论文研究-一种新犹豫模糊符号距离及其应用.pdf

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论文研究-一种新犹豫模糊符号距离及其应用.pdf,  研究了属性权重部分已知的犹豫模糊多属性决策问题.针对犹豫模糊元中为便于计算添加的多余数值影响方案排序等问题,提出一种新的犹豫模糊决策方法.首先,提出一种新的犹豫模糊元得分函数与犹豫度.基于此,构造一种新的犹豫模糊符号距离,对犹豫模糊元中添加的多余数值具有很好的鲁棒性.其次,基于max-min算子思想,建立属性权重优化模型.最后,将新的犹豫
444 系统工程理论与实践 第39卷 为h犹豫度,其中 2 犹豫度Hh)貝有如下性质28 性质1h={x1=1,2,……,ln}为犹豫模糊元,h=U∈h{1-}为其补集,则 1)0≤H(h)≤1; 2)H(b)=H(h°) 基于犹豫度,文②28]定义了犹豫模糊符号距离测度 定义428设h={2=1,2,…,ln}为犹豫模糊元,为其中第i小的元素,ln为h中元素个数,1 为理想点犹豫模糊元,称 (∑ ds(, 1) (1-01)+7u)>62=1 1 犹豫模糊符号距离具有如下性质y2,1),则h1<h2;若ds(h1,1)=ds(h2,1),则h=hx 性质2设h,h1,h2为犹豫模糊元,1为理想点犹豫模糊元,则 1)0≤ds(h,1)<1; 2)h=1当且仅当ds(h,1)=0 3)h1比b2离1更远当且仅当ds(ha1,1)>ds(h2, 为克服现有犹豫模糊元比较方法的缺陷,文献[22]提岀一种犹豫模糊字典序法,可去除为方便计算而增 加的多余数值产生的影响.首先,定义一种犹豫模糊元的连续偏差函数 定义52设h={x=1,2,…,n}为犹豫模糊元,γ2为其中第小的元素,1为h中元素个数则 (h)=∑(1+1)-70) 为犹豫模糊元h的连续偏差函数.其中φ:[0.1]→[0,1为单调递增函数,且0)=0. 连续偏差函数4(h)允许犹豫模糊元h中增加多余数值,而不影响其偏差值.可取(t)=t,p>12 例12一个含有五人的决策组织讨论元素m属于某个集合的隶属度决策者对其隶属度不确定在0.1, 0.3,0.3,0.3,0.5之间犹豫不决.此时,决策组织的犹豫情形可通过犹豫模糊元h1={0.1,0.3,0.3,0.3,0.5} 表示基于集合论视角,犹豫模糊元h1={0.1,0.3,0.3,0.3,0.5}可以分别表示为h2={0.1,0.3,0.30.5}与 h={0.1,0.3,0.5},即允许添加犹豫模糊元中任意一个值.因此,犹豫模糊元h1,h2,h3应有相同排序值.根 据定义5,其连纹偏差为v(h1)=(h2)="6(h)=0.8,其中p=2 基于犹線模糊元的得分函数与连续偏差哟数,文②2定义了犹豫模糊元字典序法 定义622设b={22=1,2,…,n}为犹豫模糊元,γ2为其中第i小的元素,n为h中元素个数,则称 R(h)=(s(b),(1b) (6) 为犹豫模糊元的排序向量.其中s(劢)为犹豫模糊元h的得分函数,按式(2)计算、(h)为犹豫模糊元h的 连续偏差函数,按式(⑤5)计算.对犹豫模糊元h1={1|2=1,2,…,lh1},h2={212=1.2,…,h2},其字典 序为 1)h1<h2当且仅当R(h1)<lerR(h2) 2)h1≤h2当且仅当R(h1)≤eR(h2); 3)如果h1=h2,则R(h1)=enR(h2) 对例1中的犹豫模糊元h1-{0.1,0.3.0.3,0.3,0.5},h2-{0.1.0.3,0.3.0.5},ha3-{0.1,0.3,05}采用字 典序法可得:R(h1)=R(h2)=R(h3)=(0.3,0.08),其中(1)=t212,则h1=12=h3,符合集合特点然 而,当其余元素重复出现时,排序将发生变化.