论文研究-DEA概论与C~2R模型——数据包络分析(一).pdf

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论文研究-DEA概论与C~2R模型——数据包络分析(一).pdf,  数据包络分析(Data Envelopment Analysis,简记DEA)是著名的运筹学家A.Charnes和W.W.Cooper等人以相对效率概念为基础发展起来的一种崭新的效率评价方法。继1978年第一个DEA模型——C~2R模型发表后,新的模型和其他重要理论结果不断出现,模型的实际应用也日益广泛。DEA已成
60 系统工程理论与实践 1989年1月 引起了对倒置DEA模型的研究,该研究将导致新的分类方法。另外,对决策单元的增减所 引起的有效决策单元集合的变化的研究也有一些结果。上述结果将在本讲座的以后几讲中叙 述。 作为多目标决策方法,DEA与对策论有着密切的血缘关系。1986年, Charnes, Cooper 和Wei首先利用cW模型研究了无限矩阵对策理论1。1988年, Charnes、 Huang、 Rousseau 和Wei又利用CWH模型的原理建立了带有交叉约束策略集的多人对策的锥极点理论 可以预料,DEA的思想对于其他领域的研究工作也会产生重大的影响。 在我国的政治、经济体制改革中,DEA做为一种科学的评价方法,将会起到日益重要 的作用,并在应用中得到自身的丰富和完善。 C2模型和DEA有效性 我们现在介绍DEA的最基本模型——CR模型。假设有n个决策单元,每个决策单元都 有m种类型的“输入”,以及s种类型的“输出”,分别表示该单元“耗费的资源”和“工作 的成效”。它们可由表1给出 表1 DMU, DMU2 DMU. 2→ xir vn mimIc, y11 →2 y ■ 其中,x;为第氵个决策单元对第种类型输入的投入量;y,为第j个决策单元对第r种类 型输出的产出量yv;为对第i种类型输入的一种度量(“权”)yu,为对第r种类型输出的 种度量(“权”);而且x;>0,y>0 2,…,n。(x;及y为已知的数据,可以根据历史资料或预测得到,v;及r为“权”变量) 记X=(x1…,xm),Yr=(y1…,y),j=1 则可用(X1Y)表示第j个 决策单元DMU 对应于权系数=(1;…vn),w=(41;…;w),每个决策单元都有相应的效率评价指 数 我们总可以适当地选择权系数v和a,使其满足乐≤1,j=12,…7 第1矧 DEA概论与CR模型——-数据包络分析(-) 61 现在对第j个决策单元进行效率评价。简记DMU为DMU,(Xn,Y0)为(X0,y), h为h,1≤j≤n。在各决策单元的效率评价指标均不超过1的条件下,选择权系数a及U, 使h最大。于是构成如下的最优化模型。 ma x h t。h X ≥0,t≥0 这个原始规划模型是一个分式规划。利用 Charnes- Cooper变换,可以将(P)化为一个 等价的线性规划问题。令 t=1/u'X 则原分式规划转化为 max uyo=VP s.t,arX-4TY≥0,i=1,2,…,n (P) X0=1 Q≥0,比≥0 下面的定理给出了分式规划问题(P)与线性规划问题(P)的相互关系。 定理1分式规划(F)与线性规划(P)在下述意义下等价 i)若v°,u9为(P)的最优解,则 °为(P)的最优解,并且两个规划的最 优值相等。其中0=1/u30rx。 i)若a°,p0为(P)的最优解,则O°,也为(P)的最优解,并且两个规划的最优值相 等 线性规划问题(P)的对偶规划问题为(加入松弛变量s'及S-以后) n0= t.∑X1+s=X (D) ∑YA λ;≥0 1,2,…nS≥0 下面我们截取对铝冶炼工业进行评价的一个片断作为数值例子,以加强对模型的理解。 