论文研究-基于Groebner基的多维多通道反卷积问题求解 .pdf

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基于Groebner基的多维多通道反卷积问题求解,李卫华,侯晓荣,本文给出了利用Groebner基理论求解多维多通道反卷积问题的新方法。该方法的求解过程 仅倚赖于原滤波器组本身,而不需要估计预先输��
山国科技论文在线 定义1对于一个多项式滤波器组{H1,…,HN},若存在一个多项式滤波器组{G1,…,Ca}满 足基本条件(1),则称共为多项式可逆的 定义2对」一个多项式滤波器组{H1,…,HN},若存在一个FR滤波器组{G1,……GN}满 足基本条件(1,则称其为FR可逆的。 定义3对于一个多项式滤波器组{H1…,HN},若存在一个IR滤波器组{G1,…GN}满 足基木条件(1),则称其为R可逆的 实际上,滤波器组{x…,.M}总是{H2,…,Hx}的IR逆滤波器组,+就是说 任意的滤波器组总是IR可逆的。但这个逆滤波器组是N个单通道滤波器的逆的简单组合, 病态问题仍然存在,应用价值不大。我们希望找到更“好”的逆滤波器组。FIR滤波器组 是比较理想的,也有较多的文献对此进行了讨论,如:[4,7等文献。本文从另个角度出 发,讨论更一般的情形。 假设滤波器组{H1…,HN}有一个IR的逆滤波器组:{,…,},即 ∑H1(z) 则存在一个多项式F及正整数m使得 Hi(z)Gi(z)=F 2=1 成立。换句话说,只要我们能找到合适的F及m,那么我们就找到了合适的逆滤波器。 我们知道F属于理想=<H1,…,HN>的根√,而 Hermann、 Mincs、Ginn等人 给出了计算根理想的算法,具体参见文献[,3,5,6]。利用他们的算法,我们可以首先计 算√T,然后在√中找到我们需要的F。如果√T={1},则我们可以得到一组因果的FR逆 滤波器,即多项式的逆滤波器;如果√中有单项式,则我们可以得剑一组FR逆滤波器 如果前面两种情况都不是,则选取√中次数最低的,我们就可以得到分母最“简单 的IR逆滤波器。另外,根据√,我们还可以判断滤波器组是否存在BIBO稳定的逆滤波器 组。 对于根理想√⑦的成员判定问题,我们还有如下定理 定理1(文献[2],第4章)F属于=<H1,……,HN>的根理想当且仅当{H1,…,HN, cF}的即约 grobner基为{1} 利用这个定理,我们可以通过计算{H,…,HN,1-F}的即约 Grobner某,得到转换 矩阵G1(z;ω),…,GN(z;),GN+1(z;),使得 ∑HG,(z;)+(1-FCN+1(z)= 然后令心-},得到逆滤波器组。这样就避免了条件(5)中m的计算。 综上所述,我们就得到了求解多维多通道逆滤波器组的算法 算法1: 输入:滤波器组{H1,…,HN} 口国科技论文在线 (d) 图1:带有噪声的仿真实验 输出:逆滤波器组G={G1,…,G} 1、H1,…HN同乘一个多项式H(若H1,…,HN都为多项式则取H=1)使得{H1,…,HN}全 为多项式 2、计算<H1,……,HN>的根理想√T 3、√/屮找出我们需要的F(如次数最低的) 4、计算{H1,…,Hy,1-uF}的即约 Grobner基,同时得到转换矩阵: {G1(z:) (z;),GN+1(z;∞)} 4、令 得{G1(z;) (Z )} N(2;F 输出 G={H·G1(z;n,…,H 4仿真实验 本实验中,我们取滤波器组如下: 61/61/61/6 6-6-33 66-3 h1 01/6161/6 6-743 6-723 01/6162 0/H3 2-1 00 /6 00 22 0 根据算法1得到逆滤波器组的x-变换为: 2 (21+421-321 +2z21 +8 +2x1-3212-42+8+52+32)/(821-24+4212+122 3 6, 111022 322+22-722+8-32+62)/(81-24+42+122) 测试的原始图片见图1a),图(b)、图1(c)、图1(d分别为经滤波器H1、H2、H3滤波后且川 入了咼斯噪声的结果,图1(e)为经{G1,G2,G3}反卷积得到的结果,其与原始图象的均方差 为19.2,可见其具有较好的稳定性,复原效果良好。 4 口国科技论文在线 5结论 本文通过对滤波器组的z-变换生成的理想的根的求解,得到了一和求解多通道反卷积 问题的新方法。利用该方法得到的逆滤波器组相对较小。冋时,根据原始滤波器的根理想 的情况,我们还可以判断滤波器组是否是FR可逆的,如果不是,那么还可以进一步判断其 逆滤波器组的稳定性问题。 参考文献 [1 T. Becker and V. Weispfenning. Grobener Bases. Springer-Verlag, New York-Berlin- Heidelberg, 1993 [2 David A. Cox, John Little, and Donal o'Shea. Ideals, varieties, and Algorithms: An Intro duction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, B/e ( Undergraduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag New York, Inc, Secaucus, NJ, USA, 2007 3 D. Eisenbud, C. Huneke, and w. Vasconcelos. Direct methods for primary decomposition lven.Math.110:207-235.1992 [4] E Fornasini and M. E. Valchcr. Multidimensional systcms with finitc support behaviors: Signal structure, generation, and detection. SIAM J. Control Optim, 36(2): 700-779, March 1998 5 P. Gianni, B. Trager, and G. Zacharias. Grobner bases and primary decomposition of polynomial ideals. Journal of symbolic computation, 6(2-3): 149-167, 1988 [6] Hermann. Der frage der endlich vielen schritte in der theorie der polynomideale. Math. Annalen, 95:736-788,1926 [7 Zhou Jianping and Minh n. Do Multidimensional multichannel fir deconvolution using grobner bases. leee Transactions on Image Processing, 15(10): 2998-3007, October 2006 Multidimensional Multichannel Deconvolution Using Grobner bases Li Weihua, Hou Xiaorong Faculty of Science, Ningbo university, Ningbo, Zhejiang Abstract In this paper we present a new method for general multidimensional multichannel deconvo- lution using grobncrbascs This mcthod docs not rcquirc the prior information of the support and only depends on the convolution itself. Furthermore, this method could obtain a set of deconvolution filters with a small number of nonzero coefficients Keywords: deconvolution, Grobnerbases, Nullstellensatz, radical ideal, multichannel image proccssing 5

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