论文研究-基于LS-SVM方法求高阶线性ODE近似解.pdf

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对于线性常微分方程,解析解方便定性分析和实际应用,然而大多数微分方程没有解析解。回归的方法被应用获取近似解析解,其中最小二乘支持向量机(LS-SVM)是目前为止最好的方法。但是该方法不仅需要对核函数求高阶导数而且需要求解一个大的线性方程组。为此,把高阶线性常微分方程转化为一阶线性常微分方程组,构建含有一阶导数形式的LS-SVM回归模型。该模型利用最小化误差函数去获得合适的参数,最终通过求解三个小的线性方程组获得高精度的近似解(连续、可微)。实验结果验证了该方法的有效性。
周水生,等:基于LS-SVM方法求高阶线性ODE近似解 2018,54(23)53 3边值问題求解 a=[a]∈R2N==Elg2…;as]1,k∈1,2 定义线性算子T -[r∈R t2) Iy:=y"-a1()y(t)-a2(t)y(t) 阶线性边值问题 B=[,],b=[6,],p=[ Ty=r2(0),atc, y(a)=p,y(c=q KK+ K ∈R 2N-1)×2N-1) 由线性微分方程具有叠加性,它的解可以由一个 K 咔齐次的特解和·个齐次的基本解组合而来应用解 K,=Yi+yo+IN-1/y, K=-yi, Ki=-y 析法的思想,边值问题(9)转化为两个初值问题: K12=-pD21+YoD,1, K,1=-D 1 1+D yo T=2(,a≤!≤c(=P,a(a=0 e K22=Y-Y: D22+>D2 Yo D2k-D22Yi+IN-1/y 乙=0,4≤C,v(a 这网个初值题的近但解为和0,若aCh h. h -1)×1 ∈R 通过线性叠加得到原冋题近似解: PeI h,/ER(N-1)x2 q-u(c) ●(12 y 为了求解双()和0,上面的初值向题(0和(1)2=-D26=…a∈R14=12 转化为如下方程组: Dn= diag ai)是以an=l)…a()∈R1x→,= l1=2,l2=a2(t)u2+a2(t)a1-r2(t 1,2为元素的对角阵。 t1(ax)=p,2(a)=0 (13 为了避免大规模求解线性方程(16),给出如下 01=2,y2=a(2+a2(),()=Q2(a)=1(14)变形: 以式(13)为例,近似解(1)=k(t)+,k=1,2的变形: Ka+HB-GAb=( Pa=f+GAp 求解过程如下。 Ha+P+b-p=p-H u-GA a(17) 构造LS-SⅴM优化模型: GA (+B=O lA=GA c220k+ mm ekek (15)这里P=K+HG+GAH+GG1,线性方程(16)分 解成三个小的线性方程(17)并求解,得到问题(15)的近 112c)+b 似解如下 ()L()a2C4)+b a()=(t)=∑an1(t,) ()V(t1,t)+ B1Yc(1, t +b1 0d()+b1-2=23…N 同理可以求出v(),利用线性叠加性得到问题(9)的近 a(4)+b2」10 似解(12)。 拉格朗H函数如下 (Ur, bk. er,s a P)-1\ Weiwu+ 高阶初值常微分方程近似解 对于高阶线性常微分方程,将其转化为一阶的常微 a1(y)-c2中 分方程组,构造 LS-SVM模型求解,为了方便,称此模型 L-LS-SVM。具体过程如下: amn)-42)(u4)+b)-n()-e2 给出类似于式(7)的m阶线仕时变系数常微分 方程 B(0(1)-b1-)-(m29 其中,是拉格朗日乘子,对变量求导得到KKT条 y()-∑an(t)y-()=() 件,之后消去变量e,e,k=1,2,整理后得到线性方程 a≤t≤c,y(a)=p,y(a)=p,l=2,3…,m(18 组,详细过程可以参考下一章。利用核函数标记(4)~ 为了避免对核函数求高阶导数,将上述线性常微分 (6),将线性方程组写成矩阵形式 方程转化为如下微分方程组 K dt=ym =ant),+r(t) (16) (19) G42 1(a)=p1,y2(a)=p2,…,yma)=pm,a≤t≤C 42018,54(23) Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 对丁间题(19),近似解50)=40+b,k=,2…,a=[122”gn∈RN1,a4=[…lg]∈RN1 m可以通过下面的LS-SVM模型获得: 1,2…,m=[,n2…,∈RN min wU W+ eke (20 D1千A∈R2E12…m (t;) 0 R=[1,B,…p习],b=[1b wm-1Tp( 0 p=[p1,P2,,p K am中()」 KAK、K K O(t, )+6 K, K K )+b K K +K 9(ti)+h Km1Km2Kmn3…K K ()+b K∈R m(N-1)xmN-DK=1+o+Im-1y, K=-yi K;=-平,Kn=-平3Dnk+YDmk-1,.k=1,2,…,m-1 n以()+bmp Kmk=-Dm1+Dmk+10,=1,2, 构造拉格朗日函数: Kmm=Vi-yoDmm+>Dn yi+IN-1y (2b,cm,,,)=5mm+5∑en 点=1 h, h, 0 a1(a24()-+1t)-b+1-c) oh ∈R a()->m((b)+b)-n(2- 00 h h ∑Ak(4)-b-p h=|平 y 其中B,是拉格朗日乘子 1.2 对拉格朗日函数求导数,得到KKT条件如下 k=1.2 aI =0→>℃U)k =>as(t)->a-10(t) hm =yo, -Dmy Cariama(ti 0(t)+Pep(41),o=0 ∈R al 0→B=∑a ai cl (N-1)×1 0:=0 0,=23,…,N,h=1,2.