例1设有A、B、C、D四家电解铝厂,其输入输出指标及有关数据如表2 表2 B 吨铝氧化铝投入(百公斤/吨) 1951 1992 1944 2013 吨铝能源投入(标煤百公斤/吨) 6859 6359 6658 T242 人员投入〔人) 4653 19018 409 铝锭总产量(吨) 27675 65850 317 利税总额(万元) 4746 840 系统工程理论与实践 1989年I月 评价A厂的相对效率的规划问题(D)为 s.t.195121+19924,2+194443+2013A4+s1=19516 685941+63592+665813+724241+s2=68596 4653:+190182+40953+89944+s3=4653日 27675九+260622+658503+1317λ4-s↑=27675 327721+253942+47463+8404-st=3277 A2,43,44≥0,s1,s,s3,s+st≥0 由规划问题(P)与(D)的形式可以得知下面的定理2成立。 定理2规划问题(P)及其对偶规划问题(D)都有可行解,因而都有最优解,并且最优 值满足Vp=VP≤1 我们给出C2R模型下DEA有效性的定义。 定义1若线性规划问题(P)的最优解及4满足vP=°Y=1,则称DMU为弱DEA 有效。 定义2若线性规划问题(P)存在某个最优解o0及山满足Vp=Y。=1,并且m0>0, >0,则称DMU为DEA有效。 由定义不难看出,若DMU;为DEA有效,那么它也是弱DEA有效的。 利用对偶规划(D)也可以判断决策单元的DEA有效性或DEA弱有效性。由线性规划对 偶理论和“紧松”定理、“松紧”定理,可得到: 定理3关于对偶规划(D),有 )DMUl为弱DEA有效的充分必要条件为规划问题(D的最优值D=1。 i)DWU1为DEA有效的充分必要条件为规划问题(D的最优值VD=1,并且它的每个 最优解20=(4,…,4),-°,s+°,°都满足s-°=,s+0=0。 我们用一个例子来说明DEA有效性的工程技术背景 例2考虑某种燃烧煤以产生热量的燃烧装置。在工程上,该装置的热效率用比值E, 来刻划 E 其中,y为燃烧给定数量x的煤所能产生的最大热量即理想值(x>0),y,为使用该装置燃 烧相同数量x的煤所能产生的热量即实测值。显然有0三E≡1利用CR模型也可以得到上 面所定义的E。考虑规划问题 max uy/ux=Vp ()s.t.uy/x≤1 ty/Ux≤ 县>0,1>0 (P)为对理想装置和实际装置这两个决策单元中的后者进行评价所得到的CR模型。设其 最优解为v*及u*,由 可得到 u/≤x/y≤x/y 第1期 DEA概论与CR模型——数据包络分析( 63 因此当yMo≤时,必有*y/*x≤1,故()的最优解满足 x/y 从而最优值 Vp=u*y u*x=(x/ya).y/x)=y/y=Ero 这就是说,燃烧装置的最优效率评价指数就是热效率E可见,DEA有效性是工 程上的效率概念在多输入多输出系统中的推广。 在实际应用中,各输入量与输出量都带有一定的量纲。在不同的量纲下,输入量与输出 量的数值不同。可以证明如下的定理。 定理4决策单元的最优效率评价指数芦与输入量及输出量的量纲选取无关。 个理想的决策单元应该是以较少的输入达到较大的输出。用多目标规划的语言可以这 样描述:n个决策单元中,最理想的决策单元的输入及输出应该是下述多目标规划问题的Pa reto有效解: V-minF(X,Y) t.(X,y)∈T 其中X=(x y19y: F(X,Y)=(xr,一y) T=}(x,Y):∑Xλ,≤X,∑y}≥y,≥0j=1,…,n{ DEA有效性和多目标规划问题(b)的 Pareto有效解在本质上是相同的。我们有 理定5(Xf,y10)为多目标规划问题(Vp)的 Pareto有效解当且仅当DMU1n为DEA 有效的 理定6(X10,)为多目标规划问题p)的 Pareto弱有效解当且仅当DMU为DEA 弱有效的。 可以证明多目标规划问题(Vp)的 Pareto有效解是确实存在的,因而有 定理7至少存在一个决策单元,它是DEA有效的。 三、DEA有效性的判定及DM在相对有效面上的投影 检验DMU的DEA有效性时,如果利用线性规划问题(P) max uYo=y t.X;-2y1=0,j=1,2 (P) X。=1 ≥04≥0 需要判断是否存在最优解x°,满足 ,40>0,Pp=4 如果利用对偶线性规划问题(D) 系统工程理论与实践 1989年月 6=v st.