论文研究-基于Copula函数的水资源供需风险损失模型及其应用.pdf

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论文研究-基于Copula函数的水资源供需风险损失模型及其应用.pdf,  针对传统水资源供需风险损失评价方法无法对供水量和需水量之间复杂的非线性关系进行定量研究,本文首次建立了基于Copula函数的水资源供需风险损失模型.首先基于差分法和原函数存在定理模拟了供水量和需水量的边缘概率分布函数;其次提出了基于非线性优化思想对Copula函数进行参数估计;第三步分别对各种Copula函数进行拟合
第2期 钱龙霞,等:基于 Copula函数的水资源供需风险损失模型及其应用 519 232基于非线性优化的参数估计 Copula函数的参数估计方法主要有相关性指标法和极大似然法,其中相关性指标法比较简单,只需要根 据未知参数和 Kendall秩相关系数之间的函数关系即可求出参数但存在很多局限15,如对于三维及以上的 opula函数不再适用,理论概率值与经验频率值偏差较大等等;极大似然法也存在一些问题,如计算比较复 杂,难以进行推广等等.基于以上考虑,本文提出一种基于非线性优化思想的参数计方法.以 Frank Copula 函数为例介绍参数估计方法的数学原理, frank Copula函数表达式为 C(,x) In 1+ (e-p-1)(e--1) ,p∈B 其中p为未知参数,设(x1,y),(x2,y2),…,(xn,n)为联合观测值组合,将这些组合按照供水量x的升序排 列则供水量和需水量y的联合经验频率的计算公式为23 H=p(X≤x,Y≤yz) N+0.12 其中m;为联合观测值样本中满足(X≤x,Y≤yz)的联合观测值的个数;N为样本容量,H为经验频率 假设有m组样本数据(a;,y)(=1,2,…,m)用来进行参数估计,则v=Jmf(a)da(i=1,2,…,m), U=J9(y)dy(=1,2,…,n),其中f(x)利9(y)分别为供水量x利需水量y的边缘概率密度函数 构造函数 pui二 f(m)=∑(-m1+ 于是参数p的估计问题变成一个求解函数∫最小化问题,即 nf()=∑ (e-p-1) H 显然这是一个非线性优化问题,首先画出函数∫(φ)的图像确定∫(φ)取最小值点时p的大致取值范 围其次求出函数∫(m)(即(5)式)的导函数,求出使得导函数为0的p值,即解方程(7);最后根据p的取值 范围和导函数为0的p值即可求出(6)式的解 af ∑ (e (e p H n1+ 1)(e-P-1) P (ep-1) (ep-1) + vie e (u2-2)(eP-1)+eP( pUi e +(e =0 233 Copula函数的检验 1) Copula函数的拟合优度评价 采用离差平方和最小准则(OIS1来评价 Copula方法的有效性,选择离差平方和最小的Copl函 数.OLS的计算公式如下 OS-∑(-P2 其中F,P分别为经验频率和理论频率 2) Copula函数的拟合检验 根据( opula理论,若C(u,c)是一个描述随机变量X和Y的相依关系的 Copula函数,则Y|X=x 的条件分布为(0,1)上的均匀分布.由关系 H(YX=)=C1(F(), G() 其中C1(u,)=00是独立的且服从(0,1)上的均匀分布24.根据 Copula理论的这个性质可以通过 判断 Copula函数的一阶偏导数C(v)和C(u)是否服从(0,1)上的均匀分布来检验模型对样本分布拟 合是否充分.因此,拟合优度检验问题实际上是一个一元分布检验问题,可以采用很多种检验方法,如非参数 检验, Kolmogorov- Smirnov检验,Q-Q图检验等等 综上所述,水资源供需风险损失评价模型的建模与计算步骤如图1所示 520 系统工程理论与实践 第36卷 水资源供需平衡分析 供水量、需水量序列 差分变换 变换后的供水量和需水量序列 缘概率分布模拟一 服从某种已知分 最大熵原理 是原函数存在 供水量和需水量的边缘概率 密度函数 Copula函数 理论 联合概率分布 参数 拟合优度评价 古汁 供水量和需水量的联合概率 密度函数 风验损失函数 水资源供需风险损失评估 图1水资源供需风险损失模型的算法流程 3实例研究 31研究区概况 北京位于华北平原西部,属暖温带半干早半湿润性季风气候,由于受季风影响,雨量年际季节分配极不 均匀、夏季降水量约占全年的70%以上,全市多年平均降水量585mm(19492008).研究区位于海河流域,从 东到西分布有蓟运河、潮白河、北运河、永定河、大清河五大水系.