论文研究-两参数Pareto分布逐步首失效样本的Bayes估计.pdf

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论文研究-两参数Pareto分布逐步首失效样本的Bayes估计.pdf,  基于新的失效截尾模式——逐步增加首失效截尾, 研究两参数Pareto分布可靠性指标的Bayes估计问题. 在对称和非对称损失下, 获得了可靠性指标的Bayes估计. 对超参数未知情形, 利用一种新方法给出超参数估计. 为了研究估计结果的精确性, 利用Monte-Carlo方法给出一个数值模拟例子.
2500 系统工程理论与实践 第32卷 在实际生产实践中,过高估计和过低估计对实际所造成的影响是不尽相同的,而对称损失,如平方损失 等,给出的估计往往与实际有所偏差.比如,过高估计在实际中带来的损失往往大于过低估计.为了更加客观 的措述现实情况,人们引入了非对称损失函数的概念,而 Linex损失正是近年米使用较多的一类非对称损失 函数,受到众多学者和实际工作者的育睐,其形式如下 L(6,0)=e6-0O)-c(6-() 这里δ是φ(6)的估计量.山 Linux损失函数的定义可以看到:当c<0时,过低估计所造成的损失大于过高 估计;当c>0时,结论正好相反;当c→0时,非对称 Linex损失函数渐近趋于均方损失函数,且是渐近对 称的 根据最小风险准则,在 Linex损失函数下的估计量为 BL InJE (9) 这里E()表示参数的后验期望 由(9)和后验分布(6)()知,β,θ,R(t)和H(t)在 Linex损失函数下的 Bayes估计分别为 P(a;+A;) +1 BL ∑Pe“(m)d (a;+c+A) Bl e rbl(t) /∑ c aR(ti 1:x)d3 ∑∑ +A,)+1[ j=1k=0 ki! (ai+ Ai+kln t-kIneit n(0)=∑enon(1,)d3=-m P;(ax;+A;)m+1 0 (ai+Aj+c/t m+ 在实际生产实践中,广义熵损失函数( general entropy,GE)是另外一种常用的非对称损失函数,其定义 如下 (i,u) l 这里表示表示w的估计量.GE损失也是一类应用非常广泛的损失函数.由广义熵损失的定义可以看到, 当q>0时,过高估计所造成的损失大于过低估计:当q<0时,有相反的结论.w的Baye估计uBc为 E 1/q 由(10)和后验分布(6)(7)知,B,6,R(t)和H(t)在GE损失下的 Baves估计分别为 1/q 1/q ∑PB"m(0,x)d Pir(m-q+1) (m+1)(a;+A1) P q (m+1 ∑PR(t)r(b,x)d P(1+ qIn t 0 A 1 HG;() ∑PH?(x'(B,nd0 Pir(m-q+1) T(m+1)(a;+A) 23超参数估计 在实际中,超参数σ;在很多情况下未知,从而导致上述Byes估计无法使用,所以有时需要确定超参数 的值.经典的极大似然方法是选取合适的参数什计值使得似然函数达到最大,这种方法适用于众数,即分布 密度的极大值点,代表了随机变量在样本中的具体表现.在贝叶斯方法中,利用期望和极大似然估计来估计 第11期 王亮,等:两参数 Pareto分布逐步首失效样本的 Bayes估计 2501 未知参数,可以合理的利用先验信息,是一种有效的估计方法1-12.本文利用生存函数及其期望来给出超 参数的估计 由(3)式,逐步增加首失效样本X=(X1,X2,…,Xm)的对数似然函数为 L(0,0)mln/+kmn∑(2+1)-k∑(r2+1) 参数和θ的极大似然估计为 BM=m k2(r:+1)(n X:-In Xi, BM=X1, 从而,生存函数P(t)和失效率Ⅱ(t)的极大似然估计BM(t),I1M(t)可表示为 RM(O=BM H()=0 (11) R(t)的期望FR(t)为 eR(t) 0t-6m(G63)d +In t-In g (12) 由式(11),(12),给定t的值to,令Ra(to)=ER(to)可得a的估计为 a;=(1nto-ln6,){x"tox-1],=1,2, 3数值模拟 木节给岀两参数 Pareto分布在逐步增加首失效截尾试崄卜的数值模拟例子,并硏究估计结果的精确性, 取β=0.9,6=1.6,n=12,m=5,k=2,利用文献[3]提供的算法产生逐步增加首失效截尾样本,如 表1所示.取N=10,to=3,给定θ3,m的值,由表1数据及极大似然估计得到:,M,从而获得θ;的 值同时计算出a,A1,P3,j=1,2,…,N,如表2所示;进一步可得参数及可靠性指标的 Bayes什计,如表3 所示 表1逐步增加首失效截尾样本(m-12,m=5,k-2) X:m:m:k1.66351.84193.0396.316214.1851 0 表2先验分布参数及后验概率值(n=12,m= 4 9 10 1 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.7 2.