论文研究-单测控站测控任务可靠性仿真的高效方法.pdf

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论文研究-单测控站测控任务可靠性仿真的高效方法.pdf,  Markov模型及其直接仿真法在评价单测控站条件下的测控任务可靠性时都存在计算 复杂性的问题. 将强制法与失效偏倚法相结合, 用于测控任务可靠性的仿真. 在出现初始状态的情况下使用强制法将下一状态的发生时间限制在任务时间内, 在其它非吸收状态下使用失效偏倚法提高失效转移发生的概率, 并通过似然比将结合强制法与失效偏倚法得到 的仿真样
第6期 许双伟,等:单测控站测控任务可靠性仿真的高效方法 1387 Markov模型的不可靠度U的无偏估计量可写为 K ∑I(S) 与解析法相比,仿真法不需要生成整个ρ,只需根据当前状态生成其对应的概率转移行向量即可.由Mar- kov的性质可知在极短时问内, Markov链发生两次以上转移的概率为0.即与当前状态相比,下一状态仅改 变其中一个测控资源的状态,例如假设当前状态为010,下一系统状态仅可能为110、000或01.对于m个 部件组成的系统,当前状态卜的概率转移行向量中仅对应m+1个非零元素,其中n个对应着仅有一个测控 资源状态改变的系统状态,1个对应着系统当前状态自身.因此,在生成概转移行向量时可以在计算机中 仅存储行向量中的非零元素及其对应的状态,这将大大节约存储空间,从而避免了 Markov模型解析法对测 控资源数量m的限制 3测控任务可靠性仿真的结合强制法与失效偏倚法 31重要抽样法 Markoⅴ链模拟中的状态转移可分为失效转移和修复转移,失效转移指下一状态与前一状态相比至少有 一个测控资源失效,而修复转移则至少有一个测控资源被修复.在初始状态ⅹ1下,第一次状态转移全部为 失效转移.由于测控资源的失效率很低,故q(1)很小,按照直接仿貞法抽样得到的由1转移到卜一状态的 时刻往往超过测控任务的结束时间T.在其它非初始状态X(X≠F)下,由于测控资源的修复率而相对失 效率而言是非常高的,直接仿真法模拟出的下一系统状态相对ⅹ经常是修复转移,因而难以进入测控任务 的失效集F·综合前述因素,采用 Marko模型的直接仿真法难以模拟出测控任务失败的情况,得到既定精 度的可靠性结果需要大量的重复仿真,会消耗很长的仿真时间. 重要抽样法是一种高效的稀有事件抽样方法,它通过构造新的抽样分布来提高仿真中出现稀有事件的频 次,并通过似然比将新抽样分布下产生的仿真样本还原为原抽样分布下的无偏估计量,在高可靠性系统的仿 真中得到∫广泛的应用.其原理如下: 设抽样空间为92.其概率测度为P稀有事件εCg.I()为的指示函数,例如I()=1表示稀有事 件发生我们希望通过仿真得到稀有事件ε的概率P(=),即 P(E)=EP(I(E))=/I(E)dP 记另一分布函数P*,对任意的ACE,如果P(A)>0则P*(A)>0,则有 dP I(edp- I(e)dpedp'= I(e)Ldp-Ep-((e)L) 其中L=dP/dP*称为P对P*的似然比 由式(4)和式(5)可得 P(e=Er(I(e)=Ep+(i(eL) 即可以根据P*抽样得到的仿真样本及似然比得到对P(ε)的无偏估计,且等价于基于P得到的仿真样 本的统计结果.重要抽样法的主要工作是构造合适的P,以提高稀有事件出现的频次,从而以较少的仿真次 数得到所需精度的仿真结果 32结合强制法与失效偏倚法 基于 Marko模型的直接模拟法.系统状态第次转移的时间往往发生在测控任务结束时间T之外.强 制法在系统的第一次状态转移时,将下一状态的发生时间强行限制在任务结束时间T之内,状态X1驻留时 间的抽样采用如式(7)所示的分布形式 1-e-q(1)t F(alto, X1)=1-6-90(T-to. 式(7)中,表示任务开始时间,一般认为to=0,t1为在状态X1上的驻时间.t可根据式(7)抽样 得到,且0<t1<T,即下一系统状态发生在任务结束时间T之前 当X2≠X1,且XF的条件下,其状态概率转移行为P={m(,j)},其下一状态既可能对应着失效 转移也可能对应着修复转移.记P={p(,j)}中全部的失效转移概率之和为PT,则全部修复转移概率之 和为q(i)-P.由于相对于测控资源的失效率而言,其修复率很高,故q(i)-Pr>PFT,直接仿真法 1388 系统工程理论与实践 第32卷 模拟岀的下一系统状态相对ⅹ;是修复转移的可能性很大,这使得仿真岀的 Markowⅴ链难以在任务结束时间 T之前到达失效域F 失效偏倚法将全部的失效转移的比例提髙到ρ,并对ⅹ的概率转移行向量进行重新分配并形成新的概 率转移行向量P={p(j)}.如果X至x间的转移为失效转移,则p(,)=p×q()×p(,)/PF,若 X至X间的转移为修复转移,则p(,j)=(1-p)xq(i)×m(,j/(q()-Prr)文献10指出p应该设置 在0.50.9之间.过大的ρ反而可能导致失效偏倚法的方差更大,一般而言p取0.5即可.