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元胞自动机与 MATLAB

引言

元胞自动机（CA）是一种用来仿真局部规则和局部联系的方法。典型的元

胞自动机是定义在网格上的，每一个点上的网格代表一个元胞与一种有限的状

态。变化规则适用于每一个元胞并且同时进行。典型的变化规则，决定于元胞的

状态，以及其（ 4或 8 ）邻居的状态。元胞自动机已被应用于物理模拟，生物

模拟等领域。本文就一些有趣的规则，考虑如何编写有效的 MATLAB 的程序来

实现这些元胞自动机。

MATLAB 的编程考虑

元胞自动机需要考虑到下列因素，下面分别说明如何用 MATLAB 实现这些部分。

并以 Conway 的生命游戏机的程序为例，说明怎样实现一个元胞自动机。

z 矩阵和图像可以相互转化，所以矩阵的显示是可以真接实现的。如果矩阵

cells 的所有元素只包含两种状态且矩阵 Z 含有零，那么用 image 函数来显示

cat 命令建的 RGB 图像，并且能够返回句柄。

imh = image(cat(3,cells,z,z));

set(imh, 'erasemode', 'none')

axis equal

axis tight

z 矩阵和图像可以相互转化，所以初始条件可以是矩阵，也可以是图形。以下

代码生成一个零矩阵，初始化元胞状态为零，然后使得中心十字形的元胞状

态= 1。

z = zeros(n,n);

cells = z;

cells(n/2,.25*n:.75*n) = 1;

cells(.25*n:.75*n,n/2) = 1;

z Matlab 的代码应尽量简洁以减小运算量。以下程序计算了最近邻居总和，并

按照 CA 规则进行了计算。本段 Matlab 代码非常灵活的表示了相邻邻居。

x = 2:n-1;

y = 2:n-1;

sum(x,y) = cells(x,y-1) + cells(x,y+1) + ...

cells(x-1, y) + cells(x+1,y) + ...

cells(x-1,y-1) + cells(x-1,y+1) + ...

cells(x+1,y-1) + cells(x+1,y+1);

cells = (sum==3) | (sum==2 & cells);

加入一个简单的图形用户界面是很容易的。在下面这个例子中，应用了三个

按钮和一个文本框。三个按钮，作用分别是运行，停止，程序退出按钮。文

框是用来显示的仿真运算的次数。

%build the GUI

%define the plot button

plotbutton=uicontrol('style','pushbutton',...

'string','Run', ...

'fontsize',12, ...

'position',[100,400,50,20], ...

'callback', 'run=1;');

%define the stop button

erasebutton=uicontrol('style','pushbutton',...

'string','Stop', ...

'fontsize',12, ...

'position',[200,400,50,20], ...

'callback','freeze=1;');

%define the Quit button

quitbutton=uicontrol('style','pushbutton',...

'string','Quit', ...

'fontsize',12, ...

'position',[300,400,50,20], ...

'callback','stop=1;close;');

number = uicontrol('style','text', ...

'string','1', ...

'fontsize',12, ...

'position',[20,400,50,20]);

经过对控件（和 CA）初始化，程序进入一个循环，该循环测试由回调函数的每

个按钮控制的变量。刚开始运行时，只在嵌套的 while 循环和 if 语句中运行。

直到退出按钮按下时，循环停止。另外两个按钮按下时执行相应的 if 语句。

stop= 0; %wait for a quit button push

run = 0; %wait for a draw

freeze = 0; %wait for a freeze

while (stop==0)

if (run==1)

%nearest neighbor sum

sum(x,y) = cells(x,y-1) + cells(x,y+1) + ...

cells(x-1, y) + cells(x+1,y) + ...

cells(x-1,y-1) + cells(x-1,y+1) + ...

cells(3:n,y-1) + cells(x+1,y+1);

% The CA rule

cells = (sum==3) | (sum==2 & cells);

%draw the new image

set(imh, 'cdata', cat(3,cells,z,z) )

%update the step number diaplay

stepnumber = 1 + str2num(get(number,'string'));

set(number,'string',num2str(stepnumber))

end

if (freeze==1)

run = 0;

freeze = 0;

end

drawnow %need this in the loop for controls to work

end

例子

1 .Conway 的生命游戏机。

规则是：

¾ 对周围的 8 个近邻的元胞状态求和

¾ 如果总和为 2的话，则下一时刻的状态不改变

¾ 如果总和为 3 ，则下一时刻的状态为 1

¾ 否则状态= 0

核心代码：

x = 2:n-1;

y = 2:n-1;

%nearest neighbor sum

sum(x,y) = cells(x,y-1) + cells(x,y+1) + ...

cells(x-1, y) + cells(x+1,y) + ...

cells(x-1,y-1) + cells(x-1,y+1) + ...

cells(3:n,y-1) + cells(x+1,y+1);

% The CA rule

cells = (sum==3) | (sum==2 & cells);

2 .表面张力

规则是：

¾ 对周围的 8 近邻的元胞以及自身的状态求和

¾ 如果总和< 4 或= 5 ，下一时刻的状态= 0

¾ 否则状态= 1

核心代码：

x = 2:n-1;

y = 2:n-1;

%nearest neighbor sum

sum(x,y) = cells(x,y-1) + cells(x,y+1) + ...

cells(x-1, y) + cells(x+1,y) + ...

