论文研究-连续区间直觉乘法集结算子及其在群决策中的应用.pdf

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基于连续有序加权几何(C-OWG)算子提出了连续区间直觉乘法有序加权几何(C-IVIMOWG)算子,然后基于C-IVIMOWG算子提出新的区间直觉乘法数序关系判断准则。为了集结区间直觉乘法数组,提出了加权连续区间直觉乘法有序加权几何(WC-IVIMOWG)算子,研究了其基本性质,并提出了基于WC-IVIMOWG算子与兼容测度的群决策方法。最后,通过实例分析来说明WC-IVIMOWG算子应用于群决策中的有效性和适用性。
第10期 杨芑,等:连续区间直觉乘法集结算子及其在群决策中的应用 2975· S(a2)分别为a1和a2的记分函数。H(a1)和H(a2)分别p=a0>1,则H4(a)H2,(a)>1,G(a)> 为α1和α2的精确度凼数,则 G,(a)特别地,若pp=/-=1,H1(a)/H,(a)=1 a)若S(a1)<S4(a2),则a1<a2c G1(a)~G2(a)。由此式(3)成立。证毕 h)若S(a1)=S(a2),则:(a)H(c1)<H(a2),则 2.2加权连续区间直觉乘法有序加权几何算子 2;(b)H(a1)=H(a2),则a1~a2 定理2设a1=〈[p,p],σ,σ+])和α,=〈[p, 为了有效集结区间直觉乘法数组,提出加权连续连续区间 P2],[o2,o2)为任意两个区间直觉乘法数,A为BUM的数直觉乘法有序加权几何算子,并研究其基本性质。 定义1设a1(i=1,2,…,n)为组区间直觉乘法数,加 Q的态度特征系数,G为C- IVIMOWG算子。若a1<a2,则 权连续区间直觉乘法有序加权几何( WC-IVIMOWG)算子为映 GA(ax1)<G(a2)。 射H:L→M,且满足 证明若a1<a2,根据定义10可分为以下两种情况予以 讨论: Ho(a1,a2,…,cn)=②=(Cn(a1)) a)S,(a1)<S4(a2),根据定义9 其中:C为CⅤOWG算」,W=(m1,m2,…,mn)为满足 POta)UGo ap)<pGo:a2)oGo: a2) (3)m2∈0,1和∑1=1的权重向量。入为BM函数Q的态度 根据定义8,1(1)=(paan,oa,),G(a2)=特征系数,特别地,记H为B poa),oroa2)由于G(a1)、G1(a2)仍然是直觉乘法数 定理5设a:(i=1,2,…,n)为组区间直觉乘法数,若 PGo( m1) 72) 为 WC-IVIMOWG算子,则 根据定义2,有S(G(ax1))= ,(GA(a2)) 由 HA(a, ae, O GQ(a2) 式(3)易得,s(CA(a1))<s(C(a2)。所以C 2∏1;1(p GA(2) A b)S4(a1)=S(a2)且H(a1)<H1(a2)。根据定义9,其中;pcm=g.(Lp,1),1(=A(,]),G为 PG 2) C-IVIMOWG算子,g4为C-OWG算子。 PGo(a1)UGo a1)<PGo, a2)UGof a2) 定理6设a:(i=1,2,…,n)为组区间直觉乘法数,且 s(GA(a1)=s(G.(a),h(G(a1))<h(G,(a,)),那么a,=a(i=1,2,…,n),若G为 C-IVIMOWG算子,H,为WC G(a1)<G(a2)。证毕。 IVIMOWG算子,则 定理3设a=([p-,p+1,[a-,a+]〉为任一区间直觉 H4(a1,a2,…,an)=G4(a) 乘法数,λ为UM函数Q的态度特征系数,G为C- VIMOWG 证明若a;=a(i=1,2,…,n),则G(a1)=G(a)。易 算子,则(p 得H(a1,a2,…,an)=⑧=(G(a))"=G(a) 证明由于C(a)为直觉乘法数,根据定义2,s(G(a) 证毕 定理7设a1(i=1,2,…,n),a2(i=1,2,…,n)为两组 a)当0<A<1时,易得p/+<(G(a))<p/a 区直觉乘法数,g为C-OWG算子,H为 WG-IVIMOWG算 b)当A=0时,G1(a)-(p-,a+) 子,C为 C-IVIMOWG算子。