通过失效偏倚机制, 在 Markov链的模拟中加大下一状态相对ⅹ是失效转移的可能性:促使 Markov链出现仼务失败的状态. 在应用中,可以将强制法与失效偏倚法结合使 用,在出现第一次状态转移时使用强制法将下一状态 开始一次仿真 的发生时间限制在任务时间内,在其它非吸收状态下 当前状态 使用失效偏倚法提高失效转移发生的概率,对非to 是第一次状、否 时刻的初始状态则采用直接仿真抽样法.强制法与 态转移?一 失效偏倚法结合使用能更有效地提高仿真中出现测 使用强制法 合一系统是 初态? 控任务失败的情况,其流程如图1所示 产生下一状 使用失效偏倚法直接仿真抽样 33结合强制法与失效偏倚法的似然比 态的发生时间 由于对系统的状态及驻留时间进行抽样时使用 产生下一状态 产生下一状 了新的分布函数,在仿真结果统计需要通过似然比将 态的发生时间 结合强制法与失效偏倚法生成的仿真样本还原为测 任务失败? 结束一是超过任 控任务不可靠度的无偏估计量.结合强制法与失效 次仿真 安时间? 否 偏倚法的似然比包括两部分:一部分为系统驻留时间 更新状态 生下 的似然比,由强制法生成;另一部分为状态转移的似 然比,由失效偏倚法产生 图1结合强制法与失效偏倚法仿真流程 记(s1,t)、(s2,t2)为结合失效偏倚法和强制法模拟出的连续的两个状态及其状态驻留时间.若s1=X1, 则由1转移到S2的似然比l(s1,82)=F(t1|s1)/F"(t1|tl,s1),其中tl为到达状态s1的当前时间.若 s1≠X1:,则由1转移到s2的似然比l(s1,s2)=p(51,s2)/(s1,s2).若第m′次仿真得到 Markov链为Sm (sm1,tm1),(sm2,tm2)…,(5mk,tmk)},则第m次仿真的似然比可写为Lm(S,m)=Ⅱ11(5m1,5m(+1) 经K′次仿真后, Markov模型的不可靠度Ur的无偏估计量如式(8)所示 T(Sm)x Im,(Sm,) m=1 34结合强制法与失效偏倚法的方差 Shahabuddin在文献「12中给出了失效偏倚法在任务系统的不可用度指标下相对直接仿真法的方差缩 减证明,下面基于文献12中的部分结论和证明形式,给出结合强制法和失效偏倚法在任务可靠性指标下方 差缩减证明 设所有测控资源的失效率都可以表述为T;=a2的形式,其中ε为一个非常小的正实数,a;、bz都为正 实数记b=min{b1,…,b}>0,由于q(1)=∑=1n2e,故q(1)为9(c)1.记实数b>0(b仅与系统的 结构函数和r;相关,且能表示成∈幂次的形式.任务系统不可用度指标的估计量写为a(T)=E(D(T)/T) 其中D(T)为任务时间T内的全部失效时间,φ指原系统的测度函数.设d′为失效偏倚法的测度函数,则 a()、2(D()/)都为9e+),a2(D(⑦)/)=O(2+0)12.记A为系统在任务期问失败事件,(4)为 任务失败事件的指示函数.则对于任务系统的任何一次仿真,I(A)与D(m)间存在线性对应关系 I(A)-9(D(T) 0,D)(1)=0 故,任务不可靠度可写为 Ur= Ed(I(A))=Eg(9(D(T))) T×g(E(D(①/T) 1.若函数f(ε)对c≥0满足s→0时f(=)/→0,则称f(e)为o().若f()对c≥0,总存在个实数K使得对所有足够 小的E都有(<(resp,>)Kec,则称f()为O(e)(res.O(e),若f(e)即是O(e)又是O(e),则f()为g(=) 第6期 许双伟,等:单测控站测控任务可靠性仿真的高效方法 1389 由于9是一个与。无关的函数,故Ur为9(+)·同理,可证明得a2(Ur)为!(=+o),02(Un)为 O(ε2+).记φ〃为结合强制法和失效偏倚法所确定的测度函数,则 o/(Ur)=Eo/((41)L2)-C2 Eo(I(A)LarLforcina) Ep(I(ALBELFoTcing-Ur DEO(I(ALBELForcing)-U 由e2=1+x+o(x)可知 (Ur)≤q(1)T×Ep((A) LBELFoTcing) 2b0 )E, (I(ALEELForci O(2b+)-U2 由此可知,结合强制法与失效偏倚法的方差o(U)为O(2b+2),与a2(U)相比有量级上的减少.根 据中心限定理,在一定置信区间1-a下,N次仿真结果的相对误差为R2=2V2/N对直接仿真 法而言,R为?(-05+如),在ε→0时R→∞.而结合强制法和失效偏倚法的Re为9(1),在c→0 时仍能保证仿真结果误差的有界性 4案例分析 41小规模案例 假设一个测控任务的持续时间为5分钟,共有7个测控资源参与测控任务,测控任务的结构函数(X) (x1(x2+x3)+x4x5)x6x7.所有测控资源的可靠性维修性参数一致,分别为入=8.33×10-6、14;=5×10 采用文献⑧中的Ross算法得到测控任务不可靠性的精确解为8.355×10-5.