仍然采用例1,若决策者对x属于某个集合的隶属度,在0.1 第2期 刘小弟,等:一种新犹豫模糊符号距离及其应用 445 0.1,0.1,0.3,0.5之间犹豫不决时,可通过犹豫模糊元h1={0.1,0.1,0.1,0.3,0.5}表示此情形.基于集合论视 角,犹豫模糊元h1也可以分别表示为h2={0.1,0.1,0.3.,0.5}与h3={0.1,0.3,0.5},即h1,h2,h3应相同,但 根据字典序法:R(h1)=(0.22,0.08),B(h2)=(0.25,0.08),R(h3)=(0.3,0.08),因此,h1<h2<h3.同样地, 若在0.1,0.3、0.5,0.5,0.5之问犹豫不决时,可通过犹豫模糊元h1={0.1,0.3,0.5,0.5,0.5}表示此情形.基 于集合论视角,犹豫模糊元h1也可以分别表示为h2-{0.1.0.3,0.5,0.5}与h3-{0.1.0.3,0.5},根据字典序 法:R(h1)-(0.38,0.08),R(h2)-(0.35,0.08),R(h3)-(0.3,0.08),因此h1>h2>ha3.即添加多余数值时, 字典序法不仅不能保证其排序向量相同,而且随着添加的不同元素的增多,其排序结果也发生了变化.为克 服此缺陷.本文提出一种新的排序法,遵循集合论特点,对犹豫模糊元中增加的多余数值具有很好的鲁棒性 3主要方法与结论 3.1新犹豫模糊符号距离 为有敚度量决策者的犹豫程度,同时遵循集合论的特点,即允许集合中添加多余数值而不影响决策结果, 本节基于决策信息特征提出一种新的得分函数与犹豫度,并构造一种新犹豫模糊符号距离公式用于求解多属 性决策问题.首先,给出一种新的犹豫模糊得分函数 定义7设h={1=1,2,…,}为犹豫模糊元,为其中第小的元素,1为h中元素个数,则 i=I count(rii)) SNI lh i-I count(yi)) 为犹豫模糊元新的得分函数.其中con()为计数函数表示犹豫模糊元h中元素γ出现的次数当犹 豫模糊元h中的元素均出现一次时,式(7)退化为式(2) 新的犹豫模糊得分函数sN(h)具有如下特点 命题1为便于计算,在犹豫模糊元h中添加多余数值,新的得分函数N(h)值不会发生改变 证明设犹豫模糊元h={2|4=1,2,…,ln},假设?出现mz(i=1,2,…,bn)次,即 次 次 m次 则 sN(h) LL L) m2 rr. Lh rlh (n+-+…+)+(n+-+…+ +∴∴+ (1)+(2)+…+2(4)m2 m2 t 犹豫度体现了决策者间的分歧程度,文[28基于元素间的偏差给出一种群体犹豫度公式,文⑨根据元 素个数测算犹豫度,两种测度方式从不同角度定义犹豫度,但是只考虑元素的某一方面,且随着犹豫模糊元 中添加的元素增多,其犹豫度值也发生改变.为此,下面给出一种新的犹豫度公式 定义8设h={|=1,2,…,h}为犹豫模糊元,为其中第讠小的元素,h为h中元素个数,则其 犹豫度为 INCh )+1 :=1c01ny(5 其中o()按定义5表示, count(()为计数函数,见定义7.当犹豫模糊元h中的元素均出现一次时,式(8) 退化为 H()=5∑ HN(λ)同时考虑了犹豫模糊元素的偏差与个数,即随着元素间的偏差越大,元素个数越多.其犹豫程度越高. 