论文研究-准Toeplitz测量矩阵的有限等距性质分析.pdf

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Toeplitz测量矩阵的卷积特性使压缩感知理论在线性时不变系统辨识问题中得到广泛应用。但在信号频率较高的场合往往需要对测量结果进行欠采样,以利用压缩感知理论降低系统对采样频率的要求,这导致测量模型中的测量矩阵变为由Toeplitz矩阵中等间隔抽取若干行组成的子矩阵(准Toeplitz矩阵)。为此讨论了准Toeplitz矩阵作为测量矩阵的可行性。通过理论推导证明了准Toeplitz矩阵的有限等距性质,在仿真中比较了使用准Toeplitz矩阵与其他测量矩阵的重构效果。结果表明,准Toeplitz满足有限等距性质,使用准Toeplitz矩阵的重构效果与其他测量矩阵相近,可以作为压缩感知测量矩阵。
1514 计算机应用研究 第28卷 矩阵G(A′的对角线元素个数与非对角线元素个数相对G(A)矩阵重构同一稀疏向量。图1为重构效果对比。图1所示的 没有发生变化,但与式中相加项的个数变为k/q,因此,将式仿真结果表明,对于不同的稀疏度和不同的测量数情况,使用 (8)(9)中的k替换为k/q可得到结论 准 Toeplitz矩阵作为测量矩阵均可以获得与高斯I测量矩 证毕。 阵、 Toeplitz测量短阵近似的重构效果。 借助以上引理,可以完成准 Toeplitz矩阵的RIP证明 定理对任意δn∈(0,1),存在常数c1和c3(仅由δ决 声黑: 定),使得当k≥c2m2hngn时,准 Toeplitz矩阵A以不小于1 0.8 exp(-c1k/m2)的概率满足m阶RIP。 证明由引理2可得G(A)各 Gersgorin圆盘圆心以不大 0.5 于2eW(、 的概率分布在以(1,0)为圆心、8为半径的圆 Na=120 16 03 uasi-Toeplit/ 外,而各 Gersgorin圆盘半径大于8,/m的概率不大于2nep aGuas lll Toeplitz 。矩阵满足RP要求其格拉姆矩阵的特征值分布在 50100150200250300350400 6 测量数 1附近。由引理1可知,若C(A)各 Gersgorin圆盘圆心分布于 图1重构效果对比 1附近,且圆盘半径为有限值即可满足要求。 假设8=28/3,8=8/3及m≥3,令F表示事件“G(A)4结束语 的所有特征值在(1-8n,1+8)范围内”,则有 木文通过理论推导和仿真实验证明了准 Toeplitz矩阵作 P(F)=P(∪[G1-1|≥81)- 为压缩感知理论中的测量矩阵的可行性。实验表明,压缩感知 P(JU[IG1,|≥-1)≤ 重构时使用淮 toeplitz矩阵可以获得与 Toeplitz测量矩阵和 ID测量矩阵相近的重构效果,从m保证了在采样设备难以逐 16 (10)个采集测量值向量中的元素时,依然可以应用压缩感知理论进 行信号重构。因此,准Tli测量矩阵的使用不仅大大降低 3n2 (11)了测量矩阵构造的复杂度,而且降低了系统对采样率要求,有 162 效地减少了系统硬件的实现成本。 对任意c1<,及k≥ 参考文献: P(F)≤Pxp( )≤3nex (12) DONOHO D Compressed sensing JI. IEEE Trans on Information 则 P(F)≥1-exp(--7) (13) [2] CANDES E Compressive sampling[ C]//Proc of International Con 即任给8∈(0,1)和常数yx4 m log 7,矩阵31 CandES E J, ROMBERG J,TAor. obust uncertainty principle: 54 exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information A以不小于1-exp(-c1kqm)的概率满足m阶RP。 [J. IEEE Trans on Information Theory, 2006, 52(2): 489-509 证毕。 [4]石光明,刘丹华,高大化,等,压缩感知理论及其研究进展[J 子学报,2009,37(5):1070-081 3仿真实验 [5 CANDES E. The restricted isometry property and its implications for ompressed sensing[ J]. Comptes Rendus Mathematique, 2008 为了验证理论结果的正确性,将基于准 Toeplitz矩阵的压 46(910):589-592 缩感知理论应用于稀疏向量重构中,并在同等情况下使用[6] CANDES E, ROMBERG J Sparsity and incoherence in compressive Toeplitz测量矩阵和高斯D测量矩阵进行重构,而后比较重构 sampling[ J]. Inverse Problems, 2007, 23(3): 969-985 效果。 [7 BAJWA W, HAUPT J, RAZ. G, et al. Toeplitz-structired compressed 仿真中采用的稀疏向量总长度为1000点,随机分布的非 sensing matrices[ C]// Proc of the 14 th IEEE/SP Warkshop on Statis 零点个数为N。首先构造维数为300×100的 Toeplitz矩 tical Signal Processing. 2007: 294-298 阵,其元素服从高斯分布,使用准 Toeplitz矩阵对该稀硫间量81 JJ,WANM,,a, andom filters for com pres 进行測量后,使用正交匹配追踪(OMP)算法求解式(4)的 sive sampling and recanstruction[C ]//Proc of IEEE International 最优化问題实现重构。为验证准 Toeplitz矩阵在不同稀疏程 Conference on Acous tics, Speech, and Signal Processing. 2006 [9]张贤达。矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社,2004 度下的测量性能,在N=40、70和120情况下分别进行重构。 如果重构的均方误差小于0.02,则视为重构成功。实验中变10 HAUPT I, BAJWA W,RA2G,ta. berlitz compressed sensing ma prices with applications Lo sparse channel eslinalion[ J]. IEEE Trans 换q的取值,准 Toeplitz矩阵维数即测量数随之在0-400递 on Information Thoory, 2010. 56(11): 5862-5875 增。对于每种测量数重复实验200次,重构成功率为重构成功11 TROPP JA, GUBERT A O. Signal recovery from random mcas 次数与总实验次数之比。为了比较使用准 Toeplitz矩阵的重 ments via orthogonal matching pursuit[J]. IEEE Trans on Informa 构效果,实验中使用相同维数的 toeplitz测量矩阵和ID测量 tion Theory,2007,53(12):4655-4666

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2019-07-22
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