北京是世界上严重缺水的大城市之一,当 地自产水资源量仅37.39×10°m3(1956-2000多年平均入境水量1606×10m3(19562000,多年平均出境 水量1451×10m3(1961-200)当地水资源的人均占有量约200m3(按照2008年的水资源量和常住人口计 算,是世界人均的1/30,远远低于国际公认的人均1000m3的下限,属重度缺水地区25 32水资源供需风险损失的计算 321水资源供需平衡分析 水资源供需平衡分析采用长系列逐月调算,供水序列为北京市19562012年(57年)的来水资料(不包 括外调水和再生水),需水序列为2020年的用水需求预测,得出2020年在57种来水条件下的年供水量和 年需水量序列,1~12月在57种来水条件下的月供水量和月需水量序列,年序列数据如图2所示.2020年 1~12月在57种来水条件下的月供水量和月需水量如图3所示 3.22边缘分布函数的模拟 分别对供水序列和需水序列作差分变换,并对差分后的序列分别画正态概率图利反趋势正态概率图(图 4~图7).由图4~图7可知,差分后的供水序列和需水序列均基本服从正态分布.为了进一步确定差 分后的供水序列和需水序列是否服从正态分布,需要进行正态性检验.本文采用柯尔莫哥罗夫-斯米诺夫 ( Kolmogorov- Smirnov)检验,原假设为差分后的供水序列和需水序列服从正态分布,显著性水平为0.05,检 第2期 钱龙霞,等:基于 Copula函数的水资源供需风险损失模型及其应用 521 50 LLLLLL 至至呈目圆望图目育豆月 米水情况 一供水量 需水量 图22020年在1956-2012年来水情景下的供水量和需水量 butr w lfw lurMwAMdwr'WlNblrMwlIllwMlw LmLr Albury 时问/月 月供水蠶— 月需水量 图32020年1~12月在57种来水条件下的供水量和年需水量 0.6 期望正态值 偏 0.0 观测值 观测值 图4变换后的供水序列的正态概率图 图5变换后的供水序列的反趋势正态概率图 522 系统工程理论与实践 第36卷 OO 08 望正态值 差0.00 0.50 观测值 观测值 图6变换后的需水序列的正态概率图 图7变换后的需水序列的反趋势正态概率图 验结果如表1所示 表1正态性检验结果 变量 柯尔莫哥罗夫-斯米诺夫检验 统计量自由度最小品著性水平 差分后的供水量0.074 56 0.200 差分后的需水量0.071 56 0.200 由表1可知,最小显著性水平值均大于预先没定的显著性水平(0.05),因此接受原假设,即差分后的供 水序列和需水序列均服从正态分布.根据极大似然估计法的原理2,可以估计两组序列的p和a分别为 0.00216,1.819918和0.000639,2.102 由此可知,供水量r的概率密度函数应为正态分布密度函数的原函数,又由于r被限制在某一有限范围 内,因此,x应服从截尾分布,其概率密度函数表达式为 0.0216) 2 dr f(x)= 2x·1.82 =0.035rf(0.3885(x+0.0216) 21522dc)dc 2丌·1.82 同理可以求出y的概率密度函数表达式为 9(y)=0.017eri(0.3364.(y-0.0006 (1 其中erf(c)==J 同时,我们还考虑」供水需水序列是否服从其他分布,如卡方分布、指数分布及伽马分布等,通过正态概 率图和反趋势正态概率图叮以很明显地看出,供水需水序列均不服从这些分布.限于篇幅关系,文中没有展 示这些图 323 Copula函数的选取 Frank copula函数中选取一个最伟的 Copula酸 yton Copula函数, Ali-Mikhail-Hag Copula函数以及 1)参数估计 依据2.3.2节中介绍的方法分别对以上四种 Copula函数进行参数估计,以( Clayton Copula函数为例介 绍参数估计的过程.首先构造优化函数f(p)=∑;=1(+2-1) 1PH)2,由于 Clayton Copula参 数p∈(0,+∞)1,但是画出函数f()在p∈(0,+∞)的图像不太可能,还要缩小p的取值范围,根据文献 5]可知p与 Kendall秩相关系数r存在如下的关系: p+2 (12) 根据供水量和需水量序列(图2)可求出 Kendal秩相关系数r为0.797,代入(11)式可得p为785,因 此画出函数f(p)在p∈(0,100)的图像基本可以反映函数()的变化情况(图8).由图8可知,函数f(p) 第2期 钱龙霞,等:基于 Copula函数的水资源供需风险损失模型及其应用 523 在p∈(0,10)时有一个最小值,当p∈(10.