数值实验报告四
1.数值实验问题
试用雅可比迭代、GS 迭代、SOR 迭代计算线性方程组：
―
𝟓𝟓
𝒙
𝟏
―
𝟓
𝒙
𝟐
+
𝟏𝟐
𝒙
𝟑
=
𝟒𝟏
𝟐𝟏
𝒙
𝟏
+
𝟑𝟔
𝒙
𝟐
―
𝟏𝟑
𝒙
𝟑
=
𝟓𝟐
𝟐𝟒
𝒙
𝟏
+
𝟕
𝒙
𝟐
+
𝟒𝟕
𝒙
𝟑
=
𝟏𝟐
（1）取
𝒙
（𝟎）
=
（𝟎，𝟎，𝟎）
𝑻
，在 SOR 迭代中，松弛因子分别选
取 为
𝛚
=
𝟎.𝟏𝐭，𝟏
≤
𝐭
≤
𝟏𝟗
； 或 选 取
𝛚
=
𝟏.𝟏
、
𝛚
=
𝟏.𝟕
、
𝛚
=
𝟎.𝟖
，要求达到精度
‖
𝒙
（𝐤
+
𝟏）
―
𝒙
（𝐤）
‖
≤
𝟏𝟎
―
𝟒
.
（2）分别对雅可比、GS、SOR 迭代列出
𝒙
（𝐤
+
𝟏）
=
𝐁
𝒙
（𝐤）
+
𝒈
格式，
并求出迭代矩阵 B 和矩阵 g，分别判断上述迭代是否收敛；
（3）数值结果：
（a）对雅可比迭代、GS 迭代：求出达到精度的最小 k 值，并
求出对应的 x；
（b）对 SOR 迭代：在
𝛚
下，求出达到精度的最小 k 值，并求
出对应的 x；若不收敛，取 n=500 或 n=1000，求出对应
的 x，并计算误差。
2.数值方法
（1）雅可比迭代：D
𝒙
（𝐤
+
𝟏）
=（L+U）
𝒙
（𝐤）
+b ，其中 D–L–U =
A，则
𝒙
（𝐤
+
𝟏）
= D
-1
(L+U)
𝒙
（𝐤）
+D
-1
b。令 B
J
= D
-1
(L+U)，g= D
-1
b，则
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