犹豫度Hx(h)满足性质1 446 系统工程理论与实践 第39卷 证明1)0≤HN(b)≤1显然成立 )因为d(+1)-(0)=d(1-()-(1-1(+1), count(()=cont(1-(),所以 HN(h) ∑(+1)-1①)+1 =1cont((2)) ∑(1-0()-(1-1(+1)+1 =1 count(1-(2) HN(h) 犹豫度HN(h)通过元素的偏差与个数测算群体分歧程度,且允许添加多余数值而不改变犹豫度值 命题2为便于计算,在犹豫模糊元h中添加多余数值,新的犹豫度HN(h)值不会发生改变 证明设犹豫模糊元h={2|-1,2,…,n},假设γ2出现mz(-1,2,…,ln)次,即 1= h 次 次 次 则 +…+m)+(m+m-+…+m)+…+(m-+m-+…+ +1+…+1∑m1on1 因此、 H)=|∑ (t+1) l )+1 ( )+1 =1cont(()」 i=1 =1cont((2) 基于新的得分函数与犹豫度,下面给出一种新的犹豫模獭符号距离 定义9设h={η2=1,2,…,ln}为犹豫模糊元,?为其中第i小的元素b为h中元素个数,1为 理想点犹豫模糊元,则称 dN(h, 1) ,1 ∑9n(-1)-1()+1 i=l countly( (1-1) 为由h到1的符号距离.若dN(h1,1)>dN(h2.1),则l1<l2;若dN(h1,1)=dv(,1),则l1=l2.当犹 豫模糊元λ中的元素均出现一次时,式(10)退化为: ∑ + +1 lh.>1 dN(, 1) 2(1h i=1 (11) (1-) 犹豫模糊符号距离dN(h,1)满足性质2. 证明1)0≤dN(h,1)=是(1-sN(h)+HNx(h)≤号(1+1)=1; 2)当h=1时,dN(h,1)=是×(1-1)=0;当dN(h,1)=0时,8x(h)=1且HN(h)=0,此时可得 1,即h=1 3)显然成立 与现有犹豫模糊符号距离相比,dN(h,1)同时考虑了犹豫模糊元中的元素偏差与个数,能更加充分利用 决策信息.并且遵循集合论的特点,即对于犹豫模糊元中添加的多余数值不会影响其排序值 第2期 刘小弟,等:一种新犹豫模糊符号距离及其应用 447 命题3新的犹豫模糊符号距离dN(h,1)、允许犹豫模糊元中添加多余数值而不改变其符号距离值 证明山命题1与命题2可直接得证 对于例1中的犹豫模糊元h1={0.1,0.3,0.3,0.3,0.5},h2={0.1,0.3,0.3,0.5},h3={0.1,0.3,0.5},根据 本文提出的符号距离公式,可得dN(h1,1)=dN(h2,1)=dN(h3,1)=0.535.若添加0.1,可得dN(h4,1) dN(h5,1)-dN(h6,1)-0.535.同样地,若添加0.5,其符号距离值仍然不变.可见,本文提出的犹豫模糊符 号距离法比文②2中的犹豫模糊字典序法更能符合集合论的特点,即可以保证犹豫模糊元中添加多余数值 而不改变其排序. 32属性权重确定方法 对属性值为犹豫模糊元的多属性决策问题,假没方案集、属性集分别为Y={Y,Y2,…,Ym},G {G,G2,…Gn}属性权重向量为W=(n,2,…,wmn),;∈|0,1∑=1;=1.并设M=(hy)mxn 为决策矩阵,其中h(=1,2,灬…,m,j=1,2,…,m)为犹豫模糊元,表示方案Y满足属性G;的程度 由于决策情形及客观条件的限制,属性权重信息往往难以确定.目前属性权重的确定方法主要有主观 客观及主客观相结合的方式,这些方法各有其特点本文基于 maX-min算子思想2,3及新的犹豫模糊符号 距离,并根据决策者对属性权重的偏好信息,建立属性权重优化模型.属于主客观相结合的定权汽畴,既考荩 了决策者主观偏好,又兼具客观性的特点假设决策者提供的属性权重信息集为△,常常具有以下特点B2: 1)弱序{≥w;};2)严格序{2-m≥a,az∈R+};3)差序{;-0;≥k-m,≠k≠l};4)倍序 {2≥a,az∈R+};5)区间序{a;≤≤a+En,a,e∈R 犹豫模糊符号距离dN(h,功)体现了犹豫模糊元与主理想元的距离.dN(h,1)越小,方案与主理想元就越 接近,从而方案越优.