+∞)时,函数值先增长后基本不变,由此可以判断函数f(p)取 最小值的点p在(0,10)中取 98765432 图8函数∫(p)的图像 为了更加清楚地看出函数f(p)取最小值的点p的位置,画出f()在p∈(0.,10)中的图像(图9),由图 9可知,当p∈(0,1)时,函数取得最小值 图9函数∫()在p∈(0,10)的图像 af ∑[(vP+nP-1)-B1( n(v2+v72-1).(-2lm()-2mn(c) (13) 由于p∈(0,1),求解方程(13)可知p为0.4723,且fmin(p)-0.3931.同理可以求出其它三种 Copula 函数的参数p和Jm(P),计算结果如表2所示 表2四类 Copula函数的参数p和fmn(p)的计算结果 Gumbel- Hougaard Copula函数 Clayton Copula函数Ai- Mikhal- Haq Copula函数 Frank Copula函数 参数p 0.4723 50 fmin(p 6.2924 0.3931 5.8196 5.5781 由表2可知 Clayton Copula函数的fmin(m)最小,只有0.3931.即理论频率与经验频率的离差平方和 最小其它三种 Copula函数的fmin(p)太大,与经验频率的离差平方和偏大.因此 Clayton Copula函数的 参数估计效果最好,其它三种 Copula函数的参数估计效果较差 2) Copula函数检验 524 系统工程理论与实践 第36卷 采用32组数据对 Copula函数进行拟合优度评价.利用公式(8)分别对四种 Copula函数进行拟合优度 评价,评价结果如表3所示 表3四类 Copula函数的拟合优度评价结果 种类 Gumbel- Hougaard Copula函数 Clayton Copula函数Ali- Mikhail-Haq copula函数 Frank Copula函数 OIS值 0.3191 0.1835 0.1694 0.1656 由表3可知, Gumbel- Hougaard Copula函数的OLS值最大,拟合效果较差,其它三种 Copula函数的 OLS值较小,拟合效果良好 由于 Gumbel- Hougaard Copula函数的拟合效果较差,因此只对其它三种 Copula函数进行拟合检验 由23.3节可知,可以采用非参数x2检验C()和C(v|)是否服从(0,1)上的均匀分布则原假设Ho C()和C(t)服从(0,1)上的均匀分布,备择假设H1:C(u)和C(uv)不服从(0,1)上的均匀分 布,ⅹ2统计量为 其中/表示样本观察值落入第子集的个数,p表示用H0假设的分布函数计算出的概率,m表示样本观测 值的个数 表4非参数x2检验结果 检验结果Clay1 on Copul函数 Ali-Mikhail-Haq copula数 Frank Copula函数 u 卡方统计量1.7167.077224261.007156119.449 百由度 x(0.05,3) 7.815 由表4可知对于 Clayton Copula函数,由于7815>1.716,7.815>7.007,故在0.05水平下接受H, 即C(ua)和C(alv)均服从(0,1)上的均匀分布, 其它函数的C(v|)和C(uk)均不服从(0,1)上的 均匀分布 32.4北京市2020年水资源供需风险损失评价 根据 Copula函数参数佔计和检验的结果可知0 Clayton Copula函数是最优的,可以用它来描述供水 量x和需水量y的联合分布.则供水量x和需水量02 y的联合分布函数I(x,y)(图10)和联合概率密度 函数h(x.y)分别为 (x,y)=(u-+--1) 1/p (15 h(x,y)=(1+p)()n(u-p+-2-1)2-1/ (16) 图10供水量和需水量的联合分布函数图 其中u=Jf(t)dt=J00.035er03895·(t+ 表5北京市各产业部门水资源价值2 0.0216)d,v=J0.01er(0.3364(t-0.0060)dt,p 产业 第一产业第二产业第三产业 等于0.4723 经济价值(元/m 4.7 34.0 33.4 当不考虑利用外调水和再生水时,将供水量和需水量的最小值和最大值,北京市水资源的平均经济价值22 (表5)代入公式(2)可得2020年北京水资源供需风险期望损失为 29.751.7 Er=q (1+)(0056:084+-0216))(/0.017er0.364(t-00)d 25.7J47.4 0 2-1/P 0.035er(0.3885·(+0.0216)dt 0.017er(0.3364.