论文研究-威布尔部件的经验贝叶斯评估.pdf

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论文研究-威布尔部件的经验贝叶斯评估.pdf,  在逐步增加Ⅱ型截尾寿命试验下, 讨论了威布尔部件可靠性指标的估计及性质. 基于Linex损失函数, 给出了威布尔部件寿命分布参数、可靠度函数及失效率函数的一致最小方差无偏估计、贝叶斯估计及经验贝叶斯估计, 并证明了经验贝叶斯估计的渐进最优性. 最后运用Monte-Carlo方法对各种估计 的均方误差进行了模拟比较. 结果表明, 经验贝叶斯估计
2982 系统工程理论与实践 第33卷 (2m T=∑(R2+1)~r(m,a1) m-1-O 5) 所以E(/m)=a,Var(T/m)=a2/m<∞又由(4)式知T为a的完备充分统计量.故由引理1得T/m 为α的一致最小方差无偏估计,且在几乎处处意义下是唯一的.证毕 定理2在逐步增加Ⅱ型截尾试验下:在逐步增加Ⅱ型截尾试验下,威布尔部件的可靠度R(t)、失效率 H(t)的一致最小方差无偏估计分别为 RI T+cln(a-11-1) (6) 证明因为E(R(1))= It-a Tm-r-rmTm-le d dt=exp(=)由于T为a的完备充分统计 量,故由引理1可得:R()U是R(t)的一致最小方差无偏估计.同上可证明H(t)式 3贝叶斯估计 由文献[12可知. Linex损失函数表达式为 L(-)-b(e(a-)-c(-u)-1),c≠0,b>0 其中是W的估计 由(7)式我们知道,当c>0,过高估计比过低估计造成的损失要严重,而当c<0时,则反之;当c→0 时, Linex函数近似为对称的平方损失函数 由文[12可知,u在 Linex损失函数下的贝叶斯估计u为 post e epost)表示后验期望 参数a的先验分布选取为其白然共轭先验分布——倒r分布IG(a,b),分布密度为 丌(a) a,b>0 (9) T(a 联合(4)式和(9)式,得a的后验密度为 (T+b)mta a-(m+a+1)e (10) T(m +a) 定理3基于逐步增加I型截尾试验,在倒r先验分布(9)和 Linex损失函数下,α的唯一贝叶斯佔计 为 a)(T+6)r(m +a-k) kl r(m +a) 证明因为 (T+b) n+a I(m+a ∑ -c)(T+b)r(m +a-k) T+6)m+a-k (m+a-k+1) k! T(m r(m+a-k) (-c)(+b)r(m+a-k) kl 所以aB c)"(T+b)r(m+a-k) L 定理4基于逐步增加Ⅱ型截尾试验,在倒r先验分布(9)和 Linex损失函数下,威布尔部件可靠度 R(t)、失效率H(t)的贝叶斯估计分别为: (-c)(T+b) rn- n+a R(t)B k!(T+b+kts) II(t)B 113t2-1(T+b) (T+b+ct8-1) 证明这里只证明R(t)B式,H(t)式可类推 第11期 鄢伟安,等:威布尔部件的经验贝叶斯评估 2983 因为 poste cR(t) R()(T+ b) m+a+1) n+a ∑ (CR(t)(T +b) (m+a+1) C r(m+a) ∑ (c)(T +b) mta (m+a+1) T+btkt (-c)(T+b)m+ k! r(m+a exp do= ∑ k! (T+b+kt 所以R(+)B=-ln (-c)k(T+b)m+2 k=d k! (T+b+kts)mta 4经验贝叶斯估计及渐近最优性 41经验贝叶斯估计 先验分布(⑨)中超参数α,b的值一般是无法预知的,如果选取的先验分布与实际情况不相符时,所得贝 叶斯估计会受到较大的影响,这就极大地限制∫贝叶斯估计的适用性和优越性.经验贝叶斯方法是通过提取 历史样本中关于先验的信息,以此来确定先验分布中超参数的值,这样获得的先验分布与实际非常相符,提 高了估计的精度.下面介绍威布尔部件的经验贝叶斯估计 由(5)式知,T~r(m,1/a).