论文研究-基于G-M法和重要抽样法的PLP强度函数的Bayesian预测分析.pdf

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论文研究-基于G-M法和重要抽样法的PLP强度函数的Bayesian预测分析.pdf,  在多种无信息先验下, 将Gibbs抽样与Metropolis-Hastings算法混合的方法和重要抽样法应用于幂律过程强度函数的Bayesian预测分析, 简化Bayesian分析同时还能方便地给出强度函数及其函数的Bayes估计和区间分析. 所给预测方法不仅能预测幂律过程的未来强度, 同样适用于当前强
第11期 王燕萍,等:基于GM法和重要抽样法的PLP强度函数的 Bayesian预测分析 2219 3基于MCMC方法的强度函数的 Bayesian预测分析 31 Gibbs抽样与 Metropolis- Hastings算法混合的方法 在文献7中,利用Gibs抽样8-9与 Metropolis-Hastings算法1混合的方法,1GM方法)获得 了来自f(An,的(r,)的MCMC样本.基于GM方法收敛后的MCMC样本{(4,),=1, 2,…,M},可以方便地对M及其函数进行各种后验分析.本文将利用Chen和Shao的方法12对X及 其函数h(r,B)进行分析,以便快捷地获得和h(Ar,B)的 Bayesian可信域和最大后验密度( highest posterior density,HPD)可信域,其体过程如下 将样本{,=1,…,My}按照由小到大的顺序重新排为{x(0,1=1,2,…,M,则x的可信 水平为1-a的 Bayesian可信区间为 (AT, ((a/ 2).M1), Ar,((1-a/2)M)) 其中、[4]表示A的整数部分 类似地,由样本{(x9,),=1,2…M可以得到函数h(x7,)的 Bavesian可信区间 由于r的后验密度f(Xrt)是单峰的,可以利用(7)式计算出(Ar:(,Ar,(1+1-a)M) M-[(1-a)M],则入r的可信水平为1-a的 Bayesian HPD区间为 T:(j*]),A1,(*-(1-a)M]) 其中满足入,(+(1-0)M0)-15=(1-)M (入r,(1+(1-a)M1)-入r,() 对于函数h(x,),只需将样本{1=1(9,8)=1,2…,}依据ha)<he<…<hM重 新排序为{h(2,=1,2,…,M},就可得b(r,月)的可信水平为1-a的 Bayesian HPD区间为 (j*]),(*+(1-a)M]) 其中j满足h(x+(1-a)M)-h(0-1) 1≤i≤M-(1-)M1((+(1-a)4n)-hi) G-M方法给出了一种直接从联合后验分布f(m,t)获得(m,)MCMC样本的方法,考虑到它是一 个具有两重 Markov链的双重抽样方法,虽然每一重抽样方法本身并不复杂,但是在每一重 Markov链的分 析中最终用到的都是 Markoν链收敛后的样本,故在提高计算精度的同时也付出计算量的代价.于是,下文 给出一种既简单快捷又不失一定精度的入及其函数的 Bayesian分析方法 32重要抽样法 这里不对∫(Ar,βt)直接抽样,而是将另一联合分布f(A,B)作为重要抽样密度函数并对其抽取样本 {(Ark,Bk),k=1,2,……,K},基于此样本来对入r及其函数进行 Bayesian分析,具体方法如下 将(3)式改写13为 f(入r,B|t)∝f(Ar,B) S(AT 其中,(x,B)=9r(;n-,∑1m(/)·9(Ar;n,m-),6(A,B)=1.以/0(A,0表示 (10)式的右端项,则(r,Bt)与∫(A,B|t)之间只差一个正则化因子 假设存在Mr和的任意函数m(X,B),则n(X,)的后验数学期望为 E xr,Bit [m (Ar, 8)1 7(入r,)·f0(Ar,t)dfd入r f0(入,|t)da入 对(10)式采用重要抽样法,就可以得到Ar以及函数n(An,)的各种后验分析.具体重要抽样过程如下: 1)从 ,∑=1n(y/t)分布中产生B 2)在给定的/下,从7(nm-)分布中产生k 3)重复1)和2)K次,可以得到样本{(入r,k,Bk),k=1,2,…,K} 于是.(11)式可近似为(12)式,并由(12)式可以得到在平方损失函数下"(M,)的 Bayes估计. Et(Ar,=∑(xk,0(x,A)/∑6(Ak 基于样本{(,k,B),k=1,2,…,K},利用Chen和Shao的方法2也可以获得Mr和m(r,B)的 可信区间.