作者: 李世雄 出版社: 上海教育出版社 出版年: 1981 页数: 93 定价: 0.27 装帧: 19cm 丛书: 初等数学小丛书 ISBN: 9780001511460 　初等数学小丛书 (共25册), 这套丛书还有 《抽屉原理及其他》,《几何不等式》,《平方和》,《一百个数学问题》,《函数方程》 等。
代数方程与量换群 李世雄 上海教育出版社出版 C上净永王号) 身鲁专上海发行所发行上海紫明印刷厂印刷 于本凹x1921B即蛋3,125号没5Q00 19驵1年2月爆盟1I衅2月燴1次印 整1T000木 统一书:150·黑3∴窸价;0.元 引言 解代数方程是古典代数学的主要内容。学过中学代数的 读者对一、二次方程的求解方法一定很热悉,很自然地,会进 步提出这样的问题:三次方程、四次方程以至更高次的代数 方程应如何求解呢?实际上经过数学家的长期努力,一般三 次方程、四次方程的公式求解方法在16世纪已经找到了,可 是高于四次的方程的一般代数求解方法,虽然经过许多著名 的数学家二百多年的努力(从16世纪中直到18世纪末),却 始终没有被找到(这里所谓代数求解方法:是指经过有限次 加、减、乘、除和开方运算来求得方程根的精确解法,而不是指 如秦九部法牛顿法等的近似数值解法.这些数值解法在应用 上是很有意义的.但是与我们所要讨论的求解方法是两类性 质不同的间题).为了求解一般的五次方程,曾绝枉然地耗去 了许多精力.可是尽管许多人在这个问题上碰了壁,然面却 从未怀疑过这种求解方法是否存在!宜到1770年法国的数 学家拉格朗日(J. agrange1736~1813)才开始认识到求解 一般五次方程的代数方法可能是不存在的.他在一篇长达 200多页的文章《关于代教方程解法的思考》中,系统地分析 总结了在他以前人们所已知的解 四次方程的一切方 法,以及他所创造的求解二、三、四次方程的统一方法,他措 出这些解法对于求解一般五次方程都是无效的:并开始认识 到根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在。这就开创 了用理换群的理论来研究代数方程的新阶段。在此基础上, ξ· 挪威数学家阿贝尔(N.H,A预e11802~1829)利用置换群的 理论给出了高于四次的一般代数方程的代数求解公式不存在 的严格证明。以后法国数学家侧罗华(E. Galois1811~1832) 更进一步证明了不能用代数方法求解的具体方程式的存在 他还用置换群的理论彻底阐明了代数方程可用代数方法求解 是依据了怎样的原理,这后来发展成当今代数学中有趣而又 很基本的一部分—群论中的伽罗华理论 本书的目的,是在中学代数的基础上,介绍如何用置换群 的理论研究代数方程的求解问题.阐明为什么五次以上的 般代教方程不能用代数方法求解,以及代数方程可以求解的 根本原理是什么,并用这一理论证明为什么“有限次使用圆 规、直尺三等分任意角’等名难题是不可能的, 我们希望这本小册子能引起中学数学教师及爱好数学的 中学生的兴趣,该了以后能对群论这一近代数学中引人入胜 的重要分支,及其在代数方程求解问题中的应用有一个初步 了解;为进一步学习近世代数提供一本入门书 因为我们的希望是比较通俗地讲清楚伽罗华理论的思 路,而并不追求严格的推导和证明所以有些比较长或需准 备知识较多的证明我们就略去了,只是通过一些具体例子来 说明一下 由于笔者的数学和文字素养都不高,错误在所难免,谨向 提出宝贵批评意见的同志表示感谢 目录 引言 、代数方程的古典解法 哪F◆·卓·-垂ψ哥·:‘··1 1.←次、二次方程的求解 2.三次方程的解法 请14甲申卡和中即面留甲中番b申曹甫丽p丽更哥量甲P函卓“1、丽申甲面画 3.四次方程的解法 4.高于四次方程的求解间题………… 14 用根的置换理论解代数方程 ……17 1.利用根的置换解二次方程… 卜日:;暑··; 18 2.利用根的置换解三、四次方程 s……20 3.一般五次(或五次以上,方程的代数求解问题… 置换群及其重要性质 鲁「·曹非章非垂面p日国更日.看量甲悬非画 88 1,置换的乘积及其基本性质 ·t……………………“34 2.置换群的概念… ………….*37 3,一般的群的概念 ………………………39 唾,群的重要性质 ……………43 四、数域与代数式的可约性.代数方程的伽罗华群………56 1.数城与代数多项式的可约性 :56 2.域的扩张.扩张的维数 a…,…a……"…59 3.代数方程的根减,正规域… r型·当,,甲甲甲,pp当。