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论文研究-基于有限元分析的平面区域三角网格迭代优化方法 .pdf 评分

基于有限元分析的平面区域三角网格迭代优化方法,李宗领,阎春平,为了提高有限元分析计算结果的准确性,提出一种平面区域有限元三角网格迭代优化算法。该算法首先利用一种基于Loop模式的1-2细分方��
国武技论文在线 http:/www.paper.edu.cn 中的3点 定义自由度:自由度是指一个顶点连接的关联三角形的数目。如图1所示,顶点 的自由度为5。 f 图1三角形的关联关系 Fig. 1 The relationship of triangle 算法描述 确定网格质量评价标准 进行网格优化,首宄需要确定网格质量评价标准。然后用此标准对网格模型中所有三角 形进行评价,区分出不符合有限元分析要求的三角形,并进行优先级高低排序。最后,根据 90优先级高低进行网格优化。在众多网格质量评价标准中,三角形正则性是最常用的评价标准 之一。所谓三角形正则性,它表示三角形接近正三角形的程度。一个三角形越接近正三角 形,则说明该三角形的正则性越好,越是适合有限元分析计算,这就是网格优化的最终目的 刘泗岩等将网格质量评价方法归纳为面积法、边长法、角度法等三类,并在 Hamann'的 基础上,对角度法进行了进一步的论证。本文在网格细分及网格简化过程中采用有限元分析 95计算中常用的边长法来计算三角形正则度,即 2√3 () -2X-2-22) (1) max 式中,()为三角形的正则度, ,为三角形三条边的长度,为 角形的周长。0<()≤1,且当为正三角形时()的值为1,当三角形趋向狭长化 时,()趋近于0 虽然边长法对三角形质量进行了合理的评价,但并不能直观地建立正则度与三角形内角 值的关系。所以,本文在网格几何优化阶段采用角度法来评价三角形质量,即 )=2(cos a+cos B+ cosy-1 (2) 式中,()为三角形的正则度,,B,y为三角形的三个内角。0<()≤1, )越大,表示三角形质量越好。如果为正三角形,则()=1,当任何一个内 105角接近0时,()趋近于0。 算法基本步骤 Stepl.读入初始网格模型’进行网格模型数据结构初始化。一次迭代结束后,如 3 国武技论文在线 http:/www.paper.edu.cn 果网格质量没有达到限元分析要求且没有达到迭代上限,则此次迭代后的网格也为 Step2.在初始网格符合条件的边上进行节点插入,实现对初始网格0的细分。 l10 Step3.建立待折叠边集合,通过边折叠的方式完成网格简化。 Step4.基于角度法对简化后的网格进行几何优化。 Stcp5.如果网格质量符合有限元分析要求或达到迭代上限,则结束迭代;否则转Stp2 构造网格优化算法流程,如图2所示。 初 读入三角网格 始化网格数据结构 对网格细分 对网格简化 据对网格几何优化 符合质量要求 或迭代上限? 完成网格优化 115 图2网格迭代优化算法流稈 Fig. 2 Process of iterative optimization algorithm for mesh 网格细分 般而言,网格细分方法分为2类:插值型细分方法和逼近型细分方法。插值型细分方 120法的代表是蝶形( Butterfly)细分方法、 Kobelt方法等。逼近型细分方法的典型代表是Ioop 细分方法。传统Iop细分方法是在三角片每条边上插入一个新顶点,然后新顶点之间用线 段相连,实现1-4划分,如图3a所示。这种方法属于全局细分,只要有一个三角片不满足 要求,就要对所有的三角片进行1-4划分,必然会产生大量冗余三角片,计算量也会很大。 为了解决这一弊端,本文采用基于Loop模式的1-2细分方法,只对一条边的两个关联三角 125形进行细分,这和局部细化不会向周围传播,如图3b所示。这样,既很好地控制了网格细 分的规模,又减小三角形尺寸,增加网格模型的自由度,为网格拓扑结构优化和几何优化做 好准备。网格细分步骤主要有:计算网格0所有边的长度,并利用式(1)计算每个三角 形的正则度,如果一条边满足以下所有条件,则对其进行标记:1)边长大于用户规定的长 度;2)此边为其关联三角形中最长边;3)关联三角形中至少有一个正则度小于用户规定的 130阈值。对」所有被标记的边,在其中点插入一个新顶点 135 国武技论文在线 http:/www.paper.edu.cn 老顶点O新顶点一老边 新边 a传统Loop细分规则示意图 b1-2细分规则示意图 图3树格细分规则示意图 Fig 3 The schematic diagram of mesh subdivision rules 网格简化 网格简化通过删除一些图元(点、边、片)来达到使局部网格的拓扑结构得刭优化的目 的。