1、问题介绍：
在车辆路径问题中，要求由一个车队承担将货物从一个仓库运输到其他预先指定的客户点上的任务。其中，车队的车辆都是同质的，且都只能从仓库出发，服务完客户点后，返回仓库。每个客户点也只能被一辆车访问一次。决策对象是车辆的行驶路线，每辆车在不同的路线上的行驶成本不同。最终的目标是要使得完成这个任务的车队的总成本最小。
2、解决方法：
构建数学模型，目标是最小化所有车辆的行驶距离。用python和gurobi搭建模型，最终得到所有车辆行驶距离最小的线路。
### 用Python与Gurobi解决车辆路径问题
#### 一、问题背景及定义
**车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）**是物流管理领域中的一个经典问题，主要研究如何分配一组同质车辆从仓库出发去服务一系列客户点，并在服务完成后返回仓库的问题。在VRP中，每辆车只能服务部分客户点，并且每辆车的服务顺序决定了其行驶路径的成本，最终目标是找到一条或多条路径使得所有车辆完成任务所需的总成本最小。
具体而言，在本问题设定中：
- **车队**：所有车辆相同且只能从仓库出发并返回仓库。
- **客户点**：需被服务的地点，每个点只能被一辆车访问一次。
- **行驶成本**：每辆车在不同路径上的成本差异，目标是最小化所有车辆的行驶总成本。
#### 二、模型构建
为了构建有效的数学模型来解决VRP问题，我们需要定义以下变量和参数：
- **参数**：
- `n`：客户点的数量。
- `N`：客户点集合，不包含仓库。
- `V`：所有地点集合，包含仓库和客户点。
- `A`：所有可能的行驶路径集合。
- `c_ij`：从地点i到地点j的行驶成本。
- `Q`：车辆的最大容量。
- `q_i`：第i个客户点的需求量。
- **决策变量**：
- `x_ij`：若车辆从地点i行驶至地点j，则`x_ij = 1`；否则为0。
- `u_i`：车辆到达地点i时的剩余容量。
**目标函数**：
\[ \text{minimize} \sum_{(i, j) \in A} c_{ij} x_{ij} \]
即最小化所有车辆的行驶总成本。
**约束条件**：
1. **每客户点仅被访问一次**：从任意客户点出发，必须且仅能选择一条路径。
\[ \sum_{j \in V \setminus \{0\}} x_{ij} = 1 \quad \forall i \in N \]
2. **每客户点仅被到达一次**：到任意客户点的路径也必须且仅能有一条。
\[ \sum_{i \in V \setminus \{0\}} x_{ij} = 1 \quad \forall j \in N \]
3. **容量约束**：如果车辆从i行驶至j，则j点处的剩余容量应等于i点的剩余容量减去i点的需求量。
\[ u_j = u_i - q_i \quad \forall (i, j) \in A, i, j \neq 0 \]
4. **容量限制**：所有客户点处的剩余容量必须满足最小需求量且不超过最大容量。
\[ q_i \leq u_i \leq Q \quad \forall i \in N \]
#### 三、代码实现
以下是基于Python和Gurobi实现VRP解决方案的示例代码：
```python
import math
import random
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
import gurobipy as gb
# 设置中文显示
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
def calculate_distance(coordinates):
# 计算用戶间的距离
dis_matrix = {}
for i in range(len(coordinates)):
xi, yi = coordinates[i][0], coordinates[i][1]
for j in range(len(coordinates)):
xj, yj = coordinates[j][0], coordinates[j][1]
if i != j:
dis_matrix[i, j] = round(math.sqrt((xi - xj) ** 2 + (yi - yj) ** 2), 2)
return dis_matrix
def draw_path(x, Customer):
# 画路径图
xc = []
yc = []
for c in Customer:
xc.append(c[0])
yc.append(c[1])
line = []
for r in x:
if x[r].X == 1:
line.append(r)
plt.plot([Customer[r[0]][0], Customer[r[1]][0]],
[Customer[r[0]][1], Customer[r[1]][1]], c='r')
print(line)
plt.scatter(xc, yc, c='b')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
def main():
# 车辆参数
vehicle_capacity = 100 # 车辆最大容量
max_distance = 250 # 车辆最大行驶距离
C1 = 1 # 车辆单位距离行驶成本
# 读入数据：用户坐标，用户需求
customer_position = [(50, 50), (96, 24), (40, 5), (49, 8), (13, 7), (29, 89), (48, 30), (84, 39), (14, 47), (2, 24), (3, 82),
(65, 10), (98, 52), (84, 25), (41, 69), (1, 65),
(51, 71), (75, 83), (29, 32), (83, 3), (50, 93), (80, 94), (5, 42), (62, ...]
# 客户点数量
n = len(customer_position)
# 地点集合
V = set(range(n + 1))
N = V - {0}
# 路径集合
A = [(i, j) for i in V for j in V if i != j]
# 需求量（此处假设为随机生成）
q = {i: random.randint(1, 50) for i in N}
# 创建模型
model = gb.Model("VRP")
# 决策变量
x = model.addVars(A, vtype=gb.GRB.BINARY, name="x")
# 目标函数
model.setObjective(gb.quicksum(calculate_distance(customer_position)[i, j] * x[i, j] for i, j in A), gb.GRB.MINIMIZE)
# 约束条件
model.addConstrs((gb.quicksum(x[i, j] for j in V if j != i) == 1 for i in N), "From_i")
model.addConstrs((gb.quicksum(x[i, j] for i in V if i != j) == 1 for j in N), "To_j")
# 容量约束
u = model.addVars(V, lb=0, ub=vehicle_capacity, vtype=gb.GRB.CONTINUOUS, name="u")
model.addConstrs((u[j] == u[i] - q[i] for i, j in A if i in N and j in N), "Capacity")
# 容量限制
model.addConstrs((q[i] <= u[i] for i in N), "Demand")
model.addConstrs((u[i] <= vehicle_capacity for i in V), "Max_Capacity")
# 求解
model.optimize()
# 输出结果
print("Optimal value:", model.objVal)
if model.status == gb.GRB.OPTIMAL:
x_solution = model.getAttr('x', x)
edges = gb.tuplelist((i, j) for i, j in A if x_solution[i, j] > 0.5)
draw_path(edges, customer_position)
if __name__ == '__main__':
main()
```
此代码首先通过`calculate_distance`函数计算了所有客户点之间的距离，并使用Gurobi优化包创建了一个模型来构建VRP问题。接着，通过定义决策变量`x`和`u`以及相关的约束条件来构建目标函数。通过调用模型的`optimize`方法求解最优解，并通过`draw_path`函数可视化结果。
以上实现涵盖了问题建模、求解以及结果分析的完整流程，可以作为解决实际VRP问题的有效参考。