…m L 4=[n(2)…,am/()∈RN1,l=1.2 D=diga)是以a1=[a2…,a小∈R为元 au =0→7kd(1)-+:(t1)-b 素的对角阵。为了避免大规模求解线性系统(21),给出 2,3,…,N,k=1, 如下变形 a/ HB-GAb=f ax=0→0=tn(t)-∑amk(1)kt)+b Ha+ Imine+1lmmb=p→ (4)-Cm,i=2,3, =0 aL=0→pk=k91)+b,k=1,2,…,m Qa=f+Gap 之后消去变量℃k,ek,k=1.2,…,m,利用核函数标记(4) b=p-H a-G 2) T (6),整理后得到如下矩阵 kn B= ga K GAO 这里Q=K+HG4+GAH+GAG4为实对称矩阵。 (21)把线性方程(21)分解成三个小的线性方程(22)并求解, -G I 0b」L0 得到问题(20)的近似解如下 周水生,等:基于LS-SVM方法求高阶线性ODE近似解 2018,54(23)55 元=(t)= (tipo(t, t)+ 精确解 近似解 的y(4,)+b (23) t) 0.5 dt a1(t1,t)->ak-y8(t,t) ami ami(t ) Yo(t;, t)+32Yo(41, t)+b2 0.6 k=2.3 24) 近似解曲线 5数值实验 LS-SVM算法的性能依赖于核间隔参数σ和正贝 化参数。对于线常做分方程求解,山于没有目标 值,LS-SVM算法是无噪音。当γ取一个很大值时,损 失谈差将足够小,从而获得更高度的解,一股取y 值大于10。为了方便比较,无特別说明,实验中取200 (b)偏差实验 个测试点,参数y=10,n=。用于测试精度的观察 图1例1的数值实验 点来自精确值。近似解的精度通过均值平方误差 52高阶线性常微分方程 MSE=M>(y)-yt)最大绝对误差y(t)-y川 两个例子被给出验证 L-LS-SVM方法的有效性,并 和文献10中的方法做比较,说明两种方法得到近似解 =12…M、标准差STDm=∑(y)-50)来精度相当,具休结果见下面的实验和潋据。 测量,这甲M为测试点的个数 例2考虑二阶时变系数的常微分方程 通过一个边值问题和两个高阶初值问题的常徵分 ,-y=,∈[L2y(1)=2,y(1)=1 方程来验计 L-LS-SVM方法的有效性,并和文献[10做 了比较。 MATLAB2014用于实现代码所有计算都在转化为如下方程组:y=y22x31少=2,y1)=1, Intel- core 17-4790CPU和8.00GBR∧M的 Windows7 该方程的解析解为:)=1+2。 系统上进行。 5.1边值问题常微分方程求解 图2是例2的数值实验,在区间[1,2内取10个等距 例1考虑边值问题线性常微分方程: 的训练点,图2(a)为近似解和精确解在区间內外对比曲 y"=-y+4y+122-3,0≤t≤1,y(0)=0,(1)=2 线,图2(b)为近似解和精确解在区间内的偏差E(t) 该边值冋题的精确解为y)=t+t,利用叠川原理,把 精确解 上述边值问题转化为两个初值问题的做分方程: 8日-近似解 =-n'+4+122-3t,0≤t≤1,l0)=0,t(1)=0 6 x"=-+4v,0≤≤1,v0)=0,①)=1 并再次转化为下面两个微分方程组: 1= 1.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.0 l2=-12+41+12x2-3t,12=-tu2+4v (a)近似解曲线 1(0)=0,u(0)=0.,1<l≤2{乙(O)=0,2(O)=1.0≤≤1 利用LS-SVM算法分别求出这两个线性常微分方程组 的近似解a(t)和v(t),最终利用线性叠加性得到原问 2-u1(1) 题的近似解y(t)=l1(t)+ 2(1) 图1是例1的数值实验,在区间[0,1]内取10个等距 的训练点,图1(a为近似解和精确解实验对比曲线, 1.4 图1(b)为近似解和精确解的偏差值E()=y(1)-5) (b)偏差实验 表1给出了训练点多少对近似解精度的影响 图2例2的数值实验 562018,54(23) Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 y1)-()图3当y=10时给出了核间隔参数a对近 2501櫝确解 似解精度的影响曲线。表1给出了训练点多少对近似 200近似解 v2() 解精度的影响。文献[中的方法是H前求近似斛最 好的方法,因此一个详细的比较在表2中给出 l00 y1{ 0.51.01.52.02.53.03.54.0 a)近似解曲线 108 例2 例3 0 图3初值问题的核两数间隔参数σ的敏感性实验 表1训练点多少对yt)的MSF影响 3.0 20 l60 320 例17.13×10-09.09×1021.511013852×101 (b)偏差实验 例2101×107162×(031141012218×1 图4例3的数值实验 例38.14×10820×101.14×1016.41×101 种方法得到近似解精度相当。