这些方法主要包括顶点删除、顶点聚类、边折叠、三角形删除、三角形折叠。文中主要 145使用边折叠方法来简化网格模型 简化思想 边折叠方法是指,在每次简化操作中以边作为被圳除的基木图元。每进行一次简化操作, 删除—个顶点和两^三角肜。经过多次边折叠后,网格模型被简化,三角形正则度得以提高。 在进行简化操作之前,需要确定新顶点(折叠点)的位置。·条边折叠到此新顶点,且此边 150的两个关联点的所有关联边连接到此新顶点上,如图4所示,折叠边1=(,)折叠到折 叠点(点和简筍化到折叠点)。另外,本文对边界边不再进行边折叠处理 ●老顶点 o新顶点 图4边折叠示意图 Fig. 4 The schematic diagram of cdgc collapse 新顶点(折叠点)位置的确定 折叠点的位置直接影响算法的效牽及简化后网格的质量,因此以往很多关于网格简化的 文献都很重视此问题,却都是选择折叠边的中点或两端点之一作为折叠点,这种方式 160不但増加了算法的复杂度,也不一定取得好的效果。所以,本文引入顶点的自由度来对新顶 点位置加以修正,从而能更好地确定折叠点的位置。 在边的折叠操作中,条边的两个顶点简化为个顶点后,折叠点的自由度要大于原来 任一顶点的自由度,且一般都大于6。如图4所示,在折叠前顶点的自由度为5,的自 度为7,简化后新顶点的自由度为8。一般来说,一个顶点的自山度越人,其关联三角 165形越是趋于狭长化。在确定折叠点的位置时,我们使新顶点的位置偏向于自由度人的顶点 如图4中的折叠点,位置就偏向于。这样,相对于折叠边的中点,可以得到更好质量 的网格。对于待折叠边1=(,)其端点的自由度为,坐标为;端点的自由度 国武技论文在线 http:/www.paper.edu.cn 为,坐标为。则可以用下面公式计算折叠点的坐标,即 170 简化方法主要步骤 Stepl.读入细分后网格模型 进行网柊模型数据结构初始化。 Step2.利用式(1)计算每个三角形的止则度,根据用广设置的止则度阈值:,对不 符合要求的三角形进行标记 Step3.对所有不符合要求三角形的边进行判断,确定该边可否折叠,如果可以,则标记 175为折叠边。 Step4.对所有折叠边进行排序,建立折叠边的优先队列,优先级最高的折叠边放在队首。 Step5.从优先级队列中取出当前优先级最高的边进行折叠,并对相关几何元素进行更 新 Step6.若网格质量达到用户要求或折叠边的优先队列为空,则结束;否则转Sep2。 在Sep3中进行折叠边判断时,如果一条边满足以卜条件之一,则不再标记为折叠边: 1)该边为边界边;2)折叠操作后折叠点的所有关联三角形中,质量最差三角形的正则度 小于用户设定的正则度阈值:3)x’m<m,其中-m为折叠操作前折叠边两端点所 有关联三角形中质量最差三角形的正则度,min为折叠操作后折叠点所有关联三角形中质 量最差三角形的正则度,τ为宽松因子,取值范围为(0,1)。经实验表明,τ=0.8时可 185以取得良好的效果。 在Step4中,对每条折叠边赋予折叠顺序控制因子λ,λ越大优先级越高,即 (4) 式中,为折叠操作前折叠边两端点所有关联三角形的平均正则度,为折叠操作后 折叠点所有关联三角形的平均正则度。 网格几何优化 在网格简化阶段,每次只选择优先级最髙的边进行折叠操作,这属于闷格局部拓扑结枃 调整。由于网格局部优化必然对其相邻网格产生影响,这种影响有叮能是不利的,从而产生 新的待优化网格,并有可能陷入死循环或过度简化。为了防止以上情况发生,可以通过调整 正则度阈佰和控制因子A,来严格约東条件。但是,这样又会带来折叠次数大大降低、优 195化不充分等方面的不足。为了弥补这缺陷,本文通过网格几何形状的调整,进步对网格 模型优化 Delaunay三角剖分法的最大优点之一是遵循“最小角最大”淮则。所谓“最小角最大” 是指在不出现奇异性情况下, Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非剖分所形成的三 角形最小角之和2。基于“最小角最人”准则,本文提出了一种适用于网格后期优化的新 200方法。通过调整三角形最小内角顶点的位置,来达到优化的日的。根据图5所示的准则进行 三角形几何优化,其中为△123的内心,y为三角形三个内角a、B、y中最小角,所 国武技论文在线 http:/www.paper.edu.cn 以顶点3为移动点。3为线段3的中点,作为调整后点的位置,形成新的△123,主要 流程如 Sepl.读入简化后网柊模型,进行网格模型数据结枃初始化。 205 Stcp2.利用式(2)计算每个三角形的正则度,根据用户设置的正则度阈值 对 符合求的三角形进行标记。 Step3.对所有不符合要求三角形的顶点进行判断,确定可移动顶点并进行标记。