论文研究-多目标离散控制: 一种对策方法.pdf

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16 系统工程理论与实践 1998年12月 着ν值改变,由M个对策人构成的动态问题的平衡解也将随之改变,因而求得多个平衡策略。因而可由决 策人依据总体目标和各子目标的期望水平选取满意的平衡策略。 为了研究上的方便,不失一般性,在这里我们仅考虑两个目标的线性二次型控制问题。由上面讨论,参 照模型MO4)可得如下的动态对策问题模型MO5) MOs 对策人DM 目标 (x(k+1o,(+1)x(x+1)+1(1:00 +M1k(u(k)-y(k)) (51) 约束x(k+1)=A(k)X(k)+B(k)u(k)k=1,…,N (52) 对策人DM2 minJ2(u(·),w2)= v2{X(k+1)Q2(k+1)X(k+1)+y(k)R2(k)y(k)} +M2((k)-u(k))2 (53) 约束X(k+1)=A(k)X(k)+B(k)y(k)k=1,2,…,N (54) 则两对策人将依据由总体目标确定的偏好ν≡-,wα)选择各自的策略,从而选择其平衡解如此, 有以下定义: 定义2若u和y是式(5)构成的动态对策问题的Nash平衡解,则n和y满足下式 (61) J2(un,y)≥J2(un,y) (62) 式中,J1(u,y)仝1(n,w1);J2(n,y)仝J2(n,w2);u=(an(1),…,n(N));y=(y(1),…,y)。根据动 态对策理论,对于动态对策模型MOs),下列定理成立: 定理1对于式(5)所示的线性二次型两人非零和动态对策问题,如果存在合适维数的矩阵D(k+ 1)、E(k+1)和P(k),且D(k+1)和E(k+1)可逆,匚1,2;则一定存在唯一的闭环Nash平衡解,且解满 足下式: (k)=-E1(k+1)[D1(k+1)B(k)P1(k+1)A(k) (k+1)D2(k+1)B(k)P2(k+1)A(k)]xN(k) (.1) (k)=-E2(k+1)D2(k+1)B(k)P2(k+1)A(k) +M2D2(k+1)D1(k+1)B(k)P1(k+1)A(k)x(k) (72) D1(k+1)=6vR(k)+Mkl+P1(k+1)B(k) D2(k+1) lq+P2(k+1)B(k)) (74) E1(k+1)=(-MM2D1(k+1)D2(k+1))1 (75) E2(k+1)=(I M22(k k+1)D1(k+1)) (76) P1(k)=[w(k)Q1(k+1)+A(k)P1(k+1)] (k)-B(k)E1(k+1)[D1(k+1)B(k)P1(k+1)A(k) +MuD1(k+1)D2(k+1)B(k)P2(k+1)A(k)]} (77) k)Q2(k+1)+A(k)P2(k+1)] 4(k)-B(k)E2(k+1)D2(k+1)B(k)P2(k+1)A(k) +M2D2(k+1)D1(k+1)B(k)P1(k+1)A(k)]} X(k+1)=A(k)Y(k)+ b(k)u(k) X(k+ 1)=A(k)X(k)+B(k)y(k) (7.10) 证明由动态规划原理及定义3可以求得,由于繁琐,此处略去。 由定理1可以推知,对于给定的权值w,式(52)~式(55)表示的多目标控制问题,一定存在一个线 o1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnk 第12期 多目标离散控制:一种对策方法 17 性控制律;若权值ν改变,控制律呈非线性变化。对于给定的权w,由式(7)可以求得控制变量n和y,若 使得4≡y,则必须修正Mi=1,2,由目标函数(52)和(5.4)得: M“D)=M"+λ(n)u(k)-y(k)2i=1,2;1=1, (8) 式中,λ为步长。w值的确定可由式(4.1)得。 3多目标控制问题求解算法 由前面的讨论可知,多目标离散控制问题可转化为动态对策问题。每个对策人利用所给的权值和自已 的目标,用定理1求得平衡解;为使对策平衡解一致,逐步增大惩罚系数M,直至一致为此。根据总体目标 或对各个目标的期望值修正权重。由此算法如下: 1)随机给出各目标权重w和各目标期望值; 2)任意给值(u,y)和M,i=1,2;k=1,…,N 3)按式(7)求得对策平衡解(n,y); 4)判断‖-y‖≤∈是给定的正小数,若成立,则转5);否则,按式(8)修正Mk,转3); 5)计算两个目标值,若目标值已满足决策人的总体目标或子目标期望值,则输岀计算结果;否则,按照 总体目标或子目标期望值修正权值w,转2)。 算例 有一多目标离散控制问题的模型如下: 总体目标 (91) 分目标 mn/9=1x2(3)+1{2x()+x2(1)+m2(1)+3n(2)+2()+m3(2)} mn=2X2(3)+2{x2(2)+4x(1)+(1)+2n1(2)+(1)+3n2(2)} stX(k+1)=X(k)+u1(k)-3u2(k)X(1) 根据前面的研究,将式(9)转划为如下模型 MO6 总目标 m nJ ww 2w) (10) 子系统1: 目标 mm 1=w0+ ∑ MIk(ui(k) y(k)2+1 ∑L k(u2(k)+y2(k)) 2+(3)+x2(2)+()+i(1)、2(2)+n(1)+ (2)(11.1) 约束 X(k+1)=X(k)+u1(k)-3u2(k)X(1)=1,k=1,2 (112) 子系统2 目标 m n 2=J2+ (y1(k)-1(k))2+ 2 (y2(k)-u2(k)) (11.3) 约束 X(k+1)=X(k)+y1(k)-3y2(k)X(1)=1,k=1,2 (11.4) o1994-2009ChinaacAdemicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnk 18 系统工程理论与实践 1998年12月 式中,J2={3x2(3)+x2(2)+4x2(1)+y(1)+2y1(2)+y2(1)+3y2(2)} 选择初值如下: M=900,M2=300,L1k=800,L2=400,k=1,2;A=12,心=2;u1(k)=u2(k)=Q22,y1(k) (k)=+10,则计算结果如表1所示。