cells(x-1,y-1) + cells(x-1,y+1) + ...

cells(3:n,y-1) + cells(x+1,y+1)+...

cells(x,y);

% The CA rule

cells = ~((sum< 4) | (sum==5));

3 .渗流集群

规则：

¾ 对周围相邻的 8 邻居求和（元胞只有两种状态，0 或 1 ）。元胞也有一个单

独的状态参量（所谓'记录' ）记录它们之前是否有非零状态的邻居。

¾ 在 0与 1 之间产生一个随机数 r 。

¾ 如果总和> 0 （至少一个邻居）并且 r >阈值，或者元胞从未有过一个邻居，

则元胞= 1 。

¾ 如果总和> 0 则设置"记录"的标志，记录这些元胞有一个非零的邻居。

核心代码：

sum(2:a-1,2:b-1) = cells(2:a-1,1:b-2) + cells(2:a-1,3:b) + ...

cells(1:a-2, 2:b-1) + cells(3:a,2:b-1) + ...

cells(1:a-2,1:b-2) + cells(1:a-2,3:b) + ...

cells(3:a,1:b-2) + cells(3:a,3:b);

pick = rand(a,b);

cells = cells | ((sum>=1) & (pick>=threshold) & (visit==0)) ;

visit = (sum>=1) ;

变量 a 和 b 是图像的尺寸。最初的图形是由图形操作决定的。以下程序设定坐标

系为一个固定的尺寸，在坐标系里写入文本，然后获得并返回坐标内的内容，并

用 getframe 函数把它们写入一个矩阵

ax = axes('units','pixels','position',[1 1 500 400],'color','k');

text('units', 'pixels', 'position', [130,255,0],...

'string','MCM','color','w','fontname','helvetica','fontsize',100)

text('units', 'pixels', 'position', [10,120,0],...

'string','Cellular Automata','color','w','fontname','helvetica','fontsize',50)

initial = getframe(gca);

[a,b,c]=size(initial.cdata);

z=zeros(a,b);

cells = double(initial.cdata(:,:,1)==255);

visit = z ;

sum = z;

经过几十个时间间隔（从 MCM Cellular Automata 这个图像开始），我们可以得

到以下的图像。

4 .激发介质（ BZ reaction or heart）

规则：

¾ 元胞有 10 个不同的状态。状态 0 是体眠。1-5 为活跃状态，、6-9 为是极活跃

状态。

¾ 计算每一个处于活跃的状态的元胞近邻的 8 个元胞。

¾ 如果和大于或等于 3 （至少有三个活跃的邻居），则下一时刻该元胞= 1 。

¾ 不需要其它输入，1 至 9 种状态依次出现。如果该时刻状态= 1 那么下一时刻

状态= 2 。如果该时刻状态= 2 ，然后下一时刻状态= 3 ，对于其它的状态

依次类推，直到第 9 种状态。如果状态= 9 ，然后下一状态= 0 并且元胞回

到休息状态。

核心代码：

x = [2:n-1];

y = [2:n-1];

sum(x,y) = ((cells(x,y-1)> 0)&(cells(x,y-1)< t)) + ((cells(x,y+1)> 0)&(cells(x,y+1)< t)) + ...

((cells(x-1, y)> 0)&(cells(x-1, y)< t)) + ((cells(x+1,y)> 0)&(cells(x+1,y)< t)) + ...

((cells(x-1,y-1)> 0)&(cells(x-1,y-1)< t)) + ((cells(x-1,y+1)> 0)&(cells(x-1,y+1)< t)) + ...

((cells(x+1,y-1)> 0)&(cells(x+1,y-1)< t)) + ((cells(x+1,y+1)> 0)&(cells(x+1,y+1)< t));

cells = ((cells==0) & (sum>=t1)) + ...

2*(cells==1) + ...

3*(cells==2) + ...

4*(cells==3) + ...

5*(cells==4) + ...

6*(cells==5) +...

7*(cells==6) +...

8*(cells==7) +...

9*(cells==8) +...

0*(cells==9);

一个 CA 初始图形经过螺旋的变化，得到下图。

5 .森林火灾

规则：

¾ 元胞有 3 个不同的状态。状态为 0是空位，状态= 1 是燃烧着的树木，状态

= 2 是树木。

¾ 如果 4 个邻居中有一个或一个以上的是燃烧着的并且自身是树木（状态为

2 ），那么该元胞下一时刻的状态是燃烧（状态为 1 ）。

¾ 森林元胞（状态为 2 ）以一个低概率（例如 0.000005 ）开始烧（因为闪电）。

¾ 一个燃烧着的元胞（状态为 1 ）在下一时时刻变成空位的（状态为 0 ）。

¾ 空元胞以一个低概率（例如 0.01 ）变为森林以模拟生长。

¾ 出于矩阵边界连接的考虑，如果左边界开始着火，火势将向右蔓延，右边界

同理。同样适用于顶部和底部。

核心代码：

sum = (veg(1:n,[n 1:n-1])==1) + (veg(1:n,[2:n 1])==1) + ...

(veg([n 1:n-1], 1:n)==1) + (veg([2:n 1],1:n)==1) ;

veg = ...

2*(veg==2) - ((veg==2) & (sum> 0 | (rand(n,n)< Plightning))) + ...

2*((veg==0) & rand(n,n)< Pgrowth) ;

注意环形连接是由序标实现的。

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