FCM 聚类算法介绍
FCM 算法是一种基于划分的聚类算法，它的思想就是使得被划分到同一簇的对象之间
相似度最大，而不同簇之间的相似度最小。模糊 C 均值算法是普通 C 均值算法的改进，普
通 C 均值算法对于数据的划分是硬性的，而 FCM 则是一种柔性的模糊划分。在介绍 FCM
具体算法之前我们先介绍一些模糊集合的基本知识。
6.1.1 模糊集基本知识
[21]
首先说明隶属度函数的概念。隶属度函数是表示一个对象 x 隶属于集合 A 的程度的函
数，通常记做μ
A
(x)，其自变量范围是所有可能属于集合 A 的对象（即集合 A 所在空间中
的所有点），取值范围是[0,1]，即 0<=
μ
A
(x)<=1。μ
A
(x)=1 表示 x 完全隶属于集合 A，相当于传统集合概念上的 x∈A。一个定义
在空间 X={x}上的隶属度函数就定义了一个模糊集合 A，或者叫定义在论域 X={x}上的模糊
子集
~
A
。对于有限个对象 x
1
，x
2
，……，x
n
模糊集合
~
A
可以表示为：
}|)),({(
~
XxxxA
iiiA
��
�
(6.1)
有了模糊集合的概念，一个元素隶属于模糊集合就不是硬性的了，在聚类的问题中，可
以把聚类生成的簇看成模糊集合，因此，每个样本点隶属于簇的隶属度就是[0，1]区间里面
的值。
6.1.2 K 均值聚类算法(HCM)介绍
K 均值聚类，即众所周知的 C 均值聚类，已经应用到各种领域。它的核心思想如下：
算法把 n 个向量 x
j
(1,2…,n)分为 c 个组 G
i
(i=1,2,…,c)，并求每组的聚类中心，使得非相似性
（或距离）指标的价值函数（或目标函数）达到最小。当选择欧几里德距离为组 j 中向量 x
k
与相应聚类中心 c
i
间的非相似性指标时，价值函数可定义为：
� ��
� ��
���
c
i Gixk
ik
c
i
k
cxJiJ
1 ,
2
1
)||||(
(6.2)
这里
� �
� �
��
c
i Gixk
ik
k
cxJi
1 ,
2
)||||(
是组 i 内的价值函数。这样 J
i
的值依赖于 G
i
的几何特性和 c
i
的位置。
一般来说，可用一个通用距离函数 d(x
k
,c
i
)代替组 I 中的向量 x
k
，则相应的总价值函数可
表示为：
� � �
� � �
���
c
i
c
i Gixk
ik
k
cxJiJ
1 1 ,
))d((
(6.3)
为简单起见，这里用欧几里德距离作为向量的非相似性指标，且总的价值函数表示为
（6.2）式。
划分过的组一般用一个 c×n 的二维隶属矩阵 U 来定义。如果第 j 个数据点 x
j
属于组 i，
则 U 中的元素 u
ij
为 1；否则，该元素取 0。一旦确定聚类中心 ci，可导出如下使式（6.2）
最小 u
ij
：
�
�
�
�
�
����
�
其它
，如果对每个
0
,1
22
kjij
ij
cxcxik
u
(6.4)