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 a33.872436.159938.248240.169241.947843.603645152546607547.979350.5080 A;29.93927.651525.563223.642221.863620.207818.658917.203915.832113.3034 P0.07980.08520.09020.09470.09890.10280.10640.10980.11310.1191 表3不同损失函数下指标的 Bayes佔计(n-12,m-5,k=2,t-3) 损失函数 R(t) 参数真值 0.9 1.6 0.5679 0.3 MLE 0.2821 1.6638 0.8467 0.0943 平方损失 0.6401 1.7962 0.4121 0.3134 Linex损失 0.8781 1.7192 0.6385 0.5142 GE损失 0.8158 1.7016 0.8121 0.4801 注:这甲取c=1,q=2. 为了检验估计的精度,做1000次重复模拟试验数据.利用下面的式子给出两种损失函数下各指标B 估计量的估计风险: 100 ER(a) 这里,ψ,ψ分别表示指标的 baves估计量及其真值.估计风险结果见表4 2502 系统工程理论与实践 第32卷 表4两类损失下可靠性指标佔计风险(t=1.5,c 均方损失 截尾策略R R(t) H(t) 20 (15,0,0,00)0.41250.34090.65170.5118 (0.0,0.0.,15)0.63820.55480.71830.7538 (555,5,5)0.7910.55980.97230.5196 10(10.0,…,0,0)0.12110.09940.33920.1008 (0,0,…,0,10)0.40170.26580.57600.4328 (20,,2,0)0.27010.20310.49890.2018 (15,0,0,0,0) 0.3309 0.27130.38840.4718 (00,0,0,15)0.53160.6115080010.6351 (5,5,5,5,5 0.81790.4628 0.61430.5917 10(10,0,…0,0)0.07740.17810.13920.0998 (0,0,…,0,10)0.29890.35620.37290.3928 (2,0,…,20)0.20740.30430.24560.3111 Linex损失 截尾策略R R(t) k H(t) m (15,0,0,0,0 0.31760.20040.57820.3218 (0,0.0,0,15)0.55370.45230.71010.5889 (5,55.5,5) 0.30760.33990.63410.4518 10(10,0,…,0,0)0.06560.13210.07170.0918 (0,0,…,0,10)0.25140.55790.31170.2612 (2,0,…,20)0.13210.21210.29900.1118 (150,0,0,0)0.17620.10930.15270.1805 (0.0,0,0,15) 0.2909 0.5101 0.5802 0.6122 5,5,5,5,5 0.19990.44150.51600.4711 10(10,0,…,0,0)0.05600.54540.09670.3018 (0.,0,…,0.,10)0.16410.14340.13710.1248 (2,0……,2,0)0.09870.12930.11170.0819 GE损失 截尾策略R R(t) H(t) (15,0,0,000.6121 31770.1527 (0.0.0,0,15) 0.9607 0.7013 0.8526 0.5148 (5,55,5,5 0.72190.5665 0.4591 0.2292 0(10,0,…0,0)0.08970.05630.07090.0628 (0,0,…,0,10)0.56560.36780.24260.1135 (2.0,…,20)0.12210.17370.16040.0849 20 (15,0.0.0,0)0.43210.59620.23260.2112 (0.0.0,0,15)0.85260.85010.70950.6188 (5,5,5,5,5)0.54150.66570.46060.2332 0(10.0,…,0,0)0.07650.20900.08590.0763 (0,0,…,0,10)0.40260.54020.22090.1845 (2,0,,20)0.37210.33330.17110.1048 从表3可以看出,,0,R()和H(t)的 Bayes估计均优于相应的极大似然估计,体现了 Bayes方法的优 点从表4可以看到,在不同的m,m,k下,不同的试验策略具有不同的估计精度,并且随着n:m的提高,参 数及可靠生指标的精度随之提高 4结论 两参数 Pareto分布模型作为一种寿命模型,近年来受到统计学家和实际工作者的广泛关注.本文在一类 新的截尾寿命试验下讨论了参数及可靠性指标的估计问题.利用 Bayes方法分析来自 Pareto分布的逐步增 第11期 王亮,等:两参数 Pareto分布逐步首失效样本的 Bayes估计 2503 加首失效样本,综合了数据信息和历史经验信息,体现了 Bayes方法的特点和优点.将不同损失函数下参数 的 Bayes估计与其真值进行比较,数值模拟结果表明非对称损失比对称损失函数更具灵活性,体现了 Baves 方法的优良性.对于先验分布和超参数的确定,理论和数值模拟结果表明,本文使用的估计方法是有效的.同 时,对于不同的k值,数值模拟表明统计分析具有类似的估计精度,但增加了试验旳灵活性,可为工程实际提 供参考 金考文献 1 Lawless J F Statistical Models and Methods for Lifetime DataMM. 