当即4善更请n 63 生,数域的自同构群·………………………………………66 5.代数方程的伽罗华群 出,4,4照曲 75 6.求代数方程的伽罗华群的具体方法 五、代数方程的代数解法.尺规作图问题…………………S2 1.尺规作图问题……… +82 2.代数方程可用代数方法求解的准则 95 3·三次方程的不可约情况……………………………9 、代数方程的古典解法 次、二次方程的求解 解代数方程是古典代数学中基本的组成部分,本书讨论 的一元帷次代数方程(以后筒称为方程),一般地可以写成; i,+a12x+…+n=0,(ao≠0) (1.1) 其中%是正整数,称为此方程的次数,o,a,…,ωn等系数 是复数,特别地也可以是实数.第次代数方程必定恰有物个 根,这就是著名的代数基本定理,德网大数学家高斯K,F Gu9177^1856)在1799年给出了第一个证明。但是高斯 的证明和以后的一些证明方法都不是构造性的,也就是说仅 仅肯定了根的存在性,而并未给出具体求根的方法,因此,在 高斯之前和之后,人们对于解方程的方法都作了长期的艰苦 探索, 代数方程可以根据它的次数来分类.其中一次方程最简 单,它的一般形式是 z+b=0,(≠0) 它的解是 b 次方程的一般形式是 ax2+ba+0=0,(=0) (1.4) 它的解法也不难古代巴比伦人早就会用配方法来求解了 虽然这些内容已为大家熟知,但为了下恿讨论方便起见,我们 简要地回顾一下 将(1.4)化为 x+2+ 0 b 62 配方 Aa= 移项 b'-dac rr+ 4 两边开方(在复数范围里这总是可行的)再移项,即得熟知的 一元二次方程的求解公式 b士√b2-4ae 20 (1.6) 在方程(1.6)中,如令p=,g=则公式(1,6)也可写成 (1.7 总之,一次方程和二次方程的根都可以用它的系数的代数式 (就是只含有限次加、减、乘、除和开方五种代数运算的表达 式)来表示,所以我们说一次方程、二次方程可以用代数方法 求解 次方程(12)当a≠0时,它的解总是存在的,而且也是 唯一的, 次方程(1.4)的根的况就比较复杂,从求解公式 (16)可以看出此时b2-4起着重要作用,我们称它为方程 (1.4)的判别式并记为 4=b2-4ac (18) 当a,b,c为实数时,由求解公式(1.6)易知: 42 (1)当4>0时,方程(14)有两个不相等的实根 (2)当山=0时,方程(1.4)有两个相等的实根,这个根 又称为二重根:=-,所以此时不需开方即可求得其解 (3)当厶<0时,方程(1.4有一对共轭的虚数根 若将二次方程(1.4的两个根记为x、m3,则通过主接计 算,容易证明它们和方程的系数之间有下的关系式 1 FOrp (1.9) 这就是有名的韦达(F,Vete.1540~1608)公式,有的书上也 称为韦达定理。我们特别指出: d=( n (1.10) 它的证明是很容易的,如下: (x1-a2)2-1-2a12+22=(a1+x2)2-4x1 万24cb2-4a 我们来看一个特殊的二次方程 根据求解公式(16)易知它的两个根是=1+√<1) G1=0 (王.卫 2 和 -√8 令 1+3多 2 (112) 则由直接计算易得 1+√3么-1-~/3 2 2 因此ω2是方程(.11)的两个根.而且它们还满足下列关 系式 2+ω+1=0, (1.13) o3=1 这是两个下面有用的关系式.其中第一个只要用a代入 11)即可而第二个则是因为 一1)(2+ω+1)=0 由此还可得:住何一个复数a如果ya是a的一个三次方 根,则/aa,a2就是另两↑三次根 2.三次方程的解法 上面已绝看到次方程、二次方程的求解早已有了很完 美的代数方法,我们可以很方便地根据求根公式求出它们的 全部根,人们自然会想到,三次、四次以至更高次的代数方程 是否也有类似的求根公式?或者说,能不能把一个方程的根 月该方程系数的代数式表示出来呢?再强调一下,这里的 代数式是指有限次地使用邡、减、乘、除、开方运算得到的 关于这方面的问题,16世纪的意大利数学家们首先作出 丁很大的贡献。意大利当时有一所欧洲最大也是最著名的大 学—波罗尼亚大学.波罗尼亚大学的菲尔洛(.D,Ferr 约1465~562)教授在1514~1515年期间把三次方程全都 简化为三种简单的类型 +q,剡3+g=P 其中P,g均为正数.并对它们进行了系统的研究,不过他从 未发表过他的解法,仅把他的研究结果告诉了他的几个朋友, 他去世后不久,意大利威尼斯的数学家塔尔塔利亚N 4 4