论文研究-RBF隐式曲面的几何变换 .pdf

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RBF隐式曲面的几何变换,江永全,彭强,基于径向基函数的隐式重建算法能准确、稳定地解决离散点插值问题,逐渐成为计算机图形学中的一个研究热点。对于用径向基函数隐式
山国利技论文在线 o(x-x,p x1y121 4「 0(x-xD)…dx-xb 0000c; (6) 0000 X Y1 可筒记为:/AP ,其中A,=x一x,P 如果 直接将每个点的巫标x和对应的函数值0带入方程(6),则会出现平凡解,解出的A全部 为0。所以需要按照原始点的法矢方向计算附加约束点,正向的附加点函数值为1,反向的 附加控制点函数值为-1,把原始散乱点和附加约東点的函数值冋时代入方程(6)进行求解。 虽然该系统一般情况下都是非正定的,但 Michelli证明了它是可逆的13,解此线性系统可 得径向基函数的组合系数λ(λ1,A2,…,)和多项式系数的值(c1,c2,c3,c4),把求得的杈值 λ和多项式系数c代入公式(3),就得到插值距离函数s(x)e 3.RBF隐式曲面的几何变换 31RBF隐式曲面的平移变换 对于三维平移变换,设变换矩阵为T ,则变换后的中心点为 001 001 飞.+t y+t,。交换后每个点的RBF函数值不变。由于平移变换不改变两点之间的 距离,因此平移变换后的阵A不发生改变。平移变换后欲求的线性系统为: AP‖ (7) 经推导可得 2'=a 其中i=1 (8) 中国科技文在线 根据(8)式可知:对RBF隐式曲面进行平移变换之后,各个中心点的坐标发生了平移,但 系数λ和c1,c2,c3都没有发生改变,只有c4发生了变化。这个规律对紧支撑的RBF隐式 曲面重建也成立 32RBF隐式曲面的旋转变换 对于三维旋转变换,设变换矩阵为R=v,vv,其中R是正交矩阵,满足 RR=I,其中I是单位矩阵。旋转后每个点的RBF函数值不变,每个中心点的坐标变为 uu..X 1x1+y+l2 yi=vx vy v25= vx+yy+v2zi (9) 由于旋转变换不改变两点之间的距离,因此旋转变换后的矩阵A不发生改变。旋转变换后 欲求的线性系统为 (10) P10 经推导可得 2 =A C u Rc2|=c2,其中 因为R是正交矩阵,有R-R,所以 C L2C1+1C2+2C3 =RI v,C+V,catv, c 12) C3 根据(11)和(12)式可知:对RBF隐式曲面进行旋转变换之后,各个中心点的坐标发生 了旋转,但系数A1和c4都没有发牛改变,把系数c1,c2,c3看成一个点的哗标分量,也发生 了相应的旋转。对紧支撑的RBF隐式曲面重建也成立。 33RBF隐式曲面的缩放变换 对于三维缩放变换,设变换矩阵为S/000 q 其中q3≠0,q1≠0,q=≠0。则 00q0 山国科技论文在线 g. x 变换后的中心点为:x=以=Sy|=q,y。缩放变换后欲求的线性系统为 A′P'λ T qx y1 9-21 其中P=q221 。缩放变换要改变两点之间的距离,且缩放之后距离 q2 的变化与点的位置有关。设缩放后的中心点i和j之间的距离是缩放前的h倍(ji),缩放 后的径向基函数的的函数值是原来的er倍(jfi),即 A=0(x-x=0(h en 分两种情况进行讨论,等比例缩放和不等比例缩放。对于等比例缩放,有qx=qn=q2=b q。如果径向基函数选用表1中前4行的任意一个函数,则e;也是常数,设这个常数 为e。例如,径向基函数取少()=时,e=q3=e。对于不等比例缩放,或者径向基函数中 选用表1中后4行的仟意一个函数,则cn与每个点的位置有关,这种情况比较复杂,目前 还没有找到简单的方法进行求解。后文将只讨论等比例缩放的情况,等比例缩放在多数情况 卜都满足。 对于等比例缩放且径向基函数选用表1中前4行的任意一个函数时,有A′=eA, 经推导可得: c2=c2/q,其中i=1,2,…,N (15) C q 根据(15)式可知:对RBF隐式曲面进行等比例缩放变换之后,各个中心点的坐标发生了 等比例缩放,系数A和(1,c2,c3都发生了改变,只有c4没有发生变化。 表2本文算法与文献[5算法的复杂度比较 本文算法 复杂度 文献[5算法 平移 旋转 整体缩放 时间复杂度 O(NlogN) O(1) O(1) O(N) 空间复杂度 O(N O(1) O(1) O(1) 4.总结 本文推导了RBF隐式曲面进行几何变换后的RBF系数和多项式系数变化规律,从而可 以在几何变换之后,直接使用该规律计算RBF系数和多项式系数。与传统算法相比,本文 算法大大减少了运算量。本文算法与文献[5]算法的复杂度比较如表2所示。如果采用文献[5] 国科技让文在线 的算法重新计算RBF系数,其时间复杂度为 O(NlogN,空间复杂度为O(N)。而本文算法 的时间复杂度仅为O(1)或O(N),空间复杂度仅为O()。笔者在 MATLAB下对本文推导的 多个结论进行了验证,实验结果与理论推导完全一致,证明了本文理论的正确性和有效性。 参考文献 [1R. Franke, "Scattered Data Interpolation: Tests of Some Methods, "Mathematics of Computation, vol 38,no 157,1982,pp.181-200 [2]V. V. Savchenko, A. Pasko, O. G. Okuncv, T. L. Kunii, Function Rcprcscntation of Solids Reconstructed from Scattered Surface Points and Contours, "Computer Graphics Forum, vol. 14, no. 4, 1995, pp. 181-188 [3]3. Duchon, "Splincs Minimizing Rotation-Invariant Scmi-NormsInsobolcy Spaccs, Constructivc Thcory of Functions of Several Variables, 1976. pp. 85-100 [4]G Turk, J. O'Brien, "Variational Implicit Surfaces. Technical Report GIT-GVU-99-15, Georgia Institute of Technology, 1998 [5] CARR J C, BEATSON R K, CHERRIE J B, ct al. Reconstruction and reprcscntation of 3D objects with radial basis functions [C !ACM Siggraph 2001. Los Angeles, Springer Press, 2001: 67-76 [6R. K. Beatson, G. Newsam, "Fast Evaluation of Radial Basis Functions, Computational Mathematics and Applications, vol. 24, no. 12, 1992, pp. 7-20 [7R. K. Beatson, W. A. Light, "Fast Evaluation of Radial Basis Functions: Methods for Two-Dimensional Polyharmonic Splines, IMA Journal of Numerical Analysis, voL 17, no 3,1997, pp.343-372 [8L. Greengard, V Rokhlin, "A Fast Algorithm for Particle Simulation, Journal of Computational Physics, vol 73,1987,pp.32 [9]王卫红,秦绪佳.基于紧支径向基函数內插的图像修复算法门.电子与信息学报,2006,28(5):890-894 [10]杜佶,张丽艳,王宏涛,刘胜兰.基于径向基函数的三角网格曲面孔洞修补算法[J计算机辅助设计与 图形学学报,2005,17(9):1976-1982 l!J刘含波,盺,贔文义.RB隐式曲面的离散数据快速重建凵」.光学精密程,2008,16(2):338-344 [12]杨军,诸昌钤.带噪声的点厶数据的隐式曲血更建算法[J.西南交通大学学报,2008,43(1):29-34 [13 MICCHELLI C A. Interpolation of scattered data: distance matrices and conditionally positive definite functions []. Constructive Approximation,1986, 9(2):11-22 Geometric Transformation of RBF Implicit Surface JIANG Yongquan, PENG Qiang, Jim X Chen 1. School of Information Science Technology, Southwest Jiaotong University, Chengdu, PRC (610031) 2 Department of Computer Science, George Mason University, Fairfax, VA, USA(22030) Abstract: For the implicit surface based on radial basis function, after each geometric transformation, if we re-solving linear systems to calculate rbF coefficients it will spend a lot of storage space and computing time. To address this issue, we derived the variation law of rbf coefficients after transformation. The derived result shows that it has very simple rule for translation, rotation and isotropic scaling. The simulation result is fully consistent with the theory Keywords: Radial Basis Function(RBF), Implicit surface, geometric transformation 6

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