将来该方法可以推广求 表2两种方法误差比较 解任意阶线性常微分方程组。 方法 ly-y‖ MSE STD 2LLS.SVM6.40×10-41.01×1072.10x10 參考文献 文献[10629×1041.10×1071.86×104 [1] Butcher J C Numerical methods for ordinary differential 3L-LS-SVM3.04×10-45.63×1085.57×10 例3文献[103.60×1046.50×101.30×10 equations in the 20th century[M][S1.: Elsevier Science Publishers. 2000 例3考虑一阶时变系数的常微分方程: [21 Diver D A Applications of genetic algorithms to the y"+ty”+(t+1)y+(t-1)y=24+12x3+4(+1r+(t-1 solution of ordinary differential equations J]Journal of Physics A General Physics, 1993, 26(14): 3503 y(O)=0,y(0)=0.y(0)=0,t∈0,3 [31 Ramuhalli P, Udpa L, Udpa s s Finite-element neural 把上面的常微分方程转化为微分方程组 networks for solving differential equations [J]IEEE Trans- y1=y2y2=yy3=(-1)y:-(+1)y2-4y3+ actions on Neural Networks, 2005,16(6): 1381-1392 (+1)y32+24+12r2+4(+12+(t-1)x 4 Tsoulos I G, Gavrilis D, Glavas E Solving differential equations with constructed neural networks J]. Eurocom ,y3 puling,2009,72(10/12):2385-2391 原方程的精确解析解为y)=t。图3当y=100[5] Mcfall ks, Mahan r. Artificial neural network ime 时给出了核间隔参数σ对近似解精度的影响曲线。 Tor solution uf boundary value problems with exact satis 图4在区间[,3内取30个等距的训练点,图4(a) Taction of arbitrary boundary conditions[J].IEEE Transai 为近似解和精确解在区间内外对比曲线,图4(b)为近似 Lions on Neural Networks. 2009, 20(8): 1221-1233 解和精俯解在区间内的偏差E()=t)-y),具体实验] Yazdi h s, Pourreza R Unsupervised adaptive neural fuzzy inference system for solving differential equations[J] 数据以及与文献「10的比较在表2中给出。 Applied Soft Computing, 2010, 10(1): 267-27 [7] Sadoghi Yazdi H, Pakdaman M, Modaghegh H Unsuper- 结束 vised kernel least mean square algorithm for solving 对于高阶线性常微分方程,应用 LS-SVM方法求解 ordinary differential equations [J]. Neurocomputing, 2011 时,需要对核函数求高阶导数,为此将高阶线性常徴分 74(1213):2062-2071 方程转化为阶线性微分方程组,构建LS-SVM模型去 [8 Vapnik v NThe nature of statistical learning theory [M 求解该线性微分方程组,从而遥免了对核函数求高阶导 New York Springer-Verlag, 1995 数=对于边值题,利用解析的方法将它转化为两个初9 Suykens J K, Vandewalle J. Least squares support vector machine classifiers [J]. Neural Processing Letters, 1999 值问题的微分方程组求解。实验结果证明了L-LS-SVM 9(3):293-300 方法的有效性,并和文献[0屮的方法做比较,说明两 下转第73页)

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