同时,基于 max-min算子思想293,构建如下属性权重优化模型 mn ∑(h;,1≤ 12, M-1) T 其中∈[0,1辅助变量,△为属性权重先验信息集,w=(1,2,…,wmn)2 Lingo或 MATLAB软件,可求得最优属性权重向量+=(1,m2,,22/2c△为属性权重向量.通过 定理1若模型(M-1)的可行域非空,则存在最优解v*=(01,2,…,vn) 证明模型(M-1)为线性规划的数学模型.若其可行域D存在,则其可行域为凹集且其基本可行解v 在D的某个顶点取得.另外,可行域D为有界集.因此,可以在可行域D的某个顶点上取得最优属性权重 向量vy*=(v1,2,…,tn 最后,计算每个方案Y1(=1,2,……,m)的加权犹豫模糊符号距离: 1)=∑d(b;,i)m (12) 根据dN(Y,1)(=1,2,…m)对方案进行排序,dx(Y,1)越小,方案越优 33决策步骤 基于以上分析,下面给出其体的决策步骤 1)决策者根据不同属性对各方案进行测度,得到犹豫模糊决策矩阵M=(hzy)mx×n 2)根据(M-1)建立属性权重优化模型,并通过 Lingo或 MATLAB软件求得最优属性权重向量*= (v1, 3)根据式(12)计算出每个方案Y(i=1,2,…,m)的加权犹豫模糊符号距离dv(Y,1),并根据dN(Y,1) 对方案Y进行排序 本文提出一种新的犹豫模糊符号距离,并将其应用于求解犹豫模糊多属性决策冋题.首先,为了充分利 用决策信息,基于犹豫模糊元中元素的个数与偏差提出一种新的犹豫度,用以度量决策群体的分歧程度.若单 448 系统工程理论与实践 第39卷 独考虑元素个数或偏差只是关注决策信息的某一方面,未能全面反映决策群体的这种犹豫程度.另外,基于新 的犹豫度提岀的犹豫模糊符号距离遵循集合论的特点,可以允许犹豫模糊元中添加多氽数值而不改变其排序 结果 4算例分析 为了说明本文方法的优势,采用文献②22中的算例进行比较说明.某企业董事会由5名成员组成决定 对企业的下一个五年发展进行规划.假设有四种方案Y(i=1.2,3,4)可供选择,并考虑在四个不同属性下 的表现情况:G1:财务支出,G2:顾客满意度,G3:国际商业前景,G4:学习与成长前景.为了获得最优方案, 董事会成员首先给出各方案在不同属性下的评价值 表1犹豫模糊决策矩阵M=(h;)4×4 G Y1[0.2.0.4,0.7}{0.2,0.6,0.8}{0.2,0.3,0.6,0.7,0.9}{0.3,0.4,0.5,0.7,0 Y2{0.2,0.4,0.7,0.9}{0.1.0.2,0.4,0.5}{0.3.0.4,0.6,0.9}{0.5,0.6,0.8,0.9} Y3{0.3,0.5,0.6,0.7}{0.2.0.4,0.5,0.6}{0.3,0.5,0.7,0.8}{0.2,0.5,0.6,0.7} {0.3.0.5,06} {0.2,0.4} {0.5,0.6,0.7} {0.8,0.9} 具体的决策过程如下 1)董事会成员对每个方案Y(=1,2,3,4,5)按照各属性G;(=1,2,3,4)进行测度,获得犹豫模糊决 策矩阵M=(h23)4×4,见表1.如h11={0.2,0.4,0.7}表示在属性G1财务支出方面,董事会的成员有三种 不同观点,即对方案Y1满足属性G1的程度有0.2、0.4及0.7,表明董事会成员意见出现分歧 2)根据式(11)计算犹豫模糊符号距离dN(hn,1),其中(2+1)-1(0)=((2+1)-(0)212.