基于Hebbian规则的新型自适应广义主元分析算法.docx
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2022-05-31
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1 引言
广义主元是指 2 个信号的自相关矩阵构成矩阵束的最大广义特征值所对应
的广义特征向量，而广义主元分析是指能够对广义主元进行估计的技术
[1
]
。广义
主元分析已经应用在通信和信号处理的很多领域，如盲分离
[2
]
、波束形成器
[3
]
、
阵 列 天 线
[4
]
、 模 式 识 别
[5
]
、 滤 波 器 设 计
[6
]
等 。 针 对 矩 阵 束 广 义 特 征 值 分 解
（GEVD,generalized eigenvector decomposition ），学者们提出了一些代数
方法来计算信号的广义主元，然而这些代数方法本质上属于批处理类算法，不
仅计算复杂度高，而且要求矩阵束是已知的。而通信和信号处理的很多领域中 ，
天线和传感器只能接收当前时刻信号的采样值，自相关矩阵束是未知的，因此
有必要发展自适应广义主元分析算法。
利用神经网络对广义主元进行自适应估计是常用的方法。 Mathew 等
[7
]
提出
含有 Sigmoid 激励函数的非线性反馈型神经网络结构，然而该神经元结构过于
复杂，需要选取很多参数，不利于实际应用。Hebbian 在研究神经网络学习规
律时指出：神经网络权值的更新应该与输入和输出的相关性成正比，进而提出
了 Hebbian 规则
[8
]
。Oja
[9
]
首次将 Hebbian 规则引入自适应特征值分解算法领域。
相比批处理代数算法和反馈型神经网络算法，基于 Hebbian 规则的算法具有以
下 3 个方面的优势：1)只利用信号当前值来估计广义主元，不需要计算自相关矩
阵，算法的实时性较好；2)适用于处理平稳信号和非平稳信号，应用范围广泛；
3)计算复杂度相对较低，能够处理高维数据
[10
]
。因此，基于 Hebbian 规则的算
法已经成为该领域的主流研究方向。
在基于 Hebbian 规则的广义主元分析算法方面，Chatterjee 等
[11
]
构建了一
个双层线性神经元，并基于此提出了梯度性算法，然而该算法难以选择合适的
学习步长。为了避免矩阵的求逆计算， Liu 等
[12
]
提出了 RNN（recurrent neural
network）算法，但该算法存在收敛速度慢的问题。为了提升算法的收敛速度，
Tanaka
[13
]
将广义主元转化为特征值分解问题，利用幂迭代法对广义特征向量进
行在线估计，然而该算法中存在较多的矩阵开方操作，由于矩阵开方结果的不
唯一性使算法的稳定性较差。Nguyen 等
[14
]
则通过对神经元权向量不断地归一化
来提升算法的稳定性，但是频繁的归一化操作又增加了算法的计算复杂度。Li
等
[15
]
将 Douglas 特征值分解算法扩展到 GEVD 领域，提出了没有权向量模值归
一化操作的 GDM（generalized Douglas minor）算法。目前，广义主元分析算
法大多采用加权指数遗忘窗法对自相关矩阵进行在线估计，但该方法往往增加
算法的计算复杂度，因此如何有效降低算法的计算复杂度是一个值得研究的课
题。
基于 Hebbian 学习规则，Möller
[16
]
提出了一种稳定的特征值分解算法。本
文通过对该算法进行分析改进，提出了一种新型广义主元分析算法（简称“本文
算法”）。本文主要工作如下：1) 采用瞬时近似法进行自相关矩阵估计，有效降
低了算法的计算复杂度；2) 通过 Lyapunov 稳定性理论对本文算法的稳定性进
行分析，证明了本文算法的有效性。
2 GEVD 基础理论
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