具体方法如下 2220 系统工程理论与实践 第31卷 以表示的5分位点即A9=inf{hx:(hrt)≥s},其中0<5<1,n(r1t是小的边缘 后验累积分布函数.如果令m(Xr,B) 1,A≤了,对于给定的,有(M|t)=En,atm(Xx,B 将样本{(xr,,B),k=1,2,…K}依据xn;()<…<A,(K)排序为{(Xr:(),Ak),k=1,2,…,K},并 记权函数k=6(x(,x)∑16(,月),k=1,2…,,由(12)式可以得到的加权经验分布函 数为 0 I(入x|U) (2)≤X<入7(+1) (13) T, (K) 因此)的估计为 0 Ar(,∑m<5≤∑ 将(14)式中的分别取为a/2和1-a/2.就可以得到的可信水平为1-a的 Bayesian可信区间,为 2)(1-a/2) 15) 利用(14)式计算(K,(+(-)]/) )=12,…K-(1-)小则Ar的可信水平为1-a的 Bayesian HPD区间为 ”/K)({+[(1-a)K}/K (16) 其中满足x+(1-o)k)-x)= mIn ({+[(1-a)k]}/K)_(/K) 1≤j≤M-[(1-a)M] 为获得n(An,的 Bayesian HPD区间,将{mk=m(A7,k,Ak),k=1,2,…,K}依据m1)<me)< <nK)排序为{nk),k=1,2,…,K},把与m)相应的ck记为u(k,则n(,B)的可信水平为1-a 的 Bayesian HPD区间为 (分/),(+(1-a)1/K (17) 其中,*满足1+-2)A/)- 111A=120的水(+1(1-a)N一少(/),由下式确定, 5=0 n(i) ∑) 算例分析 4.1数值模拟算例 针对PLP在未来某一时刻T处的强度函数,文中基于MCMC方法给出了两种 Babesia预测分析方 法,为了说明这两种方法的可行性和合理性,我们以θ=1.1和β=0.56的PLP模型所产生模拟样本为例 分两种情况讨论:情况1,当y=1200n(大样本)时,预测在T=1300h时失效率和MTBF;情况2,当 y=200h(小样本),预测在T=300h时失效率r和MTBF.在这两种情况下,分别利用500组模拟样本来 验让 1)r的预测 利用θ=11和β=0.56计算出在情况1下的入为0.0226,在情况2下的x为00432,下文都将以 此结果为真值并作为对比的基础 T时Ay的ME为M=号(分),由此计算出在情况1下A的ME的平均值为00,相对均 方误差为0.0436;在情况2下的MLE的平均值为0.0489,相对均方误差为0.193.在平方损失函数下, 当无信息先验(2)式中γ取不同值时,利用文中两种方法可算出两种情况下入的 Bayes估计值的平均值和 第11期 王燕萍,等:基于GM法和重要抽样法的PLP强度函数的 Bayesian预测分析 2221 相对均方误差,具体结果见表1,其中表1括号里的数据表示估计值的相对均方误差.从表1可以看出,与 MLE的结果相比,当γ较小时在两种情况下两种方法所得入的 Bayes估计及其相对均方误差都较小,且 随着γ值的增大两种方法所得结果的误差也在增大.对比表1中两种方法所得结果.发现在给定γ值时各 种情况下G-M方法的结果都比重要抽样法的结果误差稍小一些 表1M的 Baves估计的平均值和相对均方误差 情况1 情况2 G-M方法 重要抽样法 -M方法重要抽样法 y=00.02320.0126)0.02330.0437)0.0485(0.169)0.0197(0.206 y=10.0228(0.0413)0.0228(0.0420)0.0454(0.142)0.0464(0.169) Y=50.0208(0.0143)0.0209(0.0445)0.0341(0.141)0.0339(0.153) 表2情况1下的 Bayesian区间覆盖率和平均区间长度 可信 G-M方法 重要抽样法 水平 单侧 可信区间 Bayesian可信区间HPD区间 单侧 Bayesian可信区间HPD区间 可信区间 95%0.942 0.968(0.0185 0.946(0.0181)0.946 0.960(0.0186 0.946(0.0183) =085%0.832 0.860(0.0135 0.836(0.0132)0.834 0.858(0.0136 0.842(0.0133) 75%0.740 0.744(0.0108)0.756(0.0106)0.738 0.740(0.0108)0.758(0.0106) 95 0.930 0.948(0.0182)0.936(0.0179)0.928 