若gA([p1,p;1)≤gA(p2 c)当A=1时,G4(a)=(p,-) p]),g([ gA、LG,,G H a1n)≤H、( 综上所述,(p,0+)≤G4(x)≤(p,-)。 证明 证 定理4设=〈py,[U,+1)为任一区间直觉乘 a)若gA(p1:,p1])≤BA([p2,n2]),gA([a1,1])≥ 2∏2=1(pe(a1) 法数A为BM函数Q的态度特征系数设A1=50(1),(Oi,0),则m:(2+0)-m:(0m) A2=Q2(y)d且Q1>2,则 2∏2=1( )若p>a/o,则Cn1(a)>C2(a); ∏=1(2+pa2)-∏=1(pc(2) ∏=(1+20c(a1)"-1∏=1(1 b)若p=a/a->1,则G,1(a)>G2(a); c)若p=a+=1,则641(a)~G2(a) 恨据定理5和定义2,易得 证明若Q1>Q2,则有A1>A2。由定理1可得 s(H ax1n))<(HA(a21,a22 G1(a)=((p)=(p+)1,a-)1-(a+) 因此,H(a1,a12,…,a1n)<H4(a2,c2,…,a2) G,(ac)=(p-)12(p+)4,a b)若g(p1,p:)=g([ Bq 进一步,由定理1和定义9可得 (La2n,02),则H4(an1,x12,…,xn)=H( 1(a)=(P-)-(p /( 综上所述,若gQ([p1,P1])≤gp([P2,P2]),o([T1 d1])≥([02,21),则有H(a1,12,…,an)≤H(a21, 因此,S1(a)/S2(a)=(pp)()2。a2,…,am2)。证毕。 a)若p>a+a,则SA1(a)/S2(a)>1,On1(a)> 定理8设a:(i=1,2,…,n)为一组区间直觉乘法数,g1 0b)若pp=/0-,则S1 为COWG算子,H为WC- VIMOWG算子,G为C- VIMOWG c)/S4( 算子,则(G1(a1))m≤H(a1,a2,…,an)≤(C1(a;))m。其 下面考虑精确度函数。首先,根据定理1和定义9 屮:(G(a))-(ming([p,,p,]),maxg,([o,,O,])〉 H1,(a)=(pa-) 1(p+a+)4,HA2(a)=(pT (G4(1))=(maxg(p;p;]),ming([o;,o:])〉。 由此易得B1(a)/Hl2(a)=(p0-)1-2。若 证明根据定理7(单调性),易得 2976 计算机应用研究 第34卷 H, ,an)≤HA((GA(a1)),…,(CA(a1)) TVIMOWG算子以及偏好矩阵兼容测度的多属性群决筼方法。 …,(GA(a,))")≤H4(α1,α2,…,a,) WC- IVIMOWG算∫的作用在丁将专家组给出的偏好矩阵进行 根据定理6(幂等性),可得(C(a:))"≤HA( 集结,以获取综合偏好矩阵。由于不同专家在对比不同方案时 )≤(G1(a1)"c证毕。 所提供的偏好矩阵之间存在着一定的差异,甚至是不合理的。 针对这类情况,将引人可接受兼容测度,通过设定可接受兼容 3区间直觉乘法偏好矩阵的兼容测度 測度的阈值,计算综合矩阵与专家偏好矩阵之间的兼容测度来 判断偏好矩阵的合理性。对于不合理的偏好矩阵,将通过专家 本章将基丁Jmg等人叫提出∫直觉乘法数之间的距离重新提供评价值,直到该偏好矩阵的测度满足可接受非容测 以及 C-IVIFOWG算子提出区间直觉乘法数之间的兼容测度和度。下面给出决策方法的具体步骤 区间直觉乘法偏好矩阵之间的兼容测度。 定义12设ak=(p,O4)(k=1,2)为两个直觉乘法数,称 a)确定专家权重向量=(m1,m2,…,mn),利用WC IVIMOWG算子αn=⑧h(C(a)集结专家组的偏好矩阵 (a,c2)=4则p/+/19+1g为D=(a1),灬(k=1,2,…p),获取综合偏好矩阵D=(an)x b)计算综合矩阵D与偏好矩阵D(k=1,2,…,p)的兼容 a1、a2的标准 Manhattan距离,其+Tk=(P.Ok) (h=1,2)为犹 测度CI(D,D)(k=1,2,…,p)。 