svd.rar_SVDmatlab_SVD.rar_svd分解_svd分解matlab

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70 浏览量 2022-07-14 22:12:34 上传评论 1 收藏 2KB RAR 举报

**正文** SVD，全称为奇异值分解（Singular Value Decomposition），是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于图像处理、推荐系统、数据分析等多个领域。在MATLAB中，SVD是一个内置函数，使得对矩阵进行SVD分解变得非常便捷。本资料包含的"svd.rar"是一个针对MATLAB初学者的SVD分解教程，提供了详细的步骤和说明，有助于深入理解这一技术。 SVD的基本形式为：对于任意一个m×n矩阵A，可以分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV'，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。这个分解过程有以下关键点： 1. **正交矩阵U和V**: U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量。它们都是单位正交向量，也就是说，这些向量之间互相正交且长度为1。 2. **奇异值Σ**: Σ是对角矩阵，对角线上的元素σ_i非负，并按降序排列，反映了矩阵A的“能量”分布。奇异值为0表示对应特征空间的秩缺失。 3. **分解的意义**: SVD将原始矩阵分解为不同性质的矩阵，有助于理解和简化问题。例如，在数据分析中，奇异值可以用于降维，U和V可以用于特征提取。 4. **MATLAB实现SVD**: 在MATLAB中，可以使用`svd(A)`命令来获取矩阵A的SVD分解。返回结果为[S,U,V]，其中S是一个对角矩阵，包含了奇异值；U和V是对应的左奇异向量和右奇异向量矩阵。 5. **SVD步骤**: - 计算A的转置A'与A的乘积AA'或A'A，得到一个对称矩阵。 - 然后，求解该对称矩阵的特征值和特征向量。 - 接着，将特征值开方，得到奇异值。 - 根据特征向量构造正交矩阵U和V。 6. **应用示例**: - 在图像处理中，SVD可以用于图像压缩，通过保留较大的几个奇异值，可以得到近似的重构图像，同时降低数据量。 - 在推荐系统中，SVD常用于协同过滤算法，通过分解用户-物品评分矩阵，预测用户可能对未评分物品的喜好程度。本教程中的"SVD"和"SVD"两个文件可能分别包含了MATLAB代码示例和解释文本，帮助初学者一步步学习如何在MATLAB环境中进行SVD操作，理解其原理和应用。通过实践这些步骤，你可以更好地掌握SVD这一强大的数学工具，并将其应用到实际项目中。

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svd

mySVD.m 3KB

SVD

MonteCarlo.m 864B

function [lambda,L,M,u,v,SCF,CSCF,cor,cor_xu,cor_yv,cor_xv,cor_yu,per_x,per_y] = mySVD(X,Y) % 奇异值分解（SVD） % clear;clc;load test;load test2;Y = Y(1:10,:); % 第一组X:p个变量,n次观测 [p,n] = size(X); % 第二组Y:q个变量,n次观测 q = size(Y,1); % X，Y标准化 X0=(X-mean(X,2)*ones(1,n))./(std(X,0,2)*ones(1,n)); Y0=(Y-mean(Y,2)*ones(1,n))./(std(Y,0,2)*ones(1,n)); % 求协方差阵V12 V12 = X0*Y0'/n; if p <= q V12V21 = V12*V12'; % 求V12V21的特征值lambda_2和左奇异向量L1 [L1,E_2] = eig(V12V21); E_2 = fliplr(flipud(E_2)); E_2(find(E_2<10e-8 & E_2~=0)) = eps; lambda_2 = diag(E_2); L1 = fliplr(L1); % 确定非0奇异值lambda的个数r index = find(lambda_2 > 10e-8); r = length(index); % 求最终的lambda,L,M lambda(1:r,1) = sqrt(lambda_2(1:r)); L = L1(:,1:r); for i = 1:r M(:,i) = V12'*L(:,i)/lambda(i); end else V21V12 = V12'*V12; % 求V21V12的特征值lambda_2和右奇异向量M1 [M1,E_2] = eig(V21V12); E_2 = fliplr(flipud(E_2)); E_2(find(E_2<10e-8 & E_2~=0)) = eps; lambda_2 = diag(E_2); M1 = fliplr(M1); % 确定非0奇异值lambda的个数r index = find(lambda_2 > 10e-8); r = length(index); % 求最终的lambda,L,M lambda(1:r,1) = sqrt(lambda_2(1:r)); M = M1(:,1:r); for i = 1:r L(:,i) = V12*M(:,i)/lambda(i); end end % 求r对时间系数u,v u = L'*X0; v = M'*Y0; clear E_2 L1 V12 V12V21 lambda_2 X Y index % 求第k个SVD模态协方差平方贡献率SCF SCF(1:r,1) = lambda.^2./sum(lambda.^2); % 求前s个SVD模态累积协方差平方贡献率CSCF CSCF(1:r,1) = SCF(1); for s = 2:r CSCF(s) = CSCF(s-1)+SCF(s); end % 求第k个SVD模态时间系数之间的相关系数 cor = lambda./sqrt(var(u').*var(v'))'; % 求X0与u之间的同性相关系数cor_xu for i = 1:r i for j = 1:p tmp = corrcoef(X0(j,:),u(i,:)); cor_xu(j,i) = tmp(1,2); end end % 求Y0与v之间的同性相关系数cor_yv for i = 1:r i for j = 1:q tmp = corrcoef(Y0(j,:),v(i,:)); cor_yv(j,i) = tmp(1,2); end end % 求X0与v之间的异性相关系数cor_xv for i = 1:r i for j = 1:p tmp = corrcoef(X0(j,:),v(i,:)); cor_xv(j,i) = tmp(1,2); end end % 求Y0与u之间的异性相关系数cor_yu for i = 1:r i for j = 1:q tmp = corrcoef(Y0(j,:),u(i,:)); cor_yu(j,i) = tmp(1,2); end end % 求左奇异向量对其场的展开精度per_x ssx = 0; for i = 1:r ssx = ssx+sum(var(u(i,:))); end for i = 1:r per_x(i,1) = var(u(i,:))/ssx; end % 求右奇异向量对其场的展开精度per_y ssy = 0; for i = 1:r ssy = ssy+sum(var(v(i,:))); end for i = 1:r per_y(i,1) = var(v(i,:))/ssy; end