0.952(0.0183)0.934(0.0180) y=185%0.8040.842(0.0133)0.32(0.0130)0.8100.838(0.0133)0.828(0.0131) 75%0.714 0.758(0.0106 0736(0.0104)0.716 0.752(0.0106 0738(0.0105) 95% 0.844 0.900(0.0170 0.868(0.0167)0.842 0.02(0.0171)0.870(0.0168) 7=585% 0.692 0.78(0.0124)0.728(0.0122)0.696 0.780(0.0125 0.732(0.0122 75%0.576 0.688(0.0099)0.548(0.0097)0.572 0.690(0.0099)0.660(0.0098) 表3情况2下λr的 Bayesian区间覆盖率和平均区间长度 可信 G-M方法 重要抽样法 水平 单侧 Bayesian可信区间HPD区间 单侧 可信区间 可信区间 Bayesian可信区间HPD区间 95%0.96 0.950(0.0692 0.960(0.0655)0.96 0.944(0.0731)0.961(0.0693) y=085%0.872 0.876(0.0495)0.874(0.0468)0.878 0.866(0.0521 0.872(0.0491) 75%0.766 0.74(0.0391)0.764(0.0369)0.7740.760(0.0411)0.766(0.0387) 95%0.942 0.952(0.065 0.946(0.0620)0.942 0.950(0.0690)0.952(0.0651) =185%0.8160.868(0.0469) 828(0.042)0.8 0.866(0.0490 75%0.696 0.756(.0370 0.718(0.0349) 0.6i92 0.762(0.0386 0.72(0.0363) 95%0.742 0.842(0.0520)0.770(0.0487)0.736 0.836(0.0527 0.770(0.0495) =585% 0.672(0.0369)0.564(0.0345)0.51 0.668(0.0374 0.570(0.03 75%0.382 0.536(0.0291)0.440(0.0271)0.382 0534(0.0294)0.440(0.0276) 表2和表3分别列出了在两种情况下,不同γ值、不同可信水平下Am的 Bayesian区间覆盖率( Bayesian 区间包含真值的概率)和平均区间长度(括号中数据).表中的单侧可信区间的覆盖率,是指具有可信上限的 单侧 Bayesian可信区间的覆盖率,因为在满足给定可信水平下的单侧可信区间有且只有一个,也就不存在区 间长度最短的区间,故在讨论单侧可信区间的时候必须放弃HPD准则.对比表2或表3)中单侧可信区间的 覆盖率,发现在给定γ值、同一可信水平下,情况1(或情况2)中M方法和重要抽样法的结果差不多,二 者的区间覆盖率相差仅为0.0020.008.对比表2(或表3)中的义侧 Bayesian可信区间,可以看出情况1(或 情况2)在给定γ值、同一可信水平下,G-M方法所得区间的平均区间长度都比重要抽样法所得区间的平均 区间长度要短,尤其是在情况2中G-M方法所得区间的精度较高.对比表2(或表3)中的 Bayesian可信 区间与HPD可信区间,可以发现在给定γ值、同一可信水平下,无论是G-M方法还是重要抽样法,所得的 HPD区间长度都比 Bayesian可信区间长度要短,这也正体现出了HPD区间的特性.而对比表2(或表3)中 2222 系统工程理论与实践 第31卷 的HPD区间,发现重要抽样法所得区间的覆盖率与GM方法所得区间的覆盖率相差不大,但前者的区间平 均长度要比后者的长一些此外,从表2和表3还可以看出在同一情况、同一种方法、同一可信水平下,单 侧可信区间、 Bayesian可信区间以及HPD区间,它们的区间獲盖率和平均区间长度都随着γ值的增大而减 2)MTBF的预测 利用θ=1.1和β=056计算出在情况1下的MTBF为4417Th,在情况2下的MTBF为23.171h, 下文也以此结果为真值并作为对比的基础 T时MTBF的MLE为1/A,由此计算出在情况1下MTBF的MLE的平均值为44.85h,相对均方 误差为0.0454在情况2下MTBF的MLE的平均值为23.405h,相对均方误差为0.159.表4列出了在平 方损失函数下文中两种方法所得MTBF的 Bayes估计值的平均值和相对均方误差(括号中数据).