量的长度叫做向量的模。假设向量 v = (v1, v2, …, vn), 则 v 的

模。记作：

【单位向量】：模为 1 的向量就是单位向量。

【向量的基（也称为基底）】：给定一个向量空间 V。 V 的一组基 B，是指 V 里

面的可线性生成 V 的一个线性无关子集。B 的元素称为基向量。

1.2

常见运算

向量常见的运算有：加法，减法，标量乘向量以及向量之间的乘法（叉乘、点乘）。

在机器学习中，我们需要重点看加法，标量乘向量和点乘。

设：存在两个 n 维度向量 a = (a1, a2, …, an) 和 b = (b1, b2, …, bn)

1.2.1 向量加法

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)

1.2.2 向量乘以标量

设标量为

则

ka = (ka1, ka2,

…

, kan)

1.2.3 向量点乘

1.3

向量性质

1.3.1 线性相关（linearly dependent）

假设 V 是在域 K 上的向量空间。V 中的一组(m 个)元素中，若有向量可用有限个

其他向量的线性组合所表示，则称为线性相关，反之称为线性无关。

换言之，如果 v1, v2, ..., vn 是 V 的向量，如果从域 K 中有非全零的元素 a1, a2, ...,

an，适合 a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0, 则称它们为线性相关。

如果 K 中不存在这样的元素，那么 v1, v2, ..., vn 是线性无关或线性独立。

1.3.2 线性相关的几何意义

说向量组 v1, v2, ... vm 线性相关，则：

当 m = 1 时，若 v1 = 0，则只含有 v1 一个元素的向量组线性相关，否则，线

性无关。

当 m = 2 时，如果 a1v1 + a2v2 = 0,则 v1 和 v2 线性相关，也就是说 v1 和 v2

的分量对应成比例，在几何意义上，v1 和 v2 共线。否则，二者线性无关。

当 m =3 时， v1,v2,v3 线性相关的几何意义是三者共面。

1.3.3 正交

若内积空间中两向量的内积为 0，则称它们是正交的。正交是垂直这一直观概念

的推广。

1.3.4 正交 vs 线性无关

正交的向量一定线性无关，线性无关的向量不一定正交。

线性变换与线性函数

2.1

线性变换

在两个向量空间之间的一种保持向量加法和标量乘法的特殊映射，称为线性变换

（或线性映射）。

2.2 线性函数

设

和

是在相同域

上的向量空间。法则

f : V

→

被称为是线性映射，

如果对于

中任何两个向量

和

与

中任何标量

，满足下列两个条件

(1)

可加性：

f(x+y) = f(x) + f(y) (2)

齐次性：

f(ax) = af(x)

即其维持向量加法与标量乘法。

上述等价于要求对于任何向量

x1, ..., xm

和标量

a1, ..., am

，下面方程成立：

当上述的法则

f : V

→

为函数时，就是线性函数。

比较直观的理解就是大部分一次函数，例如二维空间中的

f(x)=ax+b

，其中

a,b

为常数。

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