豫度。d(c1,a2)满足如下性质:0≤d(a1,c2)≤1 c)确定阈值s,若C(D,D)≥8(k=1,2,…,P),即矩阼间 d(a1,a2)=0当且仅当a1=a2;d(a1,ax2)=d(a2,a1)。 的兼容测度是可以接受的,则进行步骤d);否则,至少存在ke 定义13设a=(p2,)(k=1,2)为两个直觉乘法数,称1,2,…p}使得C(D,D)<。对此通过计算a∈D,a∈ CI(αa1,a2)=1-d(G(α1),C(α2))为α1、α2的兼容测度,其D之间的兼容测度C(a,αxn),进而获得兼容测度较小的偏 中G为 C-TVIFOWG算子,d为标准 Manhattan离。 好值。专家对测度较小的偏好值进行重新评估后重返步骤 易得,CI(a1,a2)满足以下性质:a)0≤CI(a1,a2)≤1;b)a),直到兼容测度满足C/(D,D)≥(k=1,2,…,p),则进人 C/(c1,a2)=1当且仅当α1=2;c)((c1,a2)=C(a2,1) 步骤d) 在群决策问题中,专家通过对比方案(x,x)来获取区间 d)利用MWG算子α=②=(α)(i=1,2,…,n)集结 乘法偏好矩阵H=(an)xn,其中an、a满足Pv=0,Og 综合矩阵中每行的直觉乘法偏好值(an,aa,…,an),获取与 ρa,且α=([1,1],[1,1]〉。因此,根据矩阵上三角元索之间方案x(i=1,2,…,n)对应的综合偏好值a(i=1,2,…,n) 的距离可以定义两个矩阼之问的兼容测度。 c)根据定义2对直觉乘法数组a:(i=1,2,…,n)进行排 定义14设H=(a)(k=1,2)为两个区间直觉乘法序,获取方案x(i=1,2,…,n)的排序结果,选出最优方案。 偏好矩阵,称C'/(H1,H2)= m(n-∑d(G(cn),4.2决策方法的计算复杂性与收敛性分析 G(a)为矩阵H与H2之间的兼容测度,其屮G为CIL 本文提出的决策方法的计算复尔度主要体现在WC-IVI- FOWG算子,d为标准 Manhattan距离。 MOWG算子、兼容测度、IMWG算子的计算过程中。下面将从 根据定义14易得矩阵H、H的兼容测度满足如下性质:以下三方面进行探讨 (H,H2)=1当且仅当H=H2;CI(H,H2)= a)WC- IVIMOWG算子的计算复杂度。WC- IVIMOWG算 C/(H2,H) 子作为 C-IVIFOWG与IMWG算子的结合算子,在集结偏好矩 在实际决策问题中,对丁不同的区间直觉乘法偏好矩阵来阵D=(a)xn(k=1,2,…P)过程中分为两步:(a)通过C 说,兼容测度可以揭示矩阵之间存在的差异,而根据上述性质 IVIFOWG算子(C)将偏好矩阵中含四参数的区间直觉乘法 可得两个矩阵之间的兼容测度只有在所有元素相等的情况下数a转换为直觉乘法数GQ(a),其计算复杂度为4mn2;(b)通 才能等于1。一般情况下,矩阵之间的兼容测度为1是很难达过MWG算子对偏好矩阵(D,D,…,D)中含二参数的直觉 到的,尤其是对于不同专家提供的偏好矩阵而言。厌此,下面乘法数组(a},c2,…,a)进行集结,进而获取综合矩阵D= 将给出矩阵之间可接受兼容测度,其可以用来刻画不同专家之(a)n,因此,计算复杂度为2m2 对于方案偏好的相近程度 b)兼寳测度CI的计算复杂度。决策方法中主要计算 定义15设H“(k=1,2)为两个直觉乘法偏好矩阵,若C(k=1,2,…,n)与综合矩阵D之间的兼容测度,通过4.1节步 (H,H)≥8,则表示H和H的兼容测度可接受。其中骤a)中的 WC-IVIMOWG算子可以获取直觉乘法数G(an) s∈(0,1]为兼容测度的阈值。 (k=1,2,…,p)。根据定义14可得兼容测度的计算复杂度为 4基于 WC-VVIMOWG算子以及兼容测度的决策方法 c)在4.