联合(9)式,(5)式我们得T的边缘分布为 m(t)-g(t; a)(a)da r(m+a)_6m-1 T(ar(m)(b+t)mta 所以 T(m+a) bt l T(m+a) t b ET dt T(ar(n)(b+l) T(ar(n) b+t b+ Er2 r(m+a)batm+l r(m+a) dt m1(m7+1)b o r(ar(m)(b+t)m+a r(ar(m)Job+t/6+t 1)(a-2 故方差Vm()=E72-(E71)2=mm+1-2=m+mn 样本,历史样本的均值为=x∑1t,方差为V2 %m,假定T,1,…,为该分布的历史 令{v=w=m,经化简理我们到{= 把a,b代入定理3、定理4 中得参数a,可靠度R(),失效率H()的经验贝叶斯估计为 Ga)(T+b)kr(m +a-k) EB k! T(m +a) -c)(T+b)mta eB lr k 1+6+kt (EB=-11_6t Bts-(T+6)m+a C(T+6+cBL6-1)m+ 42渐近最优性 定义10如果对任何先验分布有 lim R,=RB,δk就叫做渐近最优的经验贝叶斯估计.其中Rk是经 验贝叶斯估计6k的全面贝叶斯风险,RB是贝叶斯估计δB的贝叶斯风险 定理5基于逐步增加Ⅱ型截尾样本,在 Linex损失和倒伽玛先验下参数α的贝叶斯佔计aB和经验 贝叶斯估计cEB满足 liII CeB=aB,a,e 证明由得到a,b的过程我们知道ima- lim ltt+y k→∞063mV-=b.所以 lim CeB= k→∞ lim m+oel=mta=aB 定理6基于逐步增加I型截尾样本,在 Linex损失和伽玛先验下参数α的经验贝叶斯估计αEB是渐 近最优的经验贝叶斯估计 证明 Rk-RB=Ex(L(O, Ok)-E(L(a, 0B)=E+L(O, Ok)-L(o, 6B)]=mExa 1 +In 2984 系统工程理论与实践 第33卷 /a(m+a-1 T T+ T+b)+h、T-bm+a T+b m十 +mE*1 T+b T+b T+b 其中E表示对a,T,T1,…,Tm的联合分布求期望,Er,n,2…,rTm表示对T,T,…,Tm的联合分布求期 若(13)式满足控制收敛定理,则: 2b m+a-1 m+a T+b lim R,-RB=-ElT2 li b T+ +m E In lim 再由定义1知aEB是渐近最优的经验贝叶斯估计 下面证明(13)式满足控制收敛定理条件,即证明: 1 E米M1 EM 事实上,由于 OSK2 ht2 ∑(t:-)2-已 m∑t+(mk-k+1)2|≥0 故 m+1)mV (m+1)mV2 (m+1)mV21m(m+1)k T+b V2-#2)+t(2+V t(t2+V2)-t[(V2/k)+v2 T+b T(nV2-L)+l(+v2) T(TV2-V/k)+i(nv+v m+a-1 (m+1)mV2 (m+1)mV2 7(mk-1)+k(m+1)7(mk-1) + t k(m+1)m k(m+1)m m 所以 m+a-1 m+a 1 m(m+1)k m+a 1m(m+1)k M T+ (k+1) T+b k+1) T+bm+a-1「T(mk-1)t1m+a-1「(mk-1)t1m+a-1 =M2. mta-1 ttb k(m+1)m m Ttb k(m+1)m m 因为E*(1/1),E*(ET都存在,所以E*(M1)<∝,E*(M2)<∞.满足控制收敛条件.故aEB是渐 近最优的经验贝叶斯估计. 5随机模拟 给定α,β貞值,在逐步增加Ⅱ型截尾试验方案下(如表1所示),运用 Monte- Carlo方法产生服从威布 尔分布的样本.根据样本值给出参数α、可靠度R(U)、失效率H(t)的一致最小方差无偏估计、贝叶斯估计 和经验贝叶斯佔计.重复上述模拟1000次,分别计算各种佔计的均方误差模拟结果列于表2 表1逐步增加II型截尾试验方案 表2各种估计的均方误差(a-15,B-4,t-0.6,a 试验 2.1.b=0.5,f(t)=0.9172,H(t)=0.5762) n n 编号 (R1,R2,…,Bm) 试验编号1 3 1106 (110103) 0.33570.20700.18020.1453 0.1215 21510 (1001020001 0.29650.18230.16280.1321 0.1117 3 2012 (100102010120 CeB 0.27570.17800.15760.1295 0.1097 42015(100100100100100) R(t)U0.00580.0040.00400.0035 0.0034 52518(100100100100100101) R(t)B0.00150.00140.00127.132e0046.0502e-004 R()EB0.00330.00140.00117.1764-0045.7547e-004 0.11340.08610.06840.0431 0.0343 H(t)B0.10100.08150.06200.0410 0.0326 H(t)EB0.01830.01060.00880.0067 0.0058 第11期 鄢伟安,等:威布尔部件的经验贝叶斯评估 2985 由上表知:(1)当在同种逐步增加I型截尾试验下,经验贝叶斯估计均方误差最小,精度最高,其次是页 叶斯估计,这与我们的理论推导是吻合的.