2nd ed. New York: Wiley, 2003 2 Balakrishnan N, Mi J Existence and uniqueness of the MLEs for normal distribution based on general progres- sively ly pe-II censured sainplesJ. Statistics Probability Letters. 2003, 64: 407-414 3 Balakrishnan N, Kannan N, Lin C T, et al. Point. interval estimation for Gaussian distribution, based on progressively type-II censored samplesJ. IEEE Transactions on Reliability, 2003, 52: 90-95 4 Ali Mousa M A M, Jaheen Z F Statistical inference for the Burr model based on progressively censored dataJ Computers and Mathematics with Applications, 2002, 43: 1441-1449 5 LiX C, Shi Y M, Wei j Q, et al. Empirical Bayes estimators of reliability performances using Linex loss under progressively type-II censored samples(J. Mathematics and Computers in Simulation, 2007, 73: 320-326 6〗玊亮,师义民.逐步增加Ⅱ型戳尾下比例危险率模型的可靠性分析[J.数理统计与管理,2011,30(2):315321. Wang L, Shi Y M. Reliability analysis of proportional hazard rate model under progressively type-ll censored samples[J. Journal of Applied Statistics and Management, 2011, 30(2):315-321 7 Balakrishnan n, Aggarwala R Progressive Censoring: Theory, Methods, alld ApplicaLiUIIs[M. Bosloll: Birkhauser 2000. 8 Davis H T, Felstein M L. The generalized Pareto law as the model for progressively censored survival dataJ Biometrika.1979,66:299306 9 Howlader H A, Hossain A M. Bayesian survival estimation of Pareto distribution of the second kind based on failure-censored data[J. Computational Statistics Data Analysis, 2002, 38: 301-314 10 Wu S J, Kus C. On estimation based on progressive first-failure-censored sampling[J. Computational Statistics & Data Analysis,2009.53:36593670 1l Soliman AA Estimation of parameters of life from progressively censored data using Burr-XII modelJ. IEEE Transactions on Reliability, 2005, 54(1):34-42 12李凌,师义民,李明海.逐步增加的Ⅱ型截尾下冷贮备串联系统可靠性指标的 Bayes估计仃.工程数学学报,2007, Li L, Shi Y M, Li M H. Bayes estimators of the reliability performance for cold standby series systerm based on progressively type-II censored tests[J. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2007, 24(5 : 895-901 13 Balakrishnan N, Sandhu R A. A simple simulation algorithm for generating progressively type-II censored sam- The American Statistician. 1995. 49: 229-230

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