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LDPC码译码算法研究，胡维钢，赵振纲，摘要：本文首先简要介绍了LDPC码和其二分图表示方法，接着对BP（Belief Propagation）概率译码算法的主要公式进行了推导，然后利用二分图
山国武技文在线式后半部分即为在已知与的条件下,与相关的所有校验方程都得到满足的概率。式前半部分容易计算,对高斯噪声而言,有 T O 对相互独立的比特码元,式后半部分可以做如下变换为上式中代表与相关的所有校验方程的集合, 即为与相关的第个校验方程得到满足的概率。如果则等效为第个校验方程中除开外的其他所有位中含个数为偶数的概率(实际是保证校验方程嫫二和为):如果等效为第个校验方程中除开外的其他所有位中含个数为奇数的概率。据此下面推导具体衣示式首先做一个简单推导,假设两个比特位和满足校验约束方程d 设和今和。那么校验约東方程得到满足的概率可以写为: 做简单变换后得到士如果令为比特序列相应位为的概率,令序列的模二和为=④⊕,则推导可得即 +∏ 类似的有: 利用式我们可得到的表小式: 上式中表示在接收序列已知情况下,参与第个校验约束的比特位为的山国武技文在线概率。注意此处的概率表示位的初始概率,不含参与校验约束后传递的概率信息表示除位外其他所有参与第个校验方程的序列的集合。式右端连乘时要排除第位概率的原因是我们这里所求的概率是在除开外后,其他所有位中含个数为奇数或偶数的概率。将、式代入式,我们可以得到每个比特的后验概率表达式类似可得: ∏ 有了单个比特的译码算汯,算法实质上就是在此基础上展开的迭代运算过程,为了清楚地了解算法的物理意义和迭代过程,下面我们结合二分图进行分析。算法的物理意义设一段未知数据信息,经编码后成为二进制序列通过高斯信道传输后由于噪声和衰落等的影响,在收端接收到的实际、上是一串实数域上的矢量。而算法译码的实质就是根据接收到的实数矢量计算发送比特序列的后验概率,并根据其所参与的校验约束尽可能准确的对发送序列进行译码。首先我们考虑对单个信息比特的译码过程。在一次迭代译码过程中,可将码校验矩阵所对应的二分图以为根节点展开成树,如下图是展开三层的译码树结构。变量节点x; 与x相邻的校验节点与校验节点相邻的其他变量节点佟变量节点展开的二层译码树图上图中层矩形框为校验节点,代表了根变量节点所参与的校验约束;底层变量节点即代表了与·同参与此校验约束的其他变量节点。译码过程中,对每·个校验节点而言, 就是根据底层各变量节点的后验概率,在不考虑根节点概率信息的情况下,分别计算出在根变量节氐为或的条件下,校验约束得到满足的概率。在整个过程中,译码的概率信息由底层变量节点传递给中层校验节点,再由校验节点传递给根变量节点。设所考虑的校验节点的父变量节点为第个变量节点,参与该校验的变量节点集合山国武技文在线记为则其子变量节点集合记为差集 ,设和分别记为子变量节点的校验和为和的概率,则有卜式:(即式、式) 上式概率信息、和也就是其父变量节点取值为或时,校验约束得到满足的概率由于与计算时没有包含父变量节点的概率信息,故可作为独立信息沿树中边向上发送给根变量节点。根变量节点收到这些以条件概率形式发送的边信息后,可以计算出根节点比特取值分别为或的条件下,该比特所参与的所有校验约束都得到满足的概率。并根据自己的后验概率,重新计算其取值为和的概率设所考察的信息节点所参与的校验方程的集合为,变量节点在给定子校验节点边信息的条件下取值为和的概率记为和则有下式:(即式、式 ∏ 上式中Ⅱ为信息比特取值为时其所有子校验约束得到满足的概率 ∏ 为信息比特取值为时所有子校验约束得到满足的概率。若一次迭代无法对正确译码,则我们可增加迭代次数,对二分图来说就是增加展开树图的层数。其实质是以更多的底层变量节点慨率信息参与计算,为译码提供更多的校验约束信息。