Ⅰ节步骤d)中IMWG算子对综合矩阵D 4.1决策方法 )x中行元素(含二参数的直觉乘法数)进行集结,因此 其计算复杂度为2n2。 在多属性群决策问题中,设专家组为E={e1,e2,…,en 决策方法中的收敛性亡要体现在WC-IⅤIⅥOwG算子中 备法方案集为X=1x,2,…,xn专家针对方案x和x提供根据定理8可得, WC-IVIMOWG算子满足有界性定理,41节 区间直觉乘法偏好信息α={[,P],[σ,σ]〉,其中步骤d)中方案x(i=1,2,…,n)对应的综合偏好值a(z=1 p,p:]表示方案x:优于方案x的程度,[σ,0]表示方案2,…,n)都要满足以下有界性条件 x不优于方案x的程度,且满是[p,p#]=[on,1],[p,(min1…, max{σk)≤a;≤(,max|p},min{}) h=1,2,…,P'k=1,2,…, p]=[o,0n],p,p#]c[1A9,9],[o,c[19,9] p;≤1。专家针对方案x和x提供的区间直觉乘法偏因此,该方法具有良好的收敛性。 好信息获取的对比矩阵记为D=(a)m 4.3实例分析 为了有效、合理也获取最优方案,下面将给出基于WC 某大学将从各学院推荐的优秀教师中选拔岀年度最优教 第10期 杨芑,等:连续区间直觉乘法集结算子及其在群决策中的应用 2977 师,主要考核项目为工作综合表现。参评年度最优教师的共有教师为x4c 四名候选人r;(i=1,2,3,4)。考核专家组由学校选出的四名 教授组成e(i-1,2,3,4)。专家组通过对候选人的评估,提供5结束语 了由区间直觉乘法偏好信息构成的判断矩阵,具体如下 为降低区间直觉乘法信息处理过程中的复杂度及提髙决策 [2,3],[17,1/5])([1,1],[1,1])([15,1/4],3,4}{[1/5,1/4],3,4] 方法的精确度,本文提出连续区间直觉乘法有序加权几何(C [1,2],[14,/3])([3,4],[1/5,14}([1,1],[1,1])〈[1/8,1/6],4,5 [2,3],[1,/4]》([3,4],[1/5,14)([4,5][1/8,1/6]}〈[1,1],[1,1] IVIMOWG)算」。C-ⅥMOWG算子的主要优势在于可以将区 41,1,3}(「1,21 间直觉乘法数转换为直觉乘法数,且融合了决策者的态度。 D2 基于C- VIMOWG算」定义了区间直觉乘法数的新记分 [8,171.[,2])([1,2],[M/,14)([1,n],[1,n]) [1/3,2/5],1,] [1,3],[1/,1]〉([3,4],[1/5,14)〈[1,2],[1/3,25}〈[1,1]1,[1,1] 函数与精确度函数。当决策者的态度特征系数为0.5时,新的 〈1/5,1/」,2,4}《16,15」,1,3.}〈1A,1/3」,2,3」 记分函数与精确度函数退化为定义5的记分函数和精确度函 [2,4],[1/5,1/4])〈[ [1A4,1/3],2,3}〈[16,14],4,5]} 1,31,「1,1/1)《「2,31,「1/4,1/3《「1,11,「1, 〈「1/2,3/51,1,11 数。在多属性群决策问题中,评价信息山一组或多组评价值构 [2,3],[1/4,1/3])([4,5].[1/6.14)〈[1,1],142,3/5)([1,1]1.[1.1] 成,且不同的评价值往往具有异化权重。为了集结区间直觉乘 [1,1].[1.1])([1/6,1/5],3,4)([1,2].[1/5,14}〈[ D4- ([1,1],[1,1]〉 1/4,1/3],1,2)([1/7.1/5],4,5]} 法环境下的评价信息数组,本文提出了加权连续区闰直觉乘法 [1/5,1/41.[1,2]〉《[1,2],[/4,1 有序加权几何(WC- IVIMOWG)算子。