∑X,;+s*=0x (D) Y,,-s+=y λ,≥0j=1,2,…,ns-≥0,s≥0 需要判断是否其所有最优解λ°,s-°,s+,°都满足 0, =O 无论哪种方法都不很方便。 Charnes和 Cooper引进了非阿基米德无小的概念2,以便用 线性规划的单纯形算法求解模型,判断DMU1n的DEA有效性 在广义实数域内,非阿基米德无穷小量e是一个小于任何正数且大于零的数。考虑带有 非阿基米德无穷小量8的C2R模型(Pa) maX X (P) X0= ee',≥Ee 其中e=(1,1,…,1)∈Ene=(1,1,…,1)∈E。 (P)的对偶规划问题为 min [e-e(e's-+es+)]=VD t XA AX (D) n;s≥0,s≥0 利用此模型,可以一次判断出DMUn是DEA有效,还是仅为弱DEA有效,或者是非 DEA有效。实际上我们有以下的定理。 定理8设e为非阿基米德无穷小量,并且规划问题(D)的最优解为°,S-°,s+",θ", 有 )若"=1,则DMU1为弱DEA有效。 i)若0°=1,并且s-°=0,s+°=0,则DMU;。为DEA有效。 在实际应用中,只要取ε足够小(例如取ε=10-°),就可以使用单纯形方法解规划间题 (D)。 若DMU,为DEA有效的,对应的规划问题(P)有最优解,4满足 >0,°>0,Vp=230= 又由0X=1,所以有oX一p0Y0=0,即点(x。,Y0)位于超平面x;o7X-ry= 0上。可以证明:这个超平面m上的其他点所代表的决策单元也是DEA有效的。超平面x 称为DEA的相对有效平面。据此,我们可以考虑应如何改进一个非DEA有效的决策单 元 第1期 DEA桃论与C模型—一数据包络分析(一) 定义3考虑DMU对应的带有非阿基米德无穷小ε的对偶规划问题(D),设其最优 解为20,S-6,s+°,0°,令 文0=80X F。=Y0+ 称(X。,0)为DMU:。对应的(X。,Y)在DEA相对有效平面上的“投影”。 (xX。,)可以看作一个新的决策单元,显然下面的定理成立。 定理9设(8,分)为DMU,对应的点(X,y在DEA相对有效面上的投影, 则(X。6,所代表的新的决策单元相对于原来的n个决策单元来说,是DEA有效的。 定理10设A°,s-,s+,6°是(D)的最优解,记J={A9>0,1≤j≤n},则有 j∈J°,DMU1米为DEA有效的。 DMU。在DEA相对有效面上的投影,实际上为改进非有效的DMU,提供了一个可行 的方案,同时也指出了非有效的原因。对具体的DMU1n做更细致的进一步分析,可以给主 管部门提供更多的管理信息。在实际应用中,利用定理10的结果,可以减少计算量,提高评 价工作本身的工作效率。 四、DEA有效性的经济含义 设某种生产活动的投入量为X=(x,x,;…,xn),产出量为Y=(y,y,…,y),于是 可用点(X,Y)表示该种生产活动。考虑n个决策单元,对应的生产活动分别为(XY, j=1,2,…,n。我们的目的是根据所观察到的生产活动,去佔计生产可能集,并确定哪些决 策单元的生产活动是相对有效的。这里的生产可能集定义为所有可能的生产活动所构成的集 合T。即 T={(X,Y):产出Y可由投入X生产出来} 在CR模型中,T满足以下几条公理 1)凸性(X,Y)∈T,(,Y)∈T,∈[0,1,都有 么(X,y)+(1-2)(8,f)=(九X+(1-),+(1-4)y)∈T 即若分别以X和X的λ及(1-1)比例之和做为投入,则可以生产分别以Y和P的相同比例之 和的产出 2)锥性÷(X,Y)∈T,K≥0,都有 K(X,Y)=(KX,KY)∈T 即若以投入量X的K倍进行输入,那么输出量为原来产出的K倍是可能的。 3)无效性¥(X,Y)∈T,都有 (X,)∈T,X≥X;(X,1)∈T,VP≤y 即在原来的基础上,单方面增加投入或减少产出总是可能的生产活动。也就是说,浪费是存 在的 4)最小性生产可能集T是满足上述条件1)—3)的所有集合的交集。即为它们中最 小的。 显然我们观察到的经验生产活动(X,y分∈T,j=1,2,…,m。