(t-0.00060dt (y-e)dady ≈1159.7 (17) 第2期 钱龙霞,等:基于 Copula函数的水资源供需风险损失模型及其应用 525 将2020年1~12月在57种来水条件下的月供水量和月需水量及北京市水资源的平均经济价值代入式 (1),得到20)20年1~12在57种来水条件下的水资源供需风险损失值,如图11所示 N水剑 图11北京市2020年1~12月在57种来水亲件下的水资源供需风险损失值(不考虑南水北调水和再生水) 由图11可知,除个别情景外,冬季(12月、1月和2月)的风险损失最小,其次是春季(3月、4月和5 月)和夏季(6月、7月和8月),而秋季(9月、10月和11月)的风险损失相对较大,其中11月的风险损失 最大,在1972年的来水条件下,11月的风险损失达到71亿.总的来说,北京市月风险具有明显的季节变化 特征,即秋季风险损失大,春夏冬风险损失小.进步分析可以发现,冬季需水量相对较小,所以冬季风险损 失小:北京市38月降水量集中了全年降水量的86%左右,因此春夏风险损失较小;秋季需水量大,降水又 少,因此秋季风险损失最大 按南水北调工程规划调水,2020年将调水105亿m3;另一方面,北京市一直在加大再生水利用量.这 在一定程度上缓解了北京市水资源短缺的紧张局面,根据北京再生水利用规划,2020年再生水利用量要达到 10亿m3.将相应的月供水量、月需水量系列数据及北京市水资源的平均经济价值代入式(1),得到2020年 1~12月在不同来水条件下水资源短缺风险损失值,如图12所示 心减减AAJ4小 紧0 11512229286343400457514571628 时间/月 图122020年利用再生水和南水北调水后不同来水亲件下的月风险损失评价结果 由图12可知,利用再生水和南水北调水后,在57种米水条件下,1~12月的风险损失值均有了大幅度的 降低,尤其是春夏冬季的风险损失较小,大部分在2~3亿左右波动;但11月在某些情景下,水资源供需风险 损失值仍然较高,尤其在1972年的来水条件下,风险损失达到了30亿.某些情景下的风险损失为负数,表示 供大于需.绝对值越大表示供需之间的差距越大 526 系统工程理论与实践 第36卷 将相应数据代入公式(2),得到北京市2020年利用外调水和再生水后水资源供需风险期望损失为 50.2517 E (1+P) 0.035erf(0.3885·(t+0.0216)dt 0.017erf(0.3364·(t-0.0006dt 46.2J47.4 0 2-1/ 0.035erf(0.3885:(t+0.0216)dt 0.017erf(0.3364·(t-0.0006dt 0 0 (y-w)dady ≈37.7 由此可知,利用南水北调水和再生水后,2020年北京市水资源供需风险期望损失由1159.7亿元降低到 377亿元,下降幅度达96.7%,进一步可以说明再生水回用和南水北调工程是缓解北京市水资源供需矛盾的 根本措施 4结论 1)木文首次建立了基于 Copula函数的水资源供需风险损失模型,该模型可以定量模拟供水量和需水量 之间复杂的非线性相关关系,即供水量和需水量的联合概率分布函数.首先基于差分法和原函数存在定理模 拟了供水量和需水量的边缘概率分布函数;其次提出了一种基于非线性优化思想的 Copula函数参数佔计方 法;第三步分别对各种 Copula函数进行拟合优度检验和非参数x2检验,选择最优的 Clayton Copula函数 模拟供水量和需水量的联合概率分布函数;最后建立水资源供需风险损失的二重积分表达式 2)当不考虑利用外调水和再生水时,2020年北京市水资源供需风险期望损失约为1159.7亿元冬季(12 月、1月和2月)的风险损失最小,其次是春季(3月、4月和5月)和夏季(6月、7月和8月),而秋季(9 月、10月和11月)的风险损失相对较大 3)利用南水北调水和再生水后,北京市水资源供需风险期望损失约为37.7亿元,下降幅度达96.7% ~12月的风险损失值均有了大幅度的降低,但在其些情景下,水资源供需风险损失值仍然较高 参考文献 门]张欣莹,刘建林,李晓辉,等西安市供水水现状及水资源供需平衡分析小.水资源与水工程学报,2013,24(6):38-42 Zhang X Y, liu J L, Li X H, et al. 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