针对决策问题中专家提 〈1,2,1/4,13)〈4,5」,1/7,15}(1,1」,1/5,2/5(1,1」,1,1」 应用本文基于wC- IVIMOWG算子的多属性群决策方法的 供的偏好信息存在冲突、不合理等现象,本文基于直觉乘法数 的距离定义了偏好矩阼之间的兼容测度以及可接受的兼容测 具体步骤如下 度。而后,本文提出基于WCⅤ IMOWG算子与兼容测度的多 )确定mM函数0y)=y2,则态度特征A=bQ(y)=属性群决簧方法,兼容测度的意义在于通过确定可接受兼容测 1/3。确定专家权重向量=(0.3,0.2,0.3,0.2)。利用度的阙值来判断偏好矩阵是否合理,其有效地提高了次策方法 WC-IVIMOWG算子获取综合偏好矩阵: 的合理性。最后,该方法应用于高校最优教师评选的案例中, (0.1893,2.3269)(0.3134,1,0141)(0.2462,1.8863) 案例分析表明了本文所提方法的可行性和有效性。 (2.3269,0.1893)( (C.224,2.0460)(0.1956,3.7759 参考文献 (1.0141,0.3134)(2.0460,0.234)(1,1 0.2765,1.696) (1.8863,0.2462)(3.759,0.1956)(1.6966,0.2765)(1,1 [1 Atanassov K T, Rangasamy P. Intuitionistic fuzzy sets J]. Fuzzy b)根据定义,计算综合矩阵D与偏好矩阵D的兼容测度 Sets and Systems, 1986, 20(1): 87-96 /(D,D)(k=1,2,3,4):C/(D,D)=0.8330,C/(D,D2)=「21徐泽水直觉模糊偏好信息下的多属性决策途径「J1杀统工程理 0.8354,C(D,D)=0.8360,C/(DD4)=0.7269。 论与实践,20U7,27(11):62-71 c)确定兼容测度阈值=0.8,由步骤b)可得Cl(D,D4)≥L3」王坚强,张忠,基于直觉楼糊救的信息不完全的多准则规划方法 (k=1,2,3),CI(D,D)<B。因此,专家e提供的偏好矩阵 [J].控制与决策,2008,23(10):1145-1148 D“与综合矩阵D的兼容测度超出可接受的阀值。下面将计算[4陈华友,何东,周礼,字,广义直觉技糊加权交又影响平均算 两个矩阵上三角元素之间的兼容测度C(a,a)(i=1,2,3 29(7) 2,3,4) !(al,c12)=0.9204,C/(a3,a3)=0.6475,Cl(si,a)=0.910615」赵树平,梁昌勇,罗大伟.基于诱导型直觉不确定语言集成算子的 Cr(a3y,a,)=0.8897,Cl(c,a,)=0.9540,C/(a4,cy)=0.8586 应急预案讦佔群决策方法[J].计算杌应用研究,2016,33(3) 726-729 上述兼容测度中C(a1,a13)=0.6475,因此,专家e应对61王昭,范九伦,娄灵,等一种融入局新信息的直觉模湖C均值聚 G重新评估。假设修改成(a13)′=〈[1/5,1/4],[1,2] 类图像分割算法[冂].计算机应用研究,2014,31(9):2864-2866, 则相应的(a1)′={[1,2],[1/5,14]〉。偏好矩阵D“变成 ([1,1],[1,1] ([1/6,1/5],3,4])([1/5,1/4],1,2)〈[1/4.1/3],1.2] [7 Xu Zeshui. Intuitionistic fuzzy aggregation operators [J].IEEE 〈[3,4],[1/6,1/5])([1,1],[1,1] [1/4,1/3] 〈「1门7,1/51,4 〈L1,2」,1/5,1/4〈l1,2」,1/4,3;〈1,1」,L1,1」 ,2/5」,1,1」 Trans on Fuzzy Systems, 2007, 15(6): 1179-1187 [1,2],[14,/3])([45],[1/7,15}([1,1],[15,2/5}〈[1,1],[1,1] [8 