由此可得“经验”生产 可能集; 系统工程理论与实践 1989年1月 T-{(x,)∑X≤x,∑Y1≤,4≥, 下面的例子说明了单输入单输出时的情况。Y 例3设决策单元及输入输出由下表给出 1234 1234 T 3142 X 则生产可能集为 图1生产可能集 λ,+2A2+33+4A4≤X T=)(X,Y) 3λ,+λ,+43+2≥Y ≥0,j=1,2,3 如图1所示。图中的“1”表示DMU Y 2”表“示DMU2等等。 r=f(N 我们继续以单输入单输出的情况来说明 A DEA有效性的经济含义。先考虑生产函数 的概念。生产函数Y=f(X)表示生产处于最 理想状态时,投入量为X时所能获得的最 x大产出量为Y。因此,从生产函数角度看, 函数图象上的点(X,Y)所代表的决策单 图2生产函数、技术有效、规模有效 元,如图2中的A、B,都处于“技术有 效”的理想状态。 生产函数的一般形状如图2所示。生产函数显然是增函数。点A把函数分为两部分。在 A点左面,函数“加速上升”,说明增加投入量可以使产出有较高的增加,因而厂商有投资的 积极性。这一段区间称为规模收益递增阶段。在A面右面,则是规模收益递减阶段,表现为 投入量为X时,如再增加,产出Y增加的效率不高,厂商已没有再继续增加投资的积极性。 因此,A点所代表的投入规模是最适当的。即A点所代表的决策单元,既是技术有效,又是 规模有效的。点B所代表的决策单元是技术有效的,却不是规模有效的。减少决策单元B的 投入量,同时保持其技术有效性,可以增加单位投入的产出。点C所代表的决策单元显然是 非有效的。 我们现在来研究C2R模型下的DEA有效性的经济含义。检验DMUn的DEA有效性, 即是考虑规划问题 min b=v X1,≤6X (D) ∑YA,≥Y λ≥0,j=1,2,…,n 第1期 DEA概论与CR模型——数据包络分析(一) 由于(X0,y)位于生产可能集T内,由 T=(X,Y)∑x≤x,∑≥Y,≥0,j=1,2,,n 可以看出,规划问题(D)致力于在生产可能集T内,保持产出Y。不变,同时将投入量X 按同一比例8尽量减少。如果投入量x。不能按同一比例减少,即规划问题(D)的最优值 D=6°=1,在单输入单输出情况下,DMU:同时为技术有效和规模有效的。若不然,则规 划问题(D)的最优值VD=9°<1,DMU1不为规模有效 为形象地理解如何确定DMU的规模收是递增还是递减,我们研究下述形式的DEA 模型(P)和(D)这是将原始规划问题(P)中的目标函数求最大即maxh=uY0/UX 改为minh-=7X0/xY,再经过C2一变换得到的。 inaX。=v Y (P) B ≥0 ax a E ∑x,+s=X L (D′) DE Y,儿 A …·,nst≥0,S,≥0 3规蒗收益的确定 对模型(P)和(D)可类似定义DEA有效性及弱有效性,两种定义是完全等价的 切有关定理也相应成立。(D′)与(D)在形式上的区别表现在(刀)致力于在生产可 能集T内,保持投入X。不变,同时将产出量y。按同一比例α尽量增大。即使图3中的C 点尽力向上移而不是尽力向左移。因而在(D)中C点的投影C′的投入规模不改变。我们 只需判断C点是在A点的左边还是右边即可判定C点的规模收益是递增还是递减的。 设(D)的最优解为4=(λ*,A2,…,4*),s-*,s+*,c*,可以证明,当所评价的决策单 元DMU位于规模收益递增阶段时(图3中点D所在的区域),∑x<1当DMU,位于规 模收益递减阶段时(如图3中点C所在的区域),∑>1;当DMU具有恰当的投入规模 时(如图3中的点A收E),∑λ=1 又可证明,当4°,s-°,S+0,0°为规划问题(D)的最优解,λ*=°/6°,s-*=s0/6°,s+ =s+/e,a*=1/".规划问题(D)的最优解。因而当∑9/0°=1时,DMU具有恰当

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2019-09-20
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