一些关于粒子群算法的文献-基于粒子群算法求解多目标优化问题.pdf

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一些关于粒子群算法的文献-基于粒子群算法求解多目标优化问题.pdf 关于粒子群算法的一些期刊论文
1288 计算机研究与发展 2004年 功应用说明了PsO算法的有效性.但是PO算法pBes[i,j相对于 gbest[i]的离散程度决定是取 不能直接应用于多目标优化问题,因为多目标优化 pBest[,]的均值还是在 pBest [,j]中随机选取 问题和单目标优化问题是有本质的区别的:前者一42算法分析 般是一组或几组连续解的集合,而后者只是单个解 因为在PSO算法中每个粒子的行为主要由 或一组连续的解,另外,遗传算法在多目标优化问 gBest和 pBest决定,所以本文的选取方式使得每个 题中的成功应用以及PSO算法和遗传算法的相似粒子向解移动时的行为各不相同:每个粒子都移向 性,说明PSO算法可能是一种处理多目标优化问题解区域中不同的解这样最终整个群体将分散于非 方法.但PSO算法和遗传算法还是有很大的不同:劣最优解集中,避免了收敛于非劣最优解集的局部 在遗传算法中染色体间共享信息,是整个群体逐步区域 gBest的评估选取在避免了所有个体落于某一 移向好的区域,而PSO算法中信息是由最好的粒子目标函数的最优点的同时,更重要是体现了各个目 给出的,其他个体跟着最好粒子快速向一点收敛.标函数同的制约关系,而pBes的选取方式更加强 因此直接用PSO算法处理多目标优化问题,将很容了这一行为 易收敛于非劣最优域的局部区域 如图2为极小化f1(x),f2(x)时某次循环后 基于以上原因,本文提出了最优解评估选取的决策变量空间中情况群体对目标函数f1(x)而言 PSO算法,用于对多目标优化问题的非劣最优解集的最好解为x1(gBet[1]),x2为f2(x)的最好解 的搜索算法在决策变量空间初始化一个粒子群, gBest[2].对应于x1,x2在目标函数空间的目标向 通过多目标优化问题中的各个目标函数来共同指导量为B1,B2(如图1).依据算法对gBet[1], gBest 粒子在决策变量空间中的飞行,使其最终能落入非[2]评估选取得到 gBest,对应的解一定会在x1,x2 劣最优解集中;反映到目标函数空间,粒子将落入非之间,假设为x0(如图2),而在目标函数空间与x0 劣最优目标域如图为极小化f1(x),f2(x)时目对应的目标向量为C.显然C要比B1,B2更接近 标函数空间中情况如果只有目标函数f1(x)或非劣最优目标城,这也说明用x0(gs)更新粒子 f2(x),目标向量A将沿着v或以2方向变化,而算要比用gBr1或gesr2]更好和标准的rO算 法中目标函数f1(x),f2(x)通过决策变量空间的粒法相比,本文是对粒子的全局极值和个体极值的选 子共同指导A的变化,所以A既不沿v1方向变化 取做了改进 也不沿v2方向变化,而是从v1,v2间某一f1(x) F(x) f2(x)不同时增大的方向变化,最终到达非劣最优 (x) 目标域.具体通过下述方式实现:首先,用多目标优 化问题中的各个目标函数,找到每个粒子对应于各 个目标函数的全局极值 gBest[](其中,=1,2,…, n是目标函数的个数)和个体极值 pBest[z,门](其 中,=1,2,…,N是粒子个数).其次,在更新每个 粒子的速度时,用各个 gBest[i的“均值”作为全局 x2 极值 gBest;每个粒子的 pBest[i,j是通过判断 图2决策变量空间 瓜(x)个 4.3算法流程 下面以两目标函数(极小化f(x),f2(x)优化 为例给出算法流程(没有给出对粒子的每个维度的 操作,实际使用时可参考PSO算法的公式进行) B Pareto Front ①初始化粒子群:给定群体规模N,随机产生 每个粒子的位置X速度v; ②用目标函数f1(x),f2(x)分别计算每个粒 子的适应度值; /1(x For i=1 to N 图1目标函数空间 Fs1i]=f1(X[i]); 7期 张利彪等:基于粒子群算法求解多目标优化问题 1289 Fitness[i]=f2(XLi]); 对于PSO算法的参数,本实验中给定学习因子 Next i c1=c2=0.5;惯性权重从0.8线性减小到04;Vmax ③在两个目标函数f1(x),f2(x)下分别对每为搜索空间的宽度测试函数、主要步骤及测试结 个粒子求得个体极值 果如下 For i=1 to n 测试函数1 oBest[l,i]+f(x) min f1 pBest [2,i]+f2(r) min f2=(x-2)2 x∈[-5,7] ④对两个目标函数f1(x),2(x)分别求两个 对于测试函数1,学习因子和惯性权重的取值 全局极值: 如前所述,目标函数分别为f1和f2.由x∈[-5 [1]f1(x); 7]可以确定Vmx=±12.算法首先随机产生100个 gBest[2]+f2(r) 粒子的位置x1和速度V2;其次,以f1和f2作为适 ⑤计算两全局矢量的均值gBos和距离dge:应度函数分别求得在两目标函数下每个粒子的个体 gBest= Average(gBest[1], gBest[2]); 极值pBer[1,订和 pBest L2,订以及两个全局极值 d gBest =Distance(gBest[1], gBest[2]); Bs「1]和 gbest[2];第3,由每个粒子的全局极值 ⑥计算每个粒子pesr1,i]和 pbest[2,i]之和个体极值并根据它们之间的距离关系求得更新每 间的距离 dp Best[i]: 个粒子时所需要的两个极值gBst和 pBest[i].