目标值与权重变化关系如图1所示。由表1可知最佳目标值为J Q2892,此时权重为w1=8,w2=1,相应的控制变量、状态量及目标值为u(·)=(-Q3173,-Q0032), u2(·)=(Q2130,Q0320),X(·)=(1,Q0434,-Q0558),(1,J2)=(Q5996,20735)。 表1计算结果 权重 控制变量 状态变量 标值 u1(1) u1(2) u2(1) 2(2)x(2) X(3) 100 1.23690009101663Q106602621 006681.59162834505615 01672001350181601180287900671071 2093803429 10 Q28830008020310051010230058060092070102903 Q3173-00032021300032000434 0058059962073502892 03625-Q0040Q228100034-0046900531061682089802951 Q5004002720277400846-Q33270051708085222603632 1-05899009780458702588-09661-009181.85672860706490 0125-014330241708765 05206-1.82900223484654537210682 Q1-0039902511Q9441 05344-1.87250018509924676310904 0025-00033Q2854 1.0069 05757-20175-0004858309 1.1433 注:*为总体最优值 目标值 3 10 20 40 图1目标值与权重变化关系图 5结论 本文以线性二次型多目标离散控制问题为背景,研究了总体目标与各子目标非凸情况下控制策略的 o1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnk 第12期 多目标离散控制:一种对策方法 19 求解问题,提出了利用动态对策理论求解的方法。该方法不仅应用于非凸情形,也可应用于凸性情形,且对 目标的重视程度选择有指导作用。文中针对两个目标情形硏究,但研究结果容易推广到多目标控制冋题的 研究中。 参考文献 I LiDuan On the m in im ax so lution of multi le linear quadratic p roblem s iEee Trans auto. Contro l, 1990,35(10):11531156 2 Knargoneker Pp rotera A. M ulti le objective op tm al contro l of linear system s: the quadratic no m case iEEE T rans Auto. Control, 1991, 36(10): 14 24 3 LiDuan On general m ultip le linear quadratic contro I p roblem. IEEE Trans Auto Control 1993,38 (11):17221727 4 Gom ide F a and Cardarelli. l arge scale system s w ith multi le objectives: an in teractive nego tiation p rocedure, Autom at ica, 1991, 27(4): 691-697 5 Carva lho JR H& Ferreira PA V. M ult ip le criterion Contro 1: a convex p rogramm ing app roach auto matica,1995,31(7):1075~1029 (上接第7页) 6 Klir G J. App lied General System s Research(Recent D eve lopm ent and T rends). Plenum Press, new York, 1978 7 MesarovIc M D, M acko d and Takahara Y. Theo ry of hierarch ical, Multilevel System s A cadem ic Press. New York, 1970 8 Mesarovic M D. V iew s on General System s Theory. John Wiley, New York, 1964 9 M esarovic M d and Takahara Y. General System s Theory--M athem atical Foundation a cadem ic Press, New york. 1975 10 M iller J G L iv ing System S, Mc Graw -Hill, New York, 1978 11 Rapoport A. General System Theo ry(Essential Concep ts app lications), ABACU S Press, U 1986 12林福永,吴健中!一般系统结构理论及其应用(D.系统工程学报,1997,12(3):1~10 o1994-2009ChinaacAdemicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnk

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