贝叶斯估计不仪使用了样本信息,也运用了先验信息,所以贝叶斯 估计精度应该比 UMVUE高.经验贝叶斯估计利用历史信息得到了先验分布中超参数的估计a,b,使得先验 分布中的超参数值与实际情况非常吻合,所以估计的精度应该比贝叶斯佔计精度高. 2)当样本量比较小时,经验贝叶斯件计的均方误差小于贝叶斯件计的均方误差随着样本量的增加,各 个估计均方误差都减小.但经验贝叶財估计均方误差始终最小,贝叶斯估计均方误差其次.因此对威布尔部 件进行可靠性评估时,应充分利用历史信息,进行经验贝叶斯估计 6结论 本文硏究∫威布尔部件的可靠性评估方法,给出∫武器系统中威布尔部件参数、可靠度函数和失效率的 一致最小方差无偏估计、贝叶斯估计及经验贝叶斯估计,证明了经验贝叶斯估计渐近最优性.最后运用蒙特 卡洛方法进行随机模拟,对各个估计进行模拟比较.结果表明,在 Linex损失下得到的威布尔部件可靠性指 标的经验贝叶斯佔计比相应的贝叶斯估计和 UMVUF精度高.所以对威布尔部件进行可靠性研究时,应进 行经验贝叶斯评估 参考文献 ]石秀华,王晓娟.水中兵器概论(鱼雷分册)[M].西安:西北工业大学出版社,2005. ShiX H, Wang XJ. An introduction about underwater weapons([M]. Xi'an: Northwestern Polytechnical University P 2]毛昭勇,宋保维,胡海豹,等.基于 AMSAA增长模型的鱼雷系统阝ayes可靠性分析[兵工学报,2009,30(10):1401 1404 Mao z y, Song B W, Hu H B, et al. The Bayes reliability evaluation method based on AMSAA model for torpedo system J. Acta A 009,30(10):1401-1404 3 Pandey M, Singh V P, Srivastava C P L. A Bayesian estimation of reliability model using the LINEX loss functionJ. Microelectronics Reliability, 1994, 34(9): 1519 1523 4 Shi Y M, Gao SS, Shi X L. Covergence rate of empirical Bayes estimation for two-dimensional truncation parameters under Linex loss[J. Information Sciences, 2005, 171(1-3:1-11 5 Liang T C. Empirical Bayes estimation for Borcl-Tanncr distributionsJ. Statistical and Probability Letters 2009,79(20):2212-2219 6 Zhang W P, Wei L S. The superiority of empirical Bayes estimation of parameters in partitioned normal linear model[]. 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Empirical Bayes estimators of reliability performances using LINEX loss under regressively Type-II censored saInplesJ. Mathematics and CoInputers in Simulation, 2007, 73(5): 320-326

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    2019-09-20
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