~ 1 ~
随机信号实验报告
信号通过线性与非线性系统的分析
小组成员：
一．目的与背景
⑴ 了解随机信号自身的特性，包括均值（数学期望）、均方值、方差、
相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。
~ 2 ~
⑵ 研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、
相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统和非线性
系统受随机信号激励后的响应。
⑶ 掌握随机信号的分析方法。
二．实验原理
⑴ 随机信号的分析方法
在信号系统中，我们可以把信号分成两大类——确知信号和随机信号。确知
信号具有一定的变化规律，因而容易分析，而随机信号无确知的变化规律，需要
用统计特性进行分析。我们在这里引入了随机过程的概念。所谓随机过程，就是
随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。随机过程可分为
平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推
移而变化，则随机信号是平稳的。如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都
具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。我们下面讨论的随机过程都认为是
平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的一个样本来描述随机过程
的统计特性。
随机过程的统计特性一般采用随机过程的分布函数和概率密度来描述，它们
能够对随机过程作完整的描述。但是由于在实践中难以求得，在工程技术中，一
般采用描述随机过程的主要平均统计特性的几个函数，包括均值、方差、相关函
数、概率密度、频谱及功率谱密度等来描述它们。以下算法都是一种估计算法，
条件是N要足够大。
① 随机过程的均值（数学期望）：
均值E[x(t)](
�
)表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历经
性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即：
�
�
�
�
1
0
/)()]([
N
t
NtxtxE
均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。
② 随机过程的均方值：
信号x(t)的均方值E[x2(t)](
2
�
)，或称为平均功率，其表达式为：
~ 3 ~
NtxtxE
N
t
/)()]([(
1
0
22
�
�
�
�
均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均
能量的一种表达。
③ 随机信号的方差：
信号x(t)的方差定义为：
NtxEtx
N
t
/)]]([)([
1
0
22
�
�
�
��
�
2
�
称为均方差或标准差。 可以证明，
222
���
��
其中：
2
�
描述了信号的
波动量；
2
�
描述了信号的静态量，方差反映了信号绕均值的波动程度。 在已知
均值和均方值的前提下，方差就很容易求得了。
○
4
随机过程的自相关函数：
信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。对于平稳随机过程X(t)
和Y(t)在两个不同时刻t和t+τ的起伏值的关联程度，可以用相关函数表示。在
离散情况下，信号x(n)和y(n)的相关函数定义为：
� �
�
�
�
��
1
0
1N
t
xy
N/)t(y)t(x),t(
N
R
�
��
τ,t=0,1，2,……N-1。
但 是 ， 相 关 函 数 与
x
)t(x
�
�
和
y
)t(y
��
��
的 强 度 有 关 ， 若
x
)t(x
�
�
或
y
)t(y
��
��
（
x
�
为均值）很小，即使两者的相关程度较强（当时间差τ较小
时），则相关函数也不会大，所以相关函数并不能准确地表示关联程度的大小。
为了消除起伏值对相关函数的影响，需要对相关函数做归一化处理，所以引入了
相关系数的概念。平稳随机过程的相关系数由下式定义：
yx
yxxy
x
)(R
)(r
��
���
�
�
�
相关系数又称为规一化相关函数，它确切表征了平稳随机过程在两个不同时
刻的起伏值之间的线性关联程度。
~ 4 ~
⑤ 随机过程的频谱：
信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号
)( fx
，从
而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为：
-j2πf t
( ) ( )x f x t e dt
¥
-¥
=
ò
⑥ 随机过程的功率谱密度：
随机信号的功率普密度是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消
耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值，是从频域描述随机信号的平均统计参
量，表示X(t)的平均功率在频域上的分布。它只反映随机信号的振幅信息，而没
有反映相位信息。随机过程的功率普密度为：
]
2
|)(|
lim
[)(
2
T
X
ExG
Ti
T
�
��
�
－∞＜ω＜＋∞
随机信号的平均功率就是随机信号的均方值。
随机信号功率谱密度的性质：
★ 功率谱密度为非负值，即功率谱密度大与等于0。
★ 功率谱密度是ω的实函数。
★ 对于实随机信号来说，功率谱密度是ω的偶函数，即Sx(ω)= Sx(-ω)。
★ 功率谱密度可积。功率谱密度曲线下的总面积（即随机信号的全部功率）
等于随机信号的均方值。
★ 随机信号的功率谱与它的自相关函数构成一对傅里叶变换对。
⑵ 线性系统
线性系统的输入x(t)和输出y(t)之间的关系可以用常系数线性微分方程来
描述：
a
n
y(n)(t)+a
n
-1y(n-1)(t)+…+a
1
y(1)(t)+a
0
y(0)(t) =
b
m
x(m)(t)+b
m
-1x(m-1)(t)+b
1
x(1)(t)+b
0
x(0)(t)
~ 5 ~
其中a
0
，a
1
，…，a
n
和b
0
，b
1
，…，b
m
均为常数，则称该系统为线性定常系统，
线性定常系统有下面的一些重要性质：
☆ 叠加性
系统对各输入之和的输出等于各单个输入所得的输出之和，即
若 x1(t) → y1(t)，x2(t) → y2(t)
则 x1(t)±x2(t) → y1(t)±y2(t)
☆ 比例性
常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常数倍，即
若 x(t) → y(t)
则 kx(t) → ky(t)
☆ 微分性
系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微分，即
若 x(t) → y(t)
则 x’(t) → y’(t)
☆ 积分性
当初始条件为零时，系统对原输入信号的积分等于原输出信号的积分，
即
若 x(t) → y(t)
则 ∫x(t)dt → ∫y(t)dt
☆ 频率保持性
若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的稳态输出将为同一频
率的谐波信号，即
若 x(t)=Acos(ωt+φx)。。
则 y(t)=Bcos(ωt+φy)
当输入离散信号为双侧平稳随机信号时，信号经过线性系统后的统计特性：
输出过程的均值为：
)()()()()(
0
tmthdtmhtm
xxy
����
�
�
���
其中
y
m
是信号经线性系统后的均