最 For i=l to N 后,根据公式(1)实验循环迭代了100次,100个粒 dpBest[i]=Distance(pBest[1, i] 子中有100是满足条件的解.由得到的100个解绘 pBes:[2, i]) 制的 Pareto曲线如图3所示 Next i ⑦对每个粒子计算更新速度V和位置X1时 4.5 所要用的个体极值pBet[i]: 3.5 or 1= to 2.5 If(dpBestli ]< dgBest 2.0 DBest [i]= Randselect( pBest[1, i] 1.5 [2,i]);/*随机选取 0.5 Els 0.00.51.01.52,02.53.03.54,04.5 pBest[i]=Average(pBest[l,i] f pBer[2,i]);/*评估选取为 图3测试函数1所得Peto曲线 测试函数2 ⑧用⑤⑦所得的gest和 pBest[i]更新每个粒 ifx≤1, 子速度V和位置x; if1<x≤3 ⑨如满足中止条件,退出,否则返回② min fi(x) 4 if3<x≤4, 说明:函数 average()既可以是平均也可以是 按一定比例动态选取 4+x,ix>4, min f2(x)-(x-5) 5实验 x∈[-5,10] 对于测试函数2,学习因子和惯性权重的取值 实验共使了下面4个函数进行测试测试函数如前所述,目标函数分别为f(x)和f2(x)由x∈ 1是 Schaffer 1在文献[2]提出的,大部分多目标优化[-5,10]可以确定vmx=土15.算法的主要步骤同 问題算法都用其做测试以验证算法的有效性.测试测试函数1.算法用100个粒子,根据公式(1迭代 函数2和测试函数3及测试函数4是在文献[14,了100次后,100个粒子中有100是满足条件的解 15]用到的. 由得到的100个解绘制的 Pareto曲线如图4所示 1290 计算机研究与发展 20044 年 1.算法用200个粒子,根据公式(1)实验循环迭代 16 14 了200次,200个粒子中有130是满足条件的解由 12 得到的130个解绘制的 Pareto曲线如图6所示: 8 1.0 0.9 0.8 0.7 1.0-0.50.0 0.5 1.0 0.6 0.5 图4测试函数2所得 Pareto曲线 0.4 0.00.10.20.3040.50.60.7 测试函数3 min f, (c, y)=(x+y) 图6测试函数4所得 Pareto曲线 minf2(x,y)=((x-0.5)2+(y0.5)2)4, 在目标函数空间,非劣最优目标域是适应度值 ∈[-5,10] 区域的边界,也就是有效界面.对实验中的二维最 对于测试函数3,学习因子和惯性权重的取值 小化情况,有效界面应是适应度值的左下边界.从 如前所述,日标函数分别为f1(x,y)和f2(x,y) 实验结果(图3~6)可以看出所有测试函数都准确 由x∈[-5,0]可以确定vmx=±15.算法的主要地给出有效界面对测试函数1和测试函数2(如图 步骤同测试函数1.算法用100个粒子,根据公式3,图4)算法得到了完整的 Pareto曲线,目标向量均 (1)循环迭代了100次,100个粒子中有90个是满 匀准确地分作在有效界面上.对测试函数3和测试 足条件的解.由得到的90个解绘制的 Pareto曲线 函数4(如图5,图6),尤其测试函数4是特别困难 如图5所示 的优化问题,算法给出的 Pareto曲线也是比较准确 的,目标向量分布也比较均匀.在图5和图6中虽 0.9 然有的个体稍偏离有效界面,但对于实际的多目标 优化问题的决策者而言是极具参考价值的.因此,本 文提出的算法对处理多目标优化问题是很有效的 0.5 0.4 总结 0.3 0.2 本文针对多目标优化问题提出的算法和标准 0.40.50.60.70.80.9 sO相比主要是全局极值和个体极值选取方式的 不同.实验证明了其有效性.和文献[14,15]中给出 图5测试函数3所得 Pareto曲线 的结果相比,文中算法工作得很好,对于比较难的问 测试函数4: 题算法也能准确地给出 Pareto曲线的形状并且大 部分个体都能落人非劣最优解集 1 本文主要是进行尝试性的工作,对算法的进 f2 fu min 步改进及解决高维多目标优化问题是我们下一步的 研究重点 g=1+ [0,1],n=30 参考文献 对于测试函数4,学习因子和惯性权重的取值 1 C A Coello Coello. A Comprehensive survey of evolutionary-bas 如前所述,目标函数分别为f1和f2由x∈[0,1 multiobjective optimization, techniques. Knowledge and 可以确定Vm=±1.