椭圆函数与模函数:从一道美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)博士资格考题谈起

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椭圆函数与模函数 [刘培杰数学工作室 编] 2012年版 《椭圆函数与模函数:从一道美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)博士资格考题谈起》详细介绍了椭圆函数以及模函数的相关知识。全书共分为三章,分别为:椭圆函数、模函数、椭圆函数与算术学。《椭圆函数与模函数:从一道美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)博士资格考题谈起》可供从事这一数学分支或相关学科的数学工作者、大学生以及数学爱好者研读
椭 从一道美 力 刘培杰宋明辉编著 函数 州大学洛杉矶分校博士资格考题谈起 数学中的小问题大定理丛书第三辑 ◎高斯求和与θ1函数 模 阿贝尔的复形乘法 函 数 线性代换 椭圆函数之应用 模函数 M 2m-m2zo59<m 哈爾 紧大出 版 内容简介 本书从一道美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)博士资格 考题谈起,详细介绍了椭圆函数以及模函数的相关知识.全书 共分为三章,分别为:椭圆函数、模函数椭圆函数与算术学 本书可供从事这一数学分支或相关学科的数学工作者、大 学生以及数学爱好者研读 图书在版编目(CIP)数据 椭圆函数与模函数/刘培杰,宋明辉编著.一哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2012.10 ISBN978-7-5603-3812-5 1.①椭…Ⅱ.①刘…②宋…Ⅲ.①椭圆函数②模 函数Ⅳ.①O174 中国版本图书馆CIP数据核字(2012)第234589号 策划编辑刘培杰张永芹 责任编辑张佳 封面设计孙茵艾 出版发行哈尔滨工业大学出版社 社址哈尔滨市南岗区复华四道街10号邮编15006 传真0451-86414749 网址http://hitpress.hitedu.cn 刷哈尔滨市石桥印务有限公司 开本787mm×960mm1/16印张13.5字数138千字 版次2012年10月第1版2012年10月第1次印刷 书号ISBN978-7-5603-3812-5 定价28.00元 (如因印装质量问题影响阅读,我社负责调换) ⊙第1章椭圆函数∥1 1.1引言//1 1.2二重周期函数及椭圆函数之通性//5 1.3魏尔斯特拉斯椭圆函数25 1.4椭圆函数之应用54 1.5雅可比椭圆函数//67 1.6雅可比椭圆函数与魏尔斯特拉斯 椭圆函数之关系//114 第2章模函数123 2.1等价周期偶//123 2.2等价平行四边形网//126 2.3绝对不变量J/127 2.4函数J(x)在正半平面中为正则128 2.5J(x)之基本性质128 2.6线性代换//129 2.7模群/131 2.8模群之基本区域/133 2.9对J(x)之应用//139 2.10基本等式142 2.11J(x)为k2的函数之式/143 2.12J(x)在r=i∞邻近之展开144 2.13J(x)之实值144 2.14在椭圆函数上之应用/47 2.15模函数//148 2.16椭圆积分的周期之比为其模之函数//153 第3章椭圆函数与算术学/155 3.1阿贝尔的复形乘法//158 3.2克朗耐克//161 3.3次数为四和三的爱森斯坦因公理/164 3.4傅里叶级数和q一微积分/169 3.5高斯求和与0—函数/174 3.6克朗耐克的有限方程式与费马等式//176 3.7丢番图方程式180 3.8结论//181 编辑手记183 椭圆函数 1.1引言 随着中国博士培养工程的突飞猛 进,中国的博士毕业人数已居世界第二, 仅次于美国,而且在可预见的时间内 定会稳居世界第一.但随之而来的是质 量开始下滑,这时大洋彼岸美国的博士 第 培养模式开始受到关注.一份美国加州 大学洛杉矶分校(UCLA)博士资格考题 走进高校学子的视野,以数学题目而论 它涵盖广、有深度,足以检验出一名候选 人的学术潜质和理论功底 章 它分成以下几大方面: 代数:其中包括群论、环论、域 论、线性代数 实分析 、复分析 四、几何拓扑:其中包括流形拓扑、 代数拓扑 本书仅选其中一题详细介绍其背 景.