假 设属性权重信息△-W-(v1,2,03,04)14>w2≥w1≥u3≥0.1,0.4≥w4≥0.3,4-3 3∑=10=1},根据模型(M-1), min e st.0.48251+0.452+0.46753+0.44754≤6, 0.4551+0.55252+0.44753+0.352504≤6, 0.444+0.4902+0.422503+0.46504≤6, 0.44581+0.4852+0.37173+0.202504≤6, 04>2≥01 3≥0.1 4≥4≥0.3,04-t3≥0.3, 巾 Lingo软件求得最优属性权重向量:W=(0.25,0.25.0.1,0.4)r 3)计算每个方案Y(=1,2,3,4)的加权犹豫模糊符号距离: dN(Y1,1)=0.4589,dN(Y2,1)=0.4376,dN(Y3,1)=0.4608,dN(Y4,1)=0.3509, 则Y4}Y2Y1Y3,因此方案Y4最优 文献22采用加权字典序法对方案进行排序 n2(Y)-∑1(5(h(x),to(h(x) 0s(h(x7).∑(h(x-) (13) =1 为便于比较,采用本文求得的属性权重向量W=(0.25,0.25,0.1,0.4),则 R(Y1)=(0.5117,0.1225),R2n(Y2)=(0.5475,0.0955), R2(Y3)=(0495,0.083),Rn(Y4)=(0.5917,0.0285) 因此,Y4>Y2>Y1xY3.与本文方法所得结果一致,说明本文方法的有效性.但是,犹豫模糊宇典序法并不 满足集合论要求,尤其当犹豫模糊元中添加多余数值时,各方案的排序值发生了变化,见图1 第2期 刘小弟,等:一种新犹豫模糊符号距离及其应用 449 0.636 0.6 0.544 0499 一方案加权连续僱差 0.443 一一未添加元素的方案加权 得分函数 0 一添加最小元素后的方案 加权得分函数 ←添加最大元素后的方案 加权得分函数 0.1 09955 0.083 Y1 Y2 Y4 图1方案的排序值 当犹豫模糊元中添加多余数值时(如添加其中的最小值或最大值,使得待计算的犹豫模糊元个数相同), 方案排序向量Bn(Y)中的加权连续偏差∑=11(h(x)未变化,但加权得分函数∑=128(h(axy)会随 着添加元素的不同而发生变化.而本文所提方法满足集合论特点,可以允许犹豫模糊元中添加多余数值而不 影响其排序.因而,所得结果更加合理可靠. 文献[17]根据决策者的不同风险态度,利用 TOPSIS方法对方案进行排序.为便于比较,采用本文方 法获得的属性权重进行计算,决策结果见表2.当决策者的风险态度发生变化时,方案的排序也发生了变化 造成这种变化的主要原因在于,计算时需根据决策者的风险态度,即在含有元素少的犹豫模糊元中添加元索, 使得待比较的犹豫模糊元所含元索个数相同.当添加的元素较多时,会最终影响到方案的排序.而本文方法 不会随着元素的添加而改变方案排序,因而具有很好的鲁棒性 表2不同风险态度下的决策结果 风险态度决策方法 方案排序 风险偏好 TOPSIS Y4>Y2xY1x¥3 本文方法Y4>Y2xY1>Y3 风险巾之 TOPSIS Y4Y2 >Y3>y1 本文方法Y4>Y2>Y1>Y3 风险厌恶 TOPSIS Y4Y22y3>Yi 本文方法Y4xY2>Yi>Ya 5结论 本文研究了犹豫模糊环境下属性权重部分已知的多属性决策问题.首先,指出犹豫模糊宇典序法的缺陷, 并针对犹豫模糊元中添加多余数值影响方案排序等问题,提岀一种新犹豫模糊符号距离.其次,基于 mim算子思想,建立属性权重优化模型,通过 Lingo软件求得最优属性权重.最后,根据加权犹豫模糊符号距 离对方案进行排序.本文方法满足集合论特点,在确定属性权重或对方案进行排序时,可以去除犹豫模糊元 中增加的多余数值产生的影响,因而应用范围更加广泛 叁考文献 1 Zadeh L A. 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