从表4可 以看出,在各种情况下文中两种方法所得MTBF的 Bayes估计值的平均值和相对均方误差都比ML的结 果要大,且随着γ值的增加这种误差也在增大,尤其是情况2对γ的取值更为敏感.在各种情况下对比两种 方法的结果,发现在给定?值时GM方法的结果都比重要抽样法的结果误差小一些 表4MTBF的 Baves估计的平均值和相对均方误差 情况1 情况2 G-M方法 重要抽样法 G-M方法 重要抽样法 =046.837(0.0544)46.8120.055027.105(0.257)26.902(0.267) 47885(0.0616)47868(0.0620)29262(0.357)29.167(0.377) =552.6160.1104)52609(0.1104)40.551(1.199)4.123(2968) 表5情况1下MTBF的 Bayesian区间覆盖率和平均区间长度 可信 G-M方法 重要抽样法 水平 单侧 叮信区间 bayesian可信区间 单侧 HPD区间 Bayesian可信区间HPD区间 叮信区间 95%0.94 0.968(38799)0.970(37.539)0.946 0.960(38871 0.974(37.746) -085%0.832 0.860(27943)0.78(27.053)0.84 0.858(28.008 0.876(27.189) 75%0.740 0.744(22.178 0.758(21.44410.738 0.740(22.199)0.762(21545) 95%0.9300.948(39.905)0.974(38.586)0.9280.952(39.977)0.971(38.811) =185%0.804 0.842(28733) 0.886(27789 0.810 0.838(28786 0.878(27.940 75%0.714 0.758(22764 0.754(22.012)0.716 0.752(22.815 0.760(22.142 95%0.844 0.900(4.893)0.934(43.392)0.842 0902(45026 0.936(43.635) 585%0.692 0.778(32378)0.834(31.268)0.6960.780(32386)0.836(31.387) 75% 0.576 0688(2565 0.748(24767) 0.572 0690(025659)0.742(24858) 表6情况1下MTBF的 Bayesian区问覆盖率和平均区间长度 可信 G-M方法 重要抽样法 水平 单侧,B2yeim可信区间HPD区间单侧 Bayesian可信区间HPD区间 可信区间 可信区间 95%0.964 0.950(12606)0.951(38.961)0.9660.9(12998)0.952(39.108) y=085%0.872 0.876(29.493 0846(2688 0.878 0.866(29.680 0.840(27.125) 75%0.766 0.74(22.978)0.752(20.898)0.7740.760(23.103)0.740(21.085 95%0.942 0.952(46.773 0.966(42676)0.942 0.950(7463) 0.958(43.380) =185%0.9160.868(325)0.893323 0.866(3266) 75%0.696 0.756(25.160)0.782(22838)0.692 0.762(25417 0.782(23.110) 95%0.742 0.842(66.127 0.950(60.598)0.736 0.836(82926)0.960(72984) =585%0.508 0.672(46.057)0.820(42130)0.514 0.668(55138 0.850(48.516) 5%0.382 0.536(36.05)0.708(32858)0.382 0.534(42310)0.732(37.170) 表5和表6分别列出了两种情况在不同γ值、不同可信水平下MTBF的 Bayesian区间覆盖率和平均 第11期 王燕萍,等:基于GM法和重要抽样法的PLP强度函数的 Bayesian预测分析 2223 区间长度(括号中数据),其中的单侧可信区间的覆盖率,是指具有可信下限的单侧 Bayesian可信区间的覆盖 率对比表2和表5(或表3和表6)中同一方法下的单侧可信区间,发现r与MIBF有相同的区间覆盖率, 而对 Bayesian可信区间也有同样结论.