论文研究-基于小波分析的股市波动的多重分形辨识.pdf

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论文研究-基于小波分析的股市波动的多重分形辨识.pdf,  以上证指数和深圳成分指数日收盘价的时间序列为样本,利用小波分析方法剔除序列的噪声干扰,对序列保留的波动趋势进行多重分形辨识.通过 WTMM (小波变换模极大)计算配分函数,尺度函数和多重分形谱等,全面细致的量化了序列的局部及不同层次的波动奇异性.计算结果表明:去除噪声干扰后, 中国现行证券市场的波动呈现显著的多重分形特征.
第11期 罗世华,等:基于小波分析的股市波动的多重分形辨识 2383 这样就可以通过对序列Y(mn)的分析,来了解股市波动的局部奇异性、不同层次的波动奇异性存在与否:即 进行多重分形结构辨识图1给出了上证指数和深圳成分指数原始时序图和去噪后的时序图 10000 5000 0 0200040006000 0200040006000 (a)上证指数原始时序图 (b)上证指数消噪时序图 X10 X10 1.5 0.5 0200040006000 0200040006000 (c)深成指数原始时序图 (d)深成指数消噪时序图 图1基于多分辨分析剔除指数收盘价序列的噪声干扰 3多重分形分析19 对于已经证明具有单分形特征的非线性过程.进一步检验该过程是否具有多重分形特征,需要计算一些 义分形参数来刻画过程的局部分形特征,如果这些参数具有时变或域变特性,说明过程具有多重分形性质 表现出比理想单分形过程更加复杂和不规则的波动特征.下面给出本文将要检验的主要的广义分形参数 31尺度函数 定义1若过程H(t),t∈T具有平稳增量且满足 E(|X(t+△+)-X())=c(q)(△+y()+1,vt∈T,;q∈Q 则称X(t)是一个多重分形过程其中T(q)常称为多重分形过程的尺度函数或质量指数,T(q)是关于q的非 线性函数若T(q)关于q是线性的,则(5)式描述的多重分形过程就退化成单分形过程 32多重分形谱 定义2给定函数X(t),假设它在t时刻的某个邻域有定义,若△t→0时,函数的波动满足 X(t+△t)-X(t)|-C:(△t)a( 则不断重复将区间0.,划分成b个等长的子区间(k为划分的阶段).Nk(a)为(第k阶段划分)包含a(t) 的子区间个数,若 a)=lim log Ni(c 2∞1og(b4 在比一个点更大范围内有定义而且取正数,那么X()是一个多重分形过程,a(t)和f(a)分别称为过程X(t) 的 Holder指数和多重分形谱.在上述定义中,局部 Holder指数a()的大小决定着股市波动过程在某局部上 的光滑或不规则程度,连续变化的局部 Holder指数,描述了波动在不同时间局部上的不均匀性变化.多重分 形的最深刻本质就是局部尺度特征的多样性,乜就是其 Holder指数取值具有多样性.因此,该定义从过程的 局部行为特性出发提供了对多重分形过程更加直观的理解和解释.多重分形谱f(a)表征了在股市波动过程 上随机抽取的时点具有 Holder指数a(t)的概率,因而方便描述 Holder指数a(t)的概率分布.这样,多重分 形谱就成为检测过程是否存在多重分形结构的有力工具 4基于WTMM的多重分形谱的计算方法 4.1小波变换模极大方法 小波变换模极大的思想最初是由 Mallat和7hng20在信号处理的研究实践当中提出来的它是受到 Malt21早期将信号做小波投影以提供一个多分辨率表示的启发而形成的,随后,Muy2将其成功用于对 湍流的分析以解决在该过程中的实验数据处理问题.同样,WTMM方法也可以用来解决证券市场的实测数 2384 系统工程理论与实践 第32卷 据处理问题下面给出WTMM数学构架23 Wr(a, b) )重 (a, b rf()y dr a为尺度因子,b为平移因子,*表示复共轭,(x)为母小波函数,满足允许性条件.一般常用的小波为Gaus sian小波,其定义为 N exp(-x2/2) Gaussian小波具有n阶消失短,此性质能够保证模极大曲线延伸到最细的尺度.对于小波变换式(8)固定尺 度参数a时,在x的邻域内,若|W(a,xo)>|Wr(a,x),则称mo为Wf(a,b)的一个局部极大值点.这些 极大值xo的连线称为模极大线族,简称模极大. 4,2利用WTMM计算多重分形谱24 对于由不同分形行为的子集叠加而成的具有非均匀分维分布的复杂奇异集合,小波变换不仅反映了其构 造域的局部变化特性,而且可以用于直接提取其整体分形结构的谱域信息. 文献[24指出,对于一个多重分形,其小波变换存在一些模极大值,且其中a是 Wr(a, b)wati/ 局部 Holder指数(奇异指数,.要注意应用的小波函数当N>a阶消失矩时(10)式才是成立的.