数字图像处理第七章沃尔什哈达玛变换.pdf

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沃尔什哈达玛变换算法说明,来源于数字图像处理第七章ppt资源
753沃尔什函数( Walsh) 沃尔什函数有三种不同的函数定义,但都可由拉德 梅克函数构成。 (1)按沃尔什排列的沃尔什函数 Wl(,)=I[R(k+1,1)g( 其中,R(k+1,+)是任意拉德梅克函数,g()是的格雷码, g(是此格雷码的第位数。P为正整g()∈0 物 例:当p=3时,对前8个Wal(i,t)取样,则: wal,(0.t)=1 {1,1,1,1,1,1,1,1} wal(1,t)=R(1,t) {1,1,1,1,1,-11,-1} wal(2,t)=R(1,t)R(2,t) Wal(3,t)=R(2,t) {1,1,1,1,1,1,1,1} Wal(4t)=R(2,t)R(34)-1,11,1,1,1,1,1 wal(5,t)=R(1R(2,)R(3,t)-—{1-1,-1,1,-1,1,1,1 Wall(6, t=R(l, t)R(, t) {1,-1,1,1,1,1,-1,1} Wal(7,=R(3,t) {1,1,1,1,1,1,1,-1} 1-1-1-1-111 l1-1-1 Hw= -1-111 取样后得到的按沃尔什排列的沃尔什函数矩阵 (2)按佩利( Paley)排列的沃尔什函数 l(,)=I[R(k+1,)4 其中,R(k+1,t是任意拉德梅克函数,1是自然二进制码 的第k位数。P为正整数 ∈1 例:当p=3时,对前8个Walp(i,t)取样,则: Walp(0, t)=1 {1,1,1,1,1,1,1,1} Walp(l, t=R(l, t) {1,1,1,1,1,1,-1,1} wap(2,)=R(2t) 1,1,l,-1,1,1,1,l} Walp(3, t=R(l, t)R(2, t) {1,1,-1,1,1,1,1,1} Walp(4, t)=R(3, t) {1,-1,1,”-1,1,-1,1,-1} Walp(5, t)=R(l, tR(3, t) {1,-1,1,1,1,1,-1,1} Walp(6, t)=R(2, t)R(3, t) {1,-1,1,1,1,-1,1,1} walp(7,)=R(1,t)R(2,t)R(3,t)——{1,1,1,1,-1,1,1,-1} 1111-1-1-1-1 11-1-111-1-1 H 11-1 11-111-1 取样后得到的按佩利排列的沃尔什函数矩阵 (3)按哈达玛( Hadamard)排列的沃尔什函数 lk wae(,t)=IⅠ[R(k+1,1) k-0 其中,R(k+1,t)是任意拉德梅克函数,<>是倒序的二进 制码的第k位数。P为正整数,()∈a 例:当p=3时,对前8个Wan(取样,则: Waln(0,)=1 Walh(l, t)=R(3, t) {1,-1,1,1,1,1,1,1} wal(2,f)=R(2,t) {1,1,-1,-1,1,1,1,1} Waln(3,t)=R(2,4)R(3,t) -{1,1,1,1,1,-1,1,1} WalH(4, t)=R(l, t {1,1,1,1,-1,1,1,1} alr(5,)=R(1,t)R(3,) {1,1,1,1,-1,1,-1,1} Wal(6)=R(1,t)R(2, wal(7,t)=R(1,t)R(2,t)R(3,t)-{1,1,1,1,1,1,1,1} l! l:11-1}-111:11-1 H ! 1-111-1:111-1 取样后得到的按哈达玛排列的沃尔什函数矩阵 2阶哈达玛矩阵有如下形式 H1=[l H H2-H2」11-1-1 1-11 HH Hx=H,n=H,②Hn1 H H 3H-1 H-H 2 可见,哈达玛矩阵的最大优点在于它具有简单的递推关 系,即高阶矩阵可用两个低阶矩阵的克罗内克积 ( Kronecker product)求得。因此常采用哈达玛排列定义的 沃尔什变换。 754离散沃尔什一哈达玛变换(DWHT) 一维离散沃尔什变换定义为 W()=,∑f(x)Wlb(,x) 一维离散沃尔什逆变换定义为 f(x)=∑W()Wal(a,x) =0 W(0 f(0) W(1) IHN N W(N-1 f(N-1) 和 f(0) W(0) W(I) H f(N-1) W(N-1 式中,[H]为N阶哈达玛矩阵。 由哈达玛矩阵的特点可知,沃尔什哈达玛变换的本质上是 将离散序列fx)的各项值的符号按一定规律改变后,进行加减运 算,因此,它比采用复数运算的DFT和采用余弦运算的DCT 要简单得多。 例:将一维信号序列(0,0,1,1,0,0,1,1}作W理T变 换及反变换。 W(0 1T01「1/2 W() 1-11-11-11-100 W(2) 1/2 W(3) W(4)811 1-1-1-1-10|0 (5) 11-11|00 W(6) 0 维离散沃尔什变换 很容易将一维WHT的定义推广到二维WHT二维WHT的 正变换核和逆变换核分别为 W(u, v)= ∑∑f(x,y)wab(,x)Ws(,y) MN =o 和 f(,y)=∑∑W(,wal(a,x)Ws(,y) 式巾:x,=0,1,2,…,M-1;y,v=0,1,2,…,N-1 例:二维离散沃尔什变换的矩阵形式表达式为 「1111 l331 和 l331 1111 l331 1111 求这两个信号的二维WHT。 M=N=4,其二维WIT变换核为 H 所以 W 333 11 20)0 0000 000 0000 4 l1l1 l11 1-1-1 1000 0000 0000 000 344.3称 温把这 满!∵∵…∷,: 二 二维WHT结果 (a)原图像(b)WH结果 从以上例子可看出,二维WHT具有能量集中的特性,而 且原始数据中数字越是均匀分布,经变换后的数据越集中于矩 阵的边角上。因此,二维WHT可用于压缩图像信息。 755快速沃尔什变换( FWHT) 类似于FFT,WHT也有快速算法FWHT,也可将输入序列 f(x)按奇偶进行分组,分别进行WHT。FWHT的基本关系为 W(u)=-[W(u)+W(u)] W(u+-)=[W(u)-Wn(u) 以8阶沃尔什一哈达玛变换为例,说明其快速算法。 H H,0 HH Hf=H2②8H1= H2-H2001 H1-H」0H4-00HH 00H2-H2 H200022001 0H,00 l20041 0H、0 000H,00 IGoIIGiLG]

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