在表5(或表6)中发现双侧 Bayesian可信区间与HPD区间之间, 或两种方法下的HPD区间之间,与入有类似的结论.同样地,从表5和表6也发现在同一情况、同一种方 法、同一可信水平下,HPD区间的区间覆盖率和平均区间长度都随着值的增大而减小,只是减小的程度不 如减小的程度大而已 通过对上述具有真值的数值算例进行分析,进步验证了文中两种方法的有效性.综合对比后发现文中 两种方法各有特点:G-M方法在计算精度上略优于重要抽样法,之所以出现这种结果,是由于两种方法所产 生样本的坐生质不同,GM方法产生的样本是直接来自联合后验密度f(Ar,B|t)的MCMC样本,而重要抽 样法是将与(入m,③)有关的另一联合分布作为重要抽样密度函数并对其抽样;重要抽样法则在计算量大大优 于G-M方法,因为重要抽样法避免了双重 Markov链的抽样过程,节约了抽样的时间.因此,在不失一定的 精度下,重要抽样法要比G-M方法简单快捷 此外,综合上述分析还可以看出无信息先验(2)式中γ取值对PLP模型未来强度的 Bayesian预测分 析所产生的影响,因此对于的取值建议在满足γ<n的条件下γ不宜太大,尤其是在小样本情况下,?的 取值最好为0或1 42实例 某一雷达在时间(0,160内共发生了8次故障,具体的故障时间614.1为:1,2,4,8,27,40,82,119h 文献6中指出这些数据已经通过了拟合优度检验山和PLP模型的检验1.本文分两种情况来讨论:情 况1,假若试验在ψ=82h处截尾,即在试验中只观测到了前7次故障时间,预测雷达在T=160h处的失效 率(未来强度;情况2,试验在〃-160h处截尾,试验中观测到了全部故障时间,预测雷达在T=160h处的 失效率(当前强度).两种情况下雷达失效率λ的MLE和 Bayes估计值列于表7,λr的可信水平为90的单 侧可信上限、 bayesian可信区间和HPD可信区间则列于表8.从表7中可以看出,文中两种方法的结果与 MLE较类似,尤其在γ=0时.此外,无论是 Baves估计还是区间估计,文中两种方法的结果都比较接近 表7Mr的MLE和 Bayes估计值 情况1 情况2 MLEG-M方法重要抽样法MLEG-M方法重要抽样法 0.0287 0.0287 0.0197 0.0272 0.0197 0.0199 0.0240 0.0235 0.0178 0.0172 表8Ar的可信水平为90%的 Bavesian区间和HPD区间 G-Ⅵ方法 重要抽样法 况 7单侧 Bayesian可信区间 HPD区间 单侧 Bayesian可信区间HPD区间 订信区间 可信区间 00.0525(0.00860.0658)(0.0046,0.0533)0.0523(0.0080,0.0654)0.0044,0.0533) 10.0439 (0.0071,0.0539)(0.0041,0.0447)0.0438(0.0062,0.0540)0.00320.0446) 2=0 00.03320.00750.0391)(0.0051,0.0314)0.0331(0.0072,0.0390)(0.0050.0.0312 =10.0297(0.0065.0.0352)(0.0045,0.0306)0.02920.0060,0.0348)(0.00390.0301) 此外.从本例还可以看出,其中的情况2为当T=y的特殊情形,这也进一步说明了文中的方法同样适 用于当前强度的 Bayesian预测分析,且不失一定的精度 5结论 在PLP模型强度函数的 Bayesian预测分析中,复杂的联合后验分布致使强度函数及其函数的 Bayes佔 计利区间分析的形式也非常复杂进而制约了传统 Bayesian预测分析方法的应用为了简化复杂的后验分析, 本文引入目前在 Bayesian分析中普遍使用的MCMC方法,利用G-M方法或重要抽样法所产生的MCMC 样本,简单快捷地给出PLP强度函数(当前强度和未来强度)及其函数(如MTBF)的 Bayesian预测分析方 法.文中方法简单易行,具有明显的优越性,具体算例充分证明了这一点.文中的 Bayesian分析是在多种无 2224 系统工程理论与实践 第31卷 信息先验下进行的,但就无信息先验的选取,本文也给出了一些建议以供参考 由于G-M方法和重要抽样法可以大大简化无信息先验下PLP模型强度函数及其函数的 bayesian预测 分析,因此,同样还可以将这两种方法应用于信息先验下PLP模型的 Bavesian分析之中,关于这方面还有 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