上文的高 斯小波就满足此条件用{(a)}l∈z来表示尺度a对应的「Wf(a,b)极大值点的位置,极大值点的个数满 足: 其中f(a)就是多重分形奇异谱定义配分函数1522: ∑Wf(a (12) 可以得到 7(q)-min(q(a+1/2-f(a) (13) 通过计算配分函数值得到尺度函数r(q),就可以确定多重分形奇异谱f(a +1/2)-r(q) 以上是利用WTMM计算多重分形奇异谱的理论基础,下面给出其算法框架 第一步:选取适当的小波函数,计算小波变换Wr(α,b)选出其在每一尺度下的模极大值点.需要说叨的 是,为∫度量所有奇异指数,必须使用具有足够高阶消失矩的小波,例如 Gaussian小波 第二步:通过(12)式计算配分函数∠(q,a 第三步:用线性回归计算尺度函数r(q):log2z(q,a)≈r(q)og2a+C(q) 第四步:通过(14)式计算多重分形奇异谱 200 10.00 66 0.5 200 1000200030004000 0 10 (a)Devi曲线 log(s) (b)曲线的配分函数图 10 0.6 datal data 0.4 -10 20 0.4 0.6 0.8 c)曲线的尺度函数图 (d)曲线的多重分形谱图 ( data l是汁算值,data2是理论值) 图2基于WTMM方法的Devi曲线多重分形辨识 第11期 罗世华,等:基于小波分析的股市波动的多重分形辨识 2385 43WTMM方法的有效性检验 利用 matlab软件和 wavelab工具箱画出 Cantor二分集序列(生成元为0.6,0.4)的累计轮廓序列,也就 是 Devil(魔鬼)曲线图2是使用WTMM方法对其的计算结耒图,小波函数选用高斯函数的一阶导数,序 列的个数为4096个.通过图2的子图(d)可以看出:计算值 datal与埋论值 datal2吻合的很好(注:理论值 的计算参考文献[4]) 2 6 12 4000 (a)小波变换模极大值线 b)配分函数图 (a)小波变换模极大值线 log 2(5 (b)配分函数图 20 0.5 0.5 (c)尺度函数图 (d)多重分形谱 (c)尺度函数图 (d)多重分形谱 图3基于WTMM方法的上证指数多重分形辨识 图4基于wTMM方法的深成指数多重分形辨识 5股市波动的多重分形实证研究 对2.2中已完成去噪的样本序列,选用 Gaussian连续小波,利用WTMM方法对其进行多重分形仿真研 究.仿真结果如图3-图4.图3和图4中展示出了:对去噪后的信号进行连续小波变换得到的小波变换模的 极大值点再连接这些极大值点得到的小波变换模的极大值线图,通过WTMM方法得到的配分函数图,通过 线性拟合得到的尺度函数图,经过变换得到的多重分形谱图.其中图3是上证指数相关仿真结果图.图4是 深成指数的仿真结果图.图3的d子图和图4的d子图清晰表明:当a在一定范围变化时,多重分形谱函数 f(α)图像显著非线性,说明利用多分辨分解剔除噪声后,基于WTMM框架进行的中国股票市场多重分形特 征辨识辨识结果吏加稳健叮靠.从波动序列的尺度函数图亦可以看出:序列的尺度函数r(q)和q都呈现 种非线性的关系,再次验证中国证券市场多重分形结构的存在,奇异谱f(a)的最大宽度△a=amax-amin 是多重分形的一个重要参量,它描述了测度分布的非均匀的程度和系统发展是否充分的程度,一般来说,△c 越大表明概率分布越不均匀,△a越小分形区分布越均匀.而本文的实证结果显示上证指数波动序列多重分 形谱的Δa=0.85,深圳成分指数波动序列△a=0.82,从而表明中国股票市场的波动序列的分形分布十分 不均匀 6结论与展望 本文利用多分辨分析去除原始序列噪声,并在此基础上,借助WTMM框架完成中国证券市场波动局部 奇异性多重分形辨识,主要有以下结论:1)利用多分辨分析消除了序列噪声的同时凸现序列的波动成分,使 得后续多重分形的辨识工作更加稳定可靠;2)新框架下仿真结果表明,中国股票市场具有显著可靠的多重 分形特征,这些时变参数对市场波动的预测硏究有重要价值;3)较之于 MF- DEA框架下的辨识计算,利用 WTMM理论进行证券市场多重分形特征提取,计算更加简清且易于使用 我们在研究中发现:利用WTMM可以方便的近似求出多分形谱,但是由于它采用了配分函数,在q取 负值时:会将微小的计算误差放大,因此可以看到在负值区的值起伏很大,而在正值区相对平稳,用WTMM 计算出来的值和解析值有一定的误差.因此在准确分析q<0的情况时,会由于微小计算误差导致计算结果 与实际情况有较大的误差,如何更好地找出能准确反映复杂系统奇异指数的区间,有待于后续不断的研究 参考文献 门陈国进王占海.我国股票市场连续性波动与跳跃性波动实证研究J系统工程理论与实践,2010,30(9):1554-1562 2386 系统工程理论与实践 第32卷 Chen G J, Wang Z H. 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