Xia Meimei, Xu Zeshui, Liao Huchang. Preference relations based on 然后利用 WC-IVIMOWG算子集结D“(h=1,2,3)与D intuitionistic multiplicative information[J]. IEEE Trans on Fuzzy 获取新的综合偏好矩阵D"": Systems,2013,21(1):113-133 (0.1893,2,3269)(0.221,1.3127)(0.2452,1.8563) [9] Saaly T L. Analytie hierarchy process [M][S1.]: John Wiley 2.3269,0.1893)(1,1) 0.2324,2.0460)(0.1956,3.7759) ons. Ltd. 1980 (1.3127,0.2291)(2.0460,0.2324)(1,1) 0.2765,1.5956) 1.8(63,0.2452)(3.7759,0.1956)(1.0960,0.2765)(1,1) 10 Yager RR. OWA aggregation over a continuous interval argument 接下来计算D“(k=1,2,3),D“与D""的兼容测度:CI with applications to decision making[ J. IEEE Trans on Systems (Dm,D)=0.8355,C(D.D)=0.8380,C(Dm,D)= Man and Cybernetics, 2004, 34 (5): 1952-19(13 08597,C(D,D4)=0.8366。因此,C/(D",D4)≥E(k [11 Yager RR, Xu Zeshui. The continuous ordered weighted geometric 1,2,3),C/(D,D)。兼容测度皆可接受 operator and its application to decision making[ J]. Fuzzy Sets and d)利用IMWG算子集结综合矩阵D的每行元素,进而 Systems,2006,157(10):1393-1402 [12] Yu Dejian, Merigo J M, Zhou Ligang. Interval-valued multiplicative 获取与方案x(i=1,2,3,4)相对应的直觉乘法数组α,(i=1 elation J. International Journal of 2,3,4):1=(0.3101,1.5652),a2=(0.5060,1.3316),a3= Fuzzy Systems,2013,15(4):412-422 (0.6517,0.8576),c4=(1.7647,0.3818)。 [13]钱伟懿,牛琳淋.区间直觉乘沄偏好信息下的多属性决策方法 e)棂据定义2获取a;(i=1,2,3,4)的记分函数值:(a1) [J].计算机工程与应用,2015,51(5):121-125 0.1981,s(a2)=0.3800,s(a3)=1.3159,(a4)=4.6224。 [14 Jiang Yuan, Xu Zeshui, Gao Meng. Methods for ranking intuitionistic 由此可得,运用木文所提出的方法而确定的各候选人 ultiplicative numbers by distance measures in decision making J] x,(i=1,2,3,4)的排序结果为x4>x3>x2>x1。因此年度最优 Computers& Industrial Engineering, 2015, 88(C): 100-109

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