结合失效偏倚法与强制法的 仿真结果随仿真次数的变化如图2所示,其中失效偏倚的比例设置为p-0.5 从图2中可以看出,结合失效偏倚法与强制法能在1万次仿真中收敛到精确解附近,仿真耗时约为0.35 秒.而采用直接仿真法需要7千万次的仿真才能收敛到精确解附近,仿真时间约为1800秒.与直接仿真法 相比,结合失效偏倚法与强制法具有很高的仿真效率 42大规模案例 假设某一测控任务涉及到的测控资源为20个,任务持续时间为10分钟,测控任务的结构函数0(X) (r1x2r+a1r10x11)x3x4x36x7x8+(x1x2T18+1x19x20)x12x1314x15x16x17.各测控资源的可靠性、维修 性参数一致,λ=3.3×10-5,μ=5×10-2.由于测控资源的数量较多,难以求得 Markov模型的精确解, 故采用直接仿真法的结果作为结合失效偏倚法与强制法的比较基准.直接仿真法经5千万次仿真后,测控任 务的不可靠度收敛到0.00037附近.仍设ρ=0.5,结合失效偏倚法与强制法的仿真结果随仿真次数的变化 如图3所示 X 8.3 结合失效偏倚与强制法 6 直接仿真法结果 8.2 3.5 结合失效偏倚与强制法 3.4 精确解 8 仿真次数(千 7.9 2000 4000 6000 8000 10000 图3大规模案例仿真结果 仿真次数 图2小规模案例伤真结果 1390 系统工程理论与实践 第32卷 从图3中可以看出,结合失效偏倚法与强制法能在5万次的仿真中收敛到0.000337附近,所需时间约 为6秒.而得到该结果,采用直接仿真法则需要4860秒 5结论 当测控任务仅有一个测控站执行时,定量评价测控任务的可靠性显得尤为重要.采用 Markov模型分析 测控任务的可靠性时会随测控资源数量的増加而存在状态空间爆炸的问题,对 Markoⅴ模型进行直接的离散 时间 Markov链仿真又因测控任务的高可靠性而需要很长的仿真时间才能得到既定精度的结果.强制法和 失效偏倚法都是为了在仿真中提高测控任务失败事件发生的频次,本文将强制法与失敚偏倚法相结合,在第 次状态转移时使用强制法将下一状态的发生时间限制在任务时间内,在其它非吸收状态下使用失效偏倚法 提髙失效转移发生的概率,并通过似然比将结合强制法与失效偏倚法的仿真样本还原为测控仼务不可靠度的 无偏估计量.从方差缩减的角度,让明了结合强制法亐失效偏倚法仿貞结果相对误差的有效性.通过两个案 例,验证了结合强制法与失效偏倚法的正确性与高效性,实践表明结合强制法与失效偏倚法能够很好地解决 单测控站条件下测控任务可靠性的仿真 参考文献 1]郝岩.航天测控网M].北京:国防工业出版社,2004 2曹晋华,程侃.可靠性数学引论[M].北京:高等教育出版社,2006 3] ROsS S m. Introduction to Probability Models(M].北京:人民邮电出版社,2007 4 Juneja S, Shahabuddin P Rare-Event Simulation Techniques: An Introduction and Recent Advances[M// Hand Book on Simulation, Springer: North-Holland, Amsterdam, 2005: 291 350 5 Sandmann W. IinpurLance sampling in Markovian seLLings[C// Proceedings of Winter Simulalion ConferenIce 2005:499508 6 Shahabuddin P. Importance sampling for the simulation of highly reliable Markovian systemsJ. Manageme Science,1994,40(2):333352 7 Ridder A. Importance sampling simulations of Markovian reliability systems using cross-entropy[J. Annals of Operations Research, 2005, 134(1): 119-136 8 L'ecuyer P, Tuffin B. Approximating zero-variance importance sampling in a reliability settingJ. Annual of Operation Research, 2011, 189(1): 277-297 9 Goyal A, Shahabuddin P, Heidelberger P, et al. A unified framework for simulating Markovian models of highly dependable systemsJ. 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