如下图所示是以为根节点展开成五层树图结构。山国武技文在线根变量节点x 与x;相邻的校验节点中间变量节点中间变量节点的子校验约束底层变量节点图变量节点展开的五层译码树图如上图所示,在分图中无环时,底层变量节点的概率信息按前述方式进行。中部变量节点可看作由底层变量节点和其子校验约束构成的子树图的根变量节点,仍可按前述方式处理其概率信息;与前不同的是此时计算得到的中间变量节点的译码信息不包含其上层校验节点信息,也不作为该变量节点的判别信息,而是作为译码中间信息继续向上层校验节点传递由上图与图比较可见,当译码树图展开深度增加时,计算概率信息时实际包含了更多的底层变量节点概率信息和校验约束信息,故能增加的译码准确性,当然同时译码复杂度也会随之增加。设所考虑的变量节点为的父校验节点为第个校验节点,它所参与的校验节点的集合记为,那么其参与的子校验节点集合为差集 ,和上类似,可得树中部信息节点的后验概率由此整个运算过程从最底层开始,由底层变量节点将后验概率向上发送,逐级向上,在校验节点按式处理信息,变量节点按处理信息,最后所有信息汇集到根变量节点时按计算根节点比特的概率分布和。若则判为,否则判为有了上述对单个比特进行译码的手段,可将之应用于编码的每一个比特,计算出发送端发送的所有码字比特,并将计算结果代入校验约束方程,若方程得到满足,所得的译码结果就是发送的码宇。否则可增加迭代次数,即加大译码树的深度,以给每个比特的译码提供更多的边信息,重复上述计算,直到所有的校验约束都得到满足,或树的深度人于某一预先指定的值(即设定的译码最人迭代次数)而宣告译码失败。山国利技记文在线算法实现下面我们给出高斯信道下算法的语言伪码,首先定义一些需要用到的变量和函数: σ:信道高斯噪声方差 :校验矩阵的列,即变量节点,也代衣了译码的比特位。校验矩阵的列数。 :校验矩阵的行,即校验节点,代表译码的校验约束校验矩阵的行数。 :编码器翰岀的码元,即发送的第位比特通过高斯信道后接收端收到的加噪码元 a B: 1 i 的归一化系数是一系列事件的集合,其中表示与相关的第个校验方程得到满足。即为与相关的所有校验方程郗得到满足。与变量节点相关的所有校验约束的集合; 为其除开第个校验约束后的差集参与第个校验约束的所有变量节点的集合, 为其除开第个变量节点后的差集。在发送为时,收到信息为的先验概率在发送为时,收到信息为的先验概率 :在接收信息已知,所有校验约束都得到满足时,取值为的概率。在接收信息已知,所有校验约束都得到满足时,取值为的概率。表示在接收序列已知情况下,参与第个校验约束的比特为的概率表示在接收序列已知情况下,参与第个校验约束的比特为的概率取值为时第个校验约束得到满足的概率。取值为时第个校验约束得到满足的概率。算法实现初始化(对高斯信道噪声) 山国武技文在线迭代校验节点更新变量节点更新 (和作为下一次译码的初始值,从而实现迭代过程) 试验译码 B∏ 中止条件(可预先设定最大选代次数) 山国利技记文在线结论本文研究了算法的物理意义,给出了算法的公式推导和语言伪码。算法不论在理论上还是实际中都能够在环境下达到非常接近信道容量的性能,在其迭代过程中,一旦试验详成功就立即中止程序而不需要继续进行固定次数的迭代,这样就能有效地提高算法效率。另外算法还具有的复杂度与码长的成线性关系,在硬件中能够并行实现,没有误码卒下降减速的现象等优势,这些都使得具有算法的码必将在未米具有更加广澜的应用空间。参考文献肖海勇, 码的研究,南京南京邮电大学, 作者简介: 胡维钢,男,年生,硕上究生,主要研究方向是信道编译码、短波高速串行通信系统物理层相关技术赵振纲,男,年牛,教授,主要研究方向是数字信号处理及应用、软件无线电。

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