此题是1986年的试题 椭圆函数与模函数 题目设f为具有周期v1,w2的椭圆函数,设L 为格Zm+Z,若a1,…,am(b1,…,bn)是∫在基本平 行四边形中的零点(极点).试证 a1+…+am≡b1+…+bn(molL) 此题是关于椭圆函数性质的问题,椭圆函数在历 史上有两个来源:一是椭圆积分;二是椭圆曲线.椭圆 积分作为古典数学早已沉寂,但椭圆曲线因费马 ( Fermat)大定理和密码学的兴起而重新唤起人们对 它关注的热情,所以椭圆函数又老树发新芽了 关于椭圆函数历史上有若干著名数学家研究过, 雅可比的名著《椭圆函数论新基础》是其经典.1829 年,德国数学家雅可比( Carl gustav jacob Jaco bi, 1804-—1851)出版了他的名著《椭圆函数论新基 础》( Fundamenda nova theoriae fu unction um ellipticarum).由于此书的出版,雅可比与阿贝尔共享 了发现椭圆函数的盛誉,该著作是雅可比研究工作的 总结,是椭圆函数论的重要经典著作 椭圆函数论是19世纪数学家兴趣的中心点.在雅 可比和阿贝尔之前,高斯、欧拉、拉格朗日、勒让德等人 曾经取得椭圆函数论中的许多关键性结果,但他们只 考虑椭圆积分,雅可比和阿贝尔差不多同时有了从椭 圆积分的反函数入手进行研究这一重要思想,从而开 辟了通往今天椭圆函数论的道路.雅可比椭圆的思想 的发展主要体现在该著作中,该书由两部分组成,第一 部分主要处理椭圆函数的变换.雅可比以第一类一般 椭圆积分为起点,通过结合两种变换,得到了第一类椭 圆积分的乘积这一漂亮结果.之后,雅可比将反函数 -amu 2 第1章椭圆函数 引人椭圆积分 (,k) ap 1-k sIn 中,这样就有 x=sIn p= sin am u 进一步引入 cos amu=am(k-u)(k=ui, k) anu k sin u (这些在今天分别被表示为snu,cnu和dnu).建立 了这些函数间的关系.此外,雅可比将虚数引人椭圆函 数论,利用代换 sin p =itan 建立了关系 sin am (iu,k)=itan am(u,k) 模k,k′满足 k2+k2=1 这样,他得到了椭圆函数的双周期性、零值、无穷值及 在半周期上值的变化等结果.在第一部分的最后,雅可 比发展了被所有变换模满足的三阶微分方程.《椭圆函 数论新基础》的第二部分处理椭圆函数的表示,致力 于将椭圆函数展开成各种无穷乘积和级数.他给出的 椭圆函数 sin amu, cos am u,△amu的第一个表示是 以无穷乘积商的形式引入函数 z(u)=FE()-EF() (o=amu) 之后,他处理第二类积分,第三类积分被化为第一类和 第二类积分.函数 椭圆函数与模函数 H(u)=H(Exp( z(u)du) 在他的椭圆函数中起了重要作用.第二部分另外的内 容是将H(u)这样的函数表示为无穷乘积和傅里叶级 数,从而得到一些卓越的公式.最后,雅可比以椭圆函 数论在数论中的应用的讨论结束全书. 此书出版后的多年中,雅可比继续了他在椭圆函 数论方面的工作.他讲授椭圆函数论多年,以致他对这 一课题的探讨成为函数论本身发展所遵循的模式 如果把椭圆函数理论视为一座宏伟的数学大厦的 话,那么有一些数学家从事的是打地基的工作,有些数 学家是在建立框架,而更多的数学家则是在添砖加瓦 添补细节.打地基的工作需要大师级的人物,如高斯、 欧拉、阿贝尔之流;建立理论框架则需要顶级数学家的 参与,如拉格朗日、勒让德、雅可比、魏尔斯特拉斯等 人;而大量添加细节的工作则是由许许多多还不那么 知名的各国数学家去完成.在早期的数学大国,如英 国、法国、德国的浩如烟海的典籍之中,可以发现大量 我们现在早已遗忘的人,如德斯佩鲁( Despeyrous The-odore,1815-1883),法国数学家,生于博蒙一德 洛马涅( Beaumont-de-Lomagne),卒于图卢兹 ( Toulouse),学于图卢兹和莱克图尔( Lectoure).曾任 第戎( Dijon)学院教授,著有《椭圆函数》( Surles fun ctions elliptiques) 本书限于篇幅只能择其要点略加介绍

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xinchuzu 写的很好,很详细,比较深入,又浅显易懂。点赞。
2021-04-20
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