模式识别(第二版)习题解答
• 2.16 证明M ahalanobis距离r符合距离定义三定理，即
– (1) r(a, b) = r(b, a)
– (2) 当且仅当a = b时，r(a, b) = 0
– (3) r(a, c) ≤ r(a, b) + r(b, c)
证明：
(1) r(a, b) = (a − b)
T
Σ
−1
(a − b) = (b − a)
T
Σ
−1
(b − a) = r(b, a)
(2) Σ为半正定矩阵所以r(a, b) = (a −b)
T
Σ
−1
(a −b) ≥ 0，只有当a = b时，才有r(a, b) =
0。
(3) Σ
−1
可对角化，Σ
−1
= P ΛP
T
• 2.17 若将Σ
−1
矩阵写为：Σ
−1
=
h
11
h
12
··· h
1d
h
12
h
22
··· h
2d
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
h
1d
h
2d
··· h
dd
，证明Mahalanobis距离平方为
γ
2
=
d
i=1
d
j=1
h
ij
(x
i
− u
i
)(x
j
− u
j
)
证明：
γ
2
= (x − u)
T
h
11
h
12
··· h
1d
h
12
h
22
··· h
2d
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
h
1d
h
2d
··· h
dd
(x − u)
=
d
i=1
d
j=1
h
ij
(x
i
− u
i
)(x
j
− u
j
)
• 2.18 分别对于d = 2, d = 3证明对应与Mahalanobis距离γ的超椭球体积是V = V
d
|Σ|
1
2
γ
d
• 2.19 假定x和m是两个随机变量，并设在给定m时，x的条件密度为
p(x|m) = (2π)
1
2
σ
−1
exp
−
1
2
(x − m)
2
/σ
2
再假设m的边缘分布是正态分布，期望值是m
0
，方差是σ
2
m
，证明
p(m|x) =
(σ
3
+ σ
m
)
1
2
(2π)
1
2
σσ
m
exp
−
1
2
σ
2
+ σ
2
m
σ
2
σ
2
m
m −
σ
2
m
x + m
0
σ
2
σ
2
+ σ
2
m
2
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