算法的主要步骤同测试函数 Information Systems, 1999, 1(3): 269-308 7期 张利彪等:基于粒子群算法求解多目标优化问题 129I 2 J D Schaffer. Multiple objective optimization with vector evaluated 2002.603~607 genetic algorithms. The First Int'l Couf ou Gelet ic Algorithms, 13 X Hu, R C Eberhart. Multiobjective optimization using dynamic Lawrence Erlbaum, 1985 neighborhood particle swarm optimization. iEEE Congress on 3 D A V Veldhuizen, G B Lamont. Multiobjective evolutionary Evolutionary Computation ( CEC 2002),Honolulu, Hawaii Igorithin research: A history and analysis. Department of USA,2002 Electrical and Computer Engineering, Graduate School of 14 I. Joanna, A E Eiben. A multi-sexual genetic algorithm for Engineering, Air Force Institute of Technology, Tech Rep TR multiobjective optimization. In: Toshio Fukuda, Takeshi 98-03,1998 Furuhashi eds. The 1996 Int'l Conf on Evolutionary 4 R Eberhart, J Kennedy. A new optimizer using particle swarm omputation, Nagoya, Japan, 1996 theory, In: Proc of the 6th Int l Symposium on Micro Machine 15 E Zitzler, K Deb, L Thiele. Comparison of multiobjective and Human Science. Piscataway, N: IEEE Service Center, evolutionary Empirical results. Evolutionary 1995.39-43 Computation,200,8(2):173-195 5 J Kennedy, R Eberhart. Particle swarm optimization. IEEE Int'I Conf an Neural Networks, Perth, Australia. 1995 张利彪男,1973年生,硕士研究生, 6 K E Parsopoulas, M N Vrahatis. Particle swarm optimizer in 主要研究方向为图像处理、进化计算 noisy and continuously changing environments. In: M H Hamza ed. Artificial Intelligence and Soft Computing. lasted: ACTA s,2001.289~294 7 KE Parsapoulas, MN Vrahatis. Particle swarm optimization method for constrained optimization problems. Euro-Int'I Symp 周春光男,1947年生,教授博土生 on Computational Intelligence 2002, Slovakia, 2002 8 RC Eberhart, X Hu. Hurnan tremor analyis using particle swarm 导师,主要研究方向为计算智能模式识 optimization. IEEE Congress on evolutionary computation (CEc 别、图像处理 1999), Washington, D C, 1999 9 Y Shiand, R Eberhart. A modified particle swarm optimizer IEEE Int'l Conf an Evolutionary Computation, Anchorage Alaska, 1998 马铭男,1969年生,博士研究生 10 H Yoshida, K Kawata, Y Fukuyama, et al. A particle swarm 主要研究方向为进化计算、模糊神经网 optimization for reactive power and voltage control considering vdtage security assessment IEEE Trans an power Systems 2000,15(4):1232~1239 11 C A Coello Coello, M S Lechuga, MOPSO: A proposal for multiple objective particle swarm optimization. IFFF. Congress on Evolutionary Computation CEC 2002),Honolulu, hawai 刘小华女,1971出年,博士研究生, 主要研究方向为图像处理、进化计算 UsA,2002 12 K E Parsopoulos, M N Vrahatis. Particle swarm optimization method in multiobjective problems. In: Proc of the acm symp an Applied Computing 2002(SAC 2002 ). New York: ACM Press,

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