如果满 足以下条件之一,则认为此顶点不可移动:1)该顶点为边界点:2)该顶点移动后其所有关 联三角形中,质量最差三角形的止则度小于用户设定的止则度阈值;3)z min 5 210其中mn为几何优化操作前该顶点所有关联三角形中质量最差三角形的正则度,mi为 几何优化操作后该顶点所有关联三角形中质量最差三角形的正则度,τ为宽松因子,并取 z=0.8。 Step4.利用式(5)对所有叫移动顶点进行排序,建立可移动点的优先队列,λ越小优 先级越高,按照优先级高低进行排序,其中优先级最高的顶点放在队首 22=()min(a,B,n) (5) 式中,λ为点移动顺序控制因子,()为三角形的正则度,以、B、y为三角形的 三个内角。 Sep5.从优先级队列中取出当前优先级最高的顶点,进行位置调整,并对相关儿何元素 进行更新。 220 Step6.若达到用户要求或顶点的优先队列为空,则结宋;否则转Step2。 step4中,如果优先级最高的三角形恰好为个两较小内角相等的三角形,则通过式(6) 计算点移动顺序控制因子,A大的确定为移动点 (6 式中,为点移动操作前顶点所有关联三角形的平均正则度,为点移动操作后顶点 225所有关联三角形的平均正则度 一老边 新边 角平分线●老顶点 ○新顶点 图5几何优化示意图 ig. 5 The schematic diagram of geometry optimization 230 工程实例 在 AutoCAD提供的 ObjectORⅹ开发支持环境下,应用上述网格迭代优化方法,开发了 建筑金属结构有限元分析系统。并在 Celeron(R)2.60 GHZ CPU,2GB内存使件环境下,以铝 国武技论文在线 http:/www.paper.edu.cn 合金窗框节点模型为例,对该优化方法进行验证,其中模型面积约为10200mm2。如图6所 235示为系统主界面及某产品设计框节点模型,该模型为用户在CAD环境下完戊。赋予封闭区 城材料属性和外轮廓边界条件后,在网格优化参数设置界面上输入各控制参数,为后续的网 格优化及分析计算做好准备。图7a所示为原始网格,图7b所示为迭代优化后网格。从图 7a和图7b对比我们可以看出,优化后的网格质量已经有了很大的提高。为了更为直观的看 出优化效率和效果,表1给出了此次网格优化前后统计结果。表1中,为网格中三角形 240数量;mn为由式(1)计算出的网格中质量最差三角形正则度;mn为由式(2)计算出 的网格中质量最差三角形正则度;为式(1)计算出的网格中所有三角形平均正则度; 为由式(2)计算出的网格中所有三角形平均正则度;为网格优化时间:为网格 迭代次数。由表Ⅰ可知,此算法效率高,网格优化后的效果显著,大大提高了有限元分析结 果的准确性。 百科画用结付有限元升析系坑(GE3P201)-[F铅金窗框节点核型目 甲艾牛結和强m)显示蚕称牛性P)载荷编指①)庆才分折们)结吾)设+算的工其箱m甜互单新位一 口及礼幽员“(“:L如色q量? |¥6目A卡2:#邮白护匾师日也鱼回申a M×人 △ 多设舌 A圖p 型白动保存时词可隔:F 245[651021351000 ⊥描捉翻格正交板轴团象華妇团象线交奥型 图6系统主界面及节点模型 Fig 6 Thc interfacc of systcm and nodc modcl 250 图7a原始网格 图7b优化后网格 图7模型优化结果 Fig. 7 The optimization results of model 8 国武技论文在线 http:/www.paper.edu.cn 表1优化前后结果对比 Tab. 1 The result comparison of optimization and no optimization min 优化前0470.120.130.670.71 4813 0.34 0.36 0.81 0.8 46 17 优化后 结论 本文针对网格后期优化处理问题,提出了一种面向平面区域有限元三角网格的达代优化 算法。在对原始网格细分后,分别采用边长法和角庋法对简化后的网格与几何优化后的网格 265进行评价,这与网格划分优化方法及以往单一评价标准优化方法相比有明显的优势。实际应 用验证了该方法的有效性,另外该算法具有较好的通用性和可扩展忙,不仅适用于建筑金属 结构产品有限元分析计算,也可广泛应用于类似工程产品的有限元分析计算中。运用该算法 开发的建筑金属结构有限元分析系统已经在建筑金属结构行业的几十家设计单位和企业中 得到推广应用 270 参考文献 [1]薛均晓,罗钟铉,三角网格的能量优化参数化方法]·计算机辅助设计